第章期权定价的数值方法PPT课件.ppt

1 2020 3 18 期权定价的数值方法 2 2020 3 18 主要内容 二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法 3 2020 3 18 第1节 二叉树期权定价模型 二叉树期权定价 BinomialoptionPricingModel 由Cox Ross Rubinstein等人提出为期权定价模型为B S模型提供一种比较简单和直观的方法二叉树模型已经成为建立复杂期权 美式期权和奇异期权 定价模型的基本手段对于所有不能给出解析式的期权 都可以通过二叉树模型给出 4 2020 3 18 一 二叉树模型的基本方法 对较大时间间隔 这种二值运动假设当然不符实际 但当时间间隔非常小 如在每个瞬间 资产价格只有这两个运动方向的假设是可接受的 因此 二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 t 并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能 5 2020 3 18 一 单步二叉树模型 运用单步二叉树为期权定价 可以有两种方法 无套利方法风险中性定价方法 6 2020 3 18 构造投资组合 D份股票多头和1份看涨期权空头取适当D 使得SuD u SdD d 则组合为无风险组合 SuD u SdD d 无套利定价法 7 2020 3 18 组合在T时刻价值为SuD u组合现值应为 SuD u e rT组合现值的另外一个表达式为 SD f因此 SD SuD u e rT将代入上式 可以得到 8 2020 3 18 风险中性定价法 在风险中性世界里 1 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率 2 未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现 在风险中性的条件下 参数值满足条件 9 2020 3 18 二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动 根据第六章的讨论 在一个小时间段Dt内证券价格变化的方差是S2 2Dt 根据方差的定义 变量的方差等于EQ2 EQ 2 因此 第3个条件 解得 从而 10 2020 3 18 股价上升概率q是投资者对标的股票价格上涨可能性大小的主观判断 虽然各个人对q的信念是不同的 但是在期权的定价过程中并没有涉及到q 也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果 投资者最终都一致风险中性概率p 它只取决于r u d这三个客观因子 讨论 11 2020 3 18 由于标的资产市场价格是一个连续 接近连续 的随机变量 不可能只有两种情形 两期 若把从定价日至到期日的时间划分为两个阶段 在每一个阶段 仍然假设标的资产价格只可能取两种状态 上涨和下跌 且上涨和下跌的幅度不变 则可以证明 第二阶段结束时候 标的资产价格的取值为3个 二 证券价格的树型结构 12 2020 3 18 n期 若将定价日到到期日的时间进一步细分为n个阶段 则标的资产在到期日的状态可能取值为n 1个 若n 即每个阶段所对应的长度无穷小 则完全有理由用两状态的二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程数学意义 用无穷期的二项式模型来逼近一个标的资产价格连续变化的期权定价模型 思路 推导出n期的二项式模型 然后令n趋于无穷 13 2020 3 18 证券价格的树型结构 14 2020 3 18 三 两期模型的期权定价 其中 u 1 d 15 2020 3 18 第二期本来有四种状态 但若规定u 1 d 则第二 三两种状态为同一结果 可以将其合并 由期权的定义式 16 2020 3 18 由风险中性定价公式 Dt为单位时间 17 2020 3 18 18 2020 3 18 总结 两期模型期权的定价思路 倒推定价法 首先得到二期节点的股票价格 从而得到该期的期权价格 采用风险中性定价 通过贴现得到一期节点的期权价格 由一期的期权价格向当期贴现 得到当前期权的价格 风险中性定价下 每一期的风险中性概率都是相同的 19 2020 3 18 四 多期模型期权的定价思路 倒推定价法 从当前时刻 由S0 u d向前推算 得到标的股票在第1 2 n各期的取值 这样建立标的股票的状态数 它反映了股价的变化路径 根据第n期的股价 估计值 求出期权相应的价值从第n期起 循着状态树逆向递推 分别计算前期的期权可能值 直到当前时刻 值得注意的是 如果是美式期权 就要在树型结构的每一个结点上 比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间 到下一个时刻再执行期权 选择其中较大者作为本结点的期权价值 20 2020 3 18 举例说明 假设标的资产为不付红利股票 其当前市场价为50元 波动率为每年40 无风险连续复利年利率为10 该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元 求该期权的价值 利用倒退定价法 可以推算出初始结点处的期权价值为4 48元 21 2020 3 18 续 为了构造二叉树 我们把期权有效期分为五段 每段一个月 等于0 0833年 可以算出 22 2020 3 18 美式看跌期权二叉树 X 50 23 2020 3 18 五 二叉树方法的一般定价过程 以无收益证券的美式看跌期权为例 把该期权有效期划分成N个长度为的小区间 令表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值 同时用表示结点处的证券价格 可得 后 假定期权不被提前执行 则在风险中性条件下 如果考虑提前执行的可能性 24 2020 3 18 二 基本二叉树方法的扩展 支付连续红利率资产的期权定价支付已知红利率资产的期权定价已知红利额利率是时间依赖的情形 25 2020 3 18 连续红利率资产的期权定价 当标的资产支付连续收益率为q的红利时 在风险中性条件下 证券价格的增长率应该为r q 因此 其中 26 2020 3 18 支付已知红利率资产的期权定价 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率 红利与资产价格之比 只要调整在各个结点上的证券价格 就可算出期权价格 调整方法如下 如果时刻在除权日之前 则结点处证券价格仍为 如果时刻在除权日之后 则结点处证券价格调整为 对在期权有效期内有多个已知红利率的情况 i为0到iDt时刻间所有除权日的总红利支付率 27 2020 3 18 已知红利额 假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图 若标的资产在未来某确定日期将支付一个确定数额的红利而不是一个确定的比率 则除权后二叉树的分支将不再重合 这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大 特别是如果支付多次已知数额红利的情况将更为复杂 28 2020 3 18 把证券价格分为两个部分 一部分是不确定的 其价值用表示 而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值 假设在期权有效期内只有一次红利 设 为S 的标准差 假设 是常数 用 代替式 8 4 到 8 6 中的 就可计算出参数p u和d 这样就可用通常的方法构造出S 的二叉树了 8 9 29 2020 3 18 通过应用式 8 9 把未来收益现值加在每个结点的证券价格上 就会使S 的二叉树图转化为S的二叉树 假设零时刻S 的值为S0 则在iDt时刻 通过这种分离 可以重新得到重合的分支 减少结点数量 简化了定价过程 30 2020 3 18 利率是时间依赖的情形 在定价过程中 贴现率也要相应地改为远期利率 其他过程和普通的二叉树方法相同 类似地 在为指数期权 外汇期权和期货期权定价时 可以对红利率和外汇无风险收益率做类似的修正 使其成为时间的函数 进而为这些期权定价 31 2020 3 18 三 构造树图的其它方法和思路 P 0 5的二叉树图三叉树图控制方差技术 32 2020 3 18 P 0 5的二叉树图 确定参数p u和d的固定条件 该条件是人为给定 也是最常用的条件 但它并不是唯一的 也可以放弃这个假设 转而令p 0 5 由此 优点 概率总是不变的 缺点 二叉树图中的中心线上的标的资产价格不会再和初始中心值相等 33 2020 3 18 三叉树图 34 2020 3 18 三叉树图 一些参数 35 2020 3 18 控制方差技术 控制方差技术是数值方法的一个辅助技术 可以应用在二叉树模型 蒙特卡罗模拟和有限差分方法上 其基本原理为 期权A和期权B的性质相似 欧式和美式 且可得期权B的解析定价公式 用同一个树图分别计算出期权A B的数值方法解 假设用数值方法计算出的期权B的误差应等于用数值方法计算出的期权A的误差 进而得到期权A的更优估计值为 利用B的解析解和数值解的信息改进了对期权A的价值的估计 36 2020 3 18 二叉树定价模型的深入理解 二叉树图模型的基本出发点在于 假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成 用离散的随机游走模型模拟合资产价格的连续运动可能遵循的路径 同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致 即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率 资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型 模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率 从而为期权定价 实际上 当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候 该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型 即布莱克 舒尔斯偏微分方程 2020 3 18 37 38 2020 3 18 第2节 蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法 也是一种应用十分广泛的期权定价方法蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理 其基本思路是 由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报的期望值的折现 因此 尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径 计算每种路径结果下的期权回报的均值 之后贴现可以得到期权价值 一 蒙特卡罗模型的基本过程 39 2020 3 18 基本方法 以简单欧式期权f S t 利率为常数 为例 从初始时刻的标的资产价格开始 直到到期为止 为S取在风险中性世界中跨越整个有效期的一条随机路径 这就给出了标的资产价格路径的一个实现 计算出这条路径下期权的回报 重复第一步和第二步 得到许多样本结果 即风险中性世界中的期权回报的值 计算这些样本期权回报的均值 得到风险中性世界中预期的期权回报值 用无风险利率贴现 得到这个期权的估计价值 40 2020 3 18 二 蒙特卡罗模拟的技术实现 在风险中性世界中 为了模拟的路径 我们把期权的有效期分为N个长度为 t时间段 则上式的近似方程为或 41 2020 3 18 举例说明 假设无红利的股票价格运动服从式 8 12 年预期收益率为14 收益波动率为每年20 时间步长为0 01年 则根据式 8 12 有通过不断从标准正态分布样本中抽取的值 代入上式 我们可以得到股票价格运动的一条路径 42 2020 3 18 表 股票价格模拟 43 2020 3 18 二 单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循的路径还是仅仅取决于S的最终价值 都可以使用这一方法 同时 这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况 当回报仅仅取决于到期时S的最终价值时当回报依赖于多个市场变量时随机利率的蒙特卡罗模拟随机样本的产生和模拟次数的确定 44 2020 3 18 当回报仅仅取决于到期时S的最终价值时 由于式 8 13 或 8 14 对所有的都是精确的 可直接用一个大步 T 0 假设初始时刻为零时刻 来多次模拟最终的资产价格 得到期权价值 45 2020 3 18 当回报依赖于多个市场变量时 当存在多个标的变量时 每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样 从样本路径进行的每次模拟运算可以得出期权的终值 假设期权依赖于n个变量 其离散形式可以写成 其中 si为 i的波动率 为 i在风险中性世界中的期望增长率 ij为 i和 j之间的瞬间相关系数 i 1 i n 是从多元标准正态分布中抽取的一组随机样本 i和 k之间的相关系数是 ik 一次模拟运算包括从多元标准正态分布中获得N组 i的样本 把这些样本值代入式 8 16 可以产生每个 i的模拟路径 并由此计算出期权的一个样本值 46 2020 3 18 随机利率的蒙特卡罗模拟 如果期权模型中的变量之一本身就是短期无风险利率或是其他与有关的变量 例如利率衍生产品 则蒙特卡罗模拟方法与前类似 只是要模拟风险中性世界中r的路径 每次模拟时既要计算r到期时终值相应带来的期权回报 又要计算期权有效期内r的平均值 最后折现的时候使用的贴现率是这个平均值 用数学符号表示为 47 2020 3 18 随机样本的产生 是服从标准正态分布的一个随机数 大多数程序语言都为抽取0到1之间的随机数编制了程序 如果只有一个单变量 则可以通过下式获得 其中是0到1的相互独立的随机数 48 2020 3 18 如果需要从二元标准正态分布中抽取样本 则可以用如下的方法 x1和x2是用上述方法从单变量标准正态分布中抽取的独立样本 则 49 2020 3 18 如果从n元标准正态分布中取样 同样先从单变量标准正态分布中抽取n个独立变量xi 1 i n 则 其中 50 2020 3 18 模拟运算次数的确定 如果对估计值要求95 的置信度 则期权价值应满足式中 为运算次数 为均值 是标准差 期权估计值的标准误差为 51 2020 3 18 三 减少方差的技巧 如果蒙特卡罗模拟过程是按照上述方法进行 往往M需要极大 才能使期权价值的估计值较为精确合理 从而使得计算效率很低 因此人们运用了多种方法来降低估计的方差 以大大减少实验次数 加快收敛 其中最常用的是对偶变量技术和控制方差技术 对偶变量技术控制方差技术重点抽样法间隔抽样法 52 2020 3 18 对偶变量技术 对偶变量技术 在一次模拟运算中 计算两个期权价值 用通常方法计算得到f1 改变计算中所有 的符号得到f2 这条模拟路径得到的期权价值是f1和f2的平均值 期权的最终估计值则是有限个的均值 通过这种方法 当一次模拟中的一个f值高于真实值时 则另一个值必然偏低 反之亦然 人们发现 这种方法相当有效 估计值的标准差通常大大小于运算2M次得到的标准差 53 2020 3 18 控制方差技术 蒙特卡罗模拟和二叉树模型中的控制方差技术是相同的 只是在蒙特卡罗中 对于两个类似的期权 必须使用相同的随机数流和相同的 t平行地进行两次模拟 54 2020 3 18 重点抽样法 适合于那些大部分路径对定价意义不大的情形 比如一个深度虚值的看涨期权 大部分路径上的终值为零 这时只选取那些标的资产的到期日价值大于其执行价格的路径 即重要路径为期权定价 这样等于缩小了样本空间 从而加速了收敛 运用重点抽样法进行模拟时要注意 最后从重要路径中获得的贴现平均值还要再乘上k 重要路径出现的概率 才能获得期权价值的最终估计值 55 2020 3 18 间隔抽样法 将市场变量在未来时刻的基本概率分布分为多个区间 并根据它的概率从每个间隔中抽样 假设存在10个可能性基本相等的区间 那么抽样方案就可设计为每个间隔中抽取的样本各占10 如果样本间隔的数量很多 就可取每个区间内的均值或是中位数作为该区间的代表样本值 这样也可以提高模拟运算的效率 56 2020 3 18 蒙特卡罗模拟的理解和应用 优点 1 在大多数情况下 可直接应用蒙特卡罗模拟方法 而无需对期权定价模型有深刻的理解 所用的数学知识也很基本 2 蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛 包括 1 期权的回报仅仅取决于标的变量的最终价值的情况 2 期权的回报为路径依赖的情形 3 期权的回报取决于多个标的变量的情况 尤其当随机变量的数量增加时 蒙特卡罗模拟的运算时间近似为线性增长而不象其他方法那样以指数增长 因此 蒙特卡罗模拟可以适用于复杂随机过程和复杂终值的计算 同时 在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准误差 这也是该方法的优点之一 57 2020 3 18 缺点主要是 1 只能为欧式期权定价 难处理提前执行的情形 2 为了达一定精确度 一般需大量的模拟运算 尤其在处理三个以下的变量时 该方法相对于其他方法来说偏慢 58 2020 3 18 第3节 有限差分方法 在金融界 有限差分方法越来越多地用在期权定价当中 其主要思想是 应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程 即用离散算子逼近 和各项 之后用迭代法求解 得到期权价值 下文以无红利股票的美式看跌期权为例讲解 59 2020 3 18 有限差分方法的格点图 有限差分方法是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格 用有限的离散区域替代连续时间和资产价格 共 M 1 N 1 个格点 点 i j 对应时刻i t和资产价格j s f i j 则表示 i j 处的期权价值 60 2020 3 18 一 隐性有限差分法 应用离散算子分别逼近 和 近似误差分别为 近似误差为 61 2020 3 18 把以上三个近似代入布莱克 舒尔斯偏微分方程 整理得到 隐性有限差分法可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值 62 2020 3 18 边界条件 1 从到期时刻的股票价值可得边界t T上所有格点的期权价值 T时刻看跌期权的价值为 2 当股票价格为零时 看跌期权的价值为X 由此可以得到下方边界S 0上所有格点的期权价值 当股票价格趋于无穷时 看跌期权的价值趋于零 可以近似认为上方边界S Smax上 63 2020 3 18 求解期权价值 用方程差分方程和边界条件 我们可以写出联立方程 和由此 可以解出每个fn 1 j的期权价值 然后再与每个格点的期权内在价值X j S进行比较 判断是否要提前执行 从而得到 N 1 t时刻每个格点的期权价值 依此类推 最后可以计算出f0 j 当j S等于初始资产价格时 该格点对应的f就是要求的期权价值 64 2020 3 18 例8 3 Page189 65 2020 3 18 二 显性有限差分法 对隐性有限差分法略加修改 假设 i j 点的和与 i 1 j 的对应值相等 即 66 2020 3 18 相应的差分方程修改为 其中 显性有限差分法可理解为从格点图