位移法影响线14.doc

14 多跨连续梁内力影响线的求解静定结构的内力和反力影响线的计算在结构力学教程中有很多介绍，但超静定结构的内力和反力影响线的计算由于其复杂性教程中介绍较少。但是随着我国公路建设的迅猛发展，连续梁桥大量使用，因此多跨连续梁内力影响线的计算将越来越重要。求解多跨连续梁内力影响线的方法有力法、挠曲线法、位移法、转动刚度法以及有限元软件和机动法联合求解法等，其中用力法和挠曲线法作超静定结构的影响线在结构力学教材中已经提及，在此不再赘述。下面详细介绍用位移法、转动刚度法以及有限元软件和机动法联合求解法作多跨连续梁的内力影响线。1、位移法基本思路:当单位移动荷载在多跨连续梁上移动时，根据位移法的基本原理，各杆杆端弯矩由固端弯矩和结点转角所产生的杆端弯矩组成。固端弯矩见表14-1；通过结点的弯矩平衡条件可以求得各结点的转角，然后把结点的转角回代到各杆的杆端弯矩方程，就可以得到各杆的杆端弯矩影响线。表14-1简 图A端固端弯矩B端固端弯矩两端固定AFp=1xLxB一端固定一端铰接ABFp=1xLx01.1支座截面处弯矩影响线方程以图14-的三跨连续梁为例，说明用位移法计算各杆的杆端弯矩影响线的步骤。该例的基本未知量为和。图 14-1LLLEI=常数ABCDxFp=1（1）当在跨移动由表1可以求出各杆的固端弯矩如下： ， 列出各杆杆端弯矩如下： 建立力矩平衡方程如下： （14-1） （14-2）联立式可以求得和为： ， 分别把、代入各杆杆端弯矩方程，得各杆杆端弯矩的影响线如下：式中：。 (2) 当在跨移动由表14-1可以求出各杆的固端弯矩如下： ， ， ，列出各杆杆端弯矩如下： 建立力矩平衡方程如下： （14-3） （14-4）联立式，可以求得和为： ， 分别把、代入各杆杆端弯矩方程，得各杆杆端弯矩的影响线如 (3) 当在跨移动时：由表1可以求出各杆的固端弯矩如下： ， 列出各杆杆端弯矩如下： 建立力矩平衡方程如下： （14-5） （14-6）联立式，可以求得和为： ， 分别把、代入各杆杆端弯矩方程，得各杆杆端弯矩的影响线如下：综合以上三种情况，作出各杆杆端弯矩的位移影响线，见图14-2。 x (L) MBA (L) A B C D （a） MBA的影响线 x (L) x (L) MBC (L) A B C D （b） MBC的影响线 x (L) x (L) MCD (L) A B C D （d） MCD的影响线 x (L) x (L) MCB (L) A B C D （c） MCB的影响线 x (L) 图 14-21.2 利用迭加法可求得任一量值的影响线有了支座截面处杆端的弯矩影响线,就可以利用迭加法求出任一量值的影响线。因为对于连续梁的任一跨，实际的受力情况相当于图14-3所示的简支梁，而由平衡条件可得距左支座为a的任一截面K的弯矩和剪力影响线: (a)Li-1iaKLi-1iaK (b) （c）图14-3Li-1iaK Fp=1 Fp=1 （14-7）其中 , ；、为相应简支梁在K截面的弯矩、剪力影响线方程，由下式表示： 左右支座处的反力影响线方程为:式中 , 、为相应简支梁反力的影响线 ,其方程为: （14-8）利用以上方法计算了图中截面E、F的弯矩和剪力的影响线以及支座A、B反力的影响线，见图14-4所示。 x (L) ME (L) A B C D （a） ME的影响线 x (L) x (L) FQE A B C D （b） FQE的影响线 x (L) E x (L) MF (L) A B C D （c） MF的影响线 x (L) E x (L) FQF A B C D （d） FQF的影响线 x (L) F x (L) FRA A B C D （e） FRA的影响线 x (L) x (L) FRB A B C D （f） FRB的影响线 x (L) 图14-41.3 有侧移结构内力影响线的计算位移法不但适合无侧移超静定结构内力的影响线的计算，也适合有侧移结构内力影响线的计算。以图5所示有侧移刚架为例，在段移动，求和的影响线。该例的基本未知量为和。ABCD图 14-5Fp=1xLxLxLEI=常数（1）当在段移动 ， 列出各杆杆端弯矩如下：考虑结点的弯矩平衡得： （14-9）切断柱顶端，考虑柱顶以上横梁部分水平方向力的平衡：再考虑柱的平衡： 故： （14-10）联立式，可以求得和为：把、代入各杆杆端弯矩方程，得各杆杆端弯矩的影响线如下：（2）当在段移动利用以上相同的方法，得各杆杆端弯矩的影响线如下：综合以上两种情况，作出各杆杆端弯矩的位移影响线，见图14-6。 x (L) MBA (L) A B C （a） MBA的影响线 x (L) x (L) MBC (L) A B C （b） MBC的影响线 x (L) x (L) MBD (L) A B C （c） MBD的影响线 x (L) x (L) MBD (L) A B C （d） MBD的影响线 x (L) 图 14-62 转动刚度法连续梁的影响线, 特别是支座弯矩影响线中的支座转角、各跨挠度均与连续梁的杆端转动刚度有关。本方法用连续梁的杆端转动刚度分析了支座弯矩影响线中的支座转角和各跨挠度的关系，建立了用转动刚度表达的挠度函数公式，适用于求解任意连续梁的各种影响线。（1）连续梁的杆端转动刚度 把单跨梁的杆端转动刚度扩展到如图14-7( a) 所示的n跨连续梁, 图中Sn.0 表示以 0 支座为远端的n 跨连续梁在n 端的转动刚度； Sn-1,0 表示去掉第n跨后的n-1 跨连续梁的转动刚度。根据以上定义得： （14-11）连续梁的第 n 跨n-1支座处的杆端为： 由上式可得 （14-12）上式是的一个递推公式，表示相邻支座转动的传递关系。把式(14-12) 代入式(14-11)得 （14-13）上式是求的一个递推公式。012n-1n( a )0n( b )k1j-1jxj-1j P=1 x( c )图14-7 用转动刚度分析位移曲线示意图 （2） 支座转角的分配与传递关系设在K 支座处截面发生单位的相对转动（如图14-7( b ) 所示）,则可表示为: （14-14）由K 结点的力矩平衡得有: （14-15）用转动刚度表示上式中的 , ： ， 把上两式代入式（14-15）得： （14-16）联立式（14-14）、式（14-16）得： （14-17） （14-18）式(14-17 ) 、式(14-18) 表示 K 截面的单位相对转动角分配给左、右两侧截面的转角的分配关系。再利用式(14-12) 可以分别计算左、右两部分上各支座转角。（3） 挠度与支座转角的关系把图14-7(c) 所示平衡力系在图14-7(b) 所示位移体系上作虚功， 据功的互等原理有： 式中： , 。对上式进行整理可得： （14-19）式(14-19) 就是连续梁位移第K个支座处的弯矩在第j跨的影响线，yj(x) 在横坐标上方为正。（4）应用转动刚度法求解连续梁的影响线仍以图14-1中三跨连续梁为例，求支座弯矩MB、 MC 影响线，EI 为常数。解: 先求支座弯矩 MB 的影响线（ a ）令 B 支座两侧产生单位相对转角；（ b ）利用式（14-13）计算相关杆端转动刚度，（ c ）利用式（14-17）（14-18）对 B 支座两侧截面转角进行分配 ， （ d ）利用式（14-12）计算各支座处的转角 ， ， （ e ）利用式（14-19）求MB 影响线方程 再求支座弯矩MC的影响线：（ a ）令 B 支座两侧产生单位相对转角；（ b ）利用式（14-13）计算相关杆端转动刚度， ， （ c ）利用式（14-17）（14-18）对 B 支座两侧截面转角进行分配 , （ d ）利用式（14-12）计算各支座处的转角， ， （ e ）利用式（14-19）求MC 的影响线方程与用位移法计算的影响线方程比较可知,两种方法的计算结果相同。（5） 转动刚度法方法小结转动刚度法求解连续梁的影响线是采用转动刚度来分析表示影响量值的挠度图，建立了一个与转动刚度有关的挠度函数公式。不但简化了机动法作影响线时求挠度函数的繁琐过程, 而且保留了机动法作影响线时的清晰的概念, 便于理解和应用。本文虽然只讨论了支座弯矩的影响线, 但如果采用叠加法也可以求出其它内力或反力的影响线, 所以该方法仍具有普遍适用性。3、有限元软件和机动法联合求解机动法法作影响线的方法是：首先去掉所求反力或内力相应的联系，然后使所得体系沿的正方向发生单位位移，所得的竖向位移图就是该量值的影响线。对于静定结构，所得竖向位移图是由直线段组成，其数值可按比例求得；对于超静定结构，所得竖向位移图则是所求多余未知力作用下的弹性曲线，其数值必须求解超静定结构才能得到，过程是非常复杂的。为了方便的采用机动法绘制超静定结构的影响线，可以借助有限元软件ANSYS进行分析。基本思路是：单位位移是由所求反力或内力产生的，只要能求出的数值，将该数值再加载于去掉与相应的联系后所得体系上，所得竖向位移图就是作用下的弹性曲线，也就是反力或内力的影响线。对于多跨连续梁，通常可利用有限元软件，先求出单位多余未知力作用下的位移，再求其倒数即为产生单位位移时的多余未知力数值。仍以图14-1中三跨连续梁为例,求支座弯矩MB, MC 影响线，其中令，。单元划分及结点编号如图14-8（a）、（b）所示。图14-8 作弯矩影响线的单元划分及结点编号把将和分别作用图14-8（a）（b）的B、C点，利用有限元软件ANSYS计算出各结点的位移，然后再求其倒数就得到MB, MC 的影响线在各结点的数值（如表14-1所示）。为便于对比，表中还给出了按位移法得到的MB, MC 影响线在各结点的数值。通过对比可以看出，对应数据相差甚微，最大误差不到。表14-1 、的影响线数值 （x）（x）结点位置本文方法位移法误差本文方法理论解误差10000002-0.06315-0.06251.04%0.016140.01563.46%3-0.10105-0.11.04%0.0258240.0253.30%4-0.08842-0.08751.05%0.0225960.02193.18%5、6000.00%0007-0.07228-0.07190.52%-0.040557-0.04060.11%8-0