第讲三角函数模型及应用PPT课件.ppt

新课标高中一轮总复习 1 第四单元三角函数与平面向量 2 第27讲 三角函数模型及应用 3 1 从实际问题中抽象出一个或几个三角形 通过正 余弦定理解这些三角形 得到所求的量 从而得到实际问题的解 2 将实际问题转化为三角函数y Asin x 模型 利用三角函数知识 得到实际问题的解 4 1 若P在Q的北偏东44 则Q在P的 C A 东偏北45 B 东偏北44 C 南偏西44 D 西偏南44 由方位角的定义可知 Q应在P的南偏西44 5 2 如图 单摆从某点开始来回摆动 离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s 6sin 2 t 那么单摆来回摆动一次所需的时间为 D A 2 sB sC 0 5sD 1s T 1 故选D 6 3 在200米高的山顶上 测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30 60 则塔高为 A 米B 米C 米D 米 7 画出示意图 如图 由题意可知 DAC 60 OAC DAB 30 在 AOC中 AO 200 所以OC 而AD OC 在 ABD中 BD 因此塔高为200 米 故选A 8 4 有一长为100米的斜坡 它的倾斜角为45 现要把倾斜角改为30 则坡底需伸长米 50 坡的倾斜角即为坡度 依题意知 该坡的高度不变 即仍为50 当坡的倾斜角变为30 时 坡底的长度为50 所以坡度改后 坡底伸长了50 米 9 5 如图 为了测量河的宽度 在一岸边选定两点A B望对岸的标记物C 测得 CAB 30 CBA 75 AB 120m 则这条河的宽度为m 60 10 如图 在 ABC中 过C作CD AB于D点 则CD为所求宽度 在 ABC中 因为 CAB 30 CBA 75 所以 ACB 75 所以AC AB 120m 在Rt ACD中 CD ACsin CAD 120sin30 60 m 因此 这条河宽60m 11 解斜三角形知识在生产实践中有着极为广泛的应用 如测量 航海 几何 物理等方面都要用到解三角形的知识 解斜三角形有关的实际问题的思维过程可以用下图表示 12 解斜三角形应用题的一般步骤是 分析 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解应用题中的有关名词术语 如坡度 仰角 俯角 视角 方向角 方位角等 必要时 画出示意图 化实际问题为数学问题 建模 根据已知条件与求解目标 把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中 建立一个解斜三角形的数学模型 13 求解 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形 求得数学模型的解 检验 检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 解斜三角形应用题常有以下几种情形 实际问题经抽象概括后 已知与未知量全部集中在一个三角形中 一次可用正弦定理或余弦定理解之 14 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形 这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解 实际问题经抽象概括后 涉及的三角形只有一个 但由题目已知条件解此三角形 需连续使用正弦定理或余弦定理 运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题 要抓住条件和待求式子的特点 恰当地选择定理 运用正弦定理一般是将边转化为角 而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定理求和 15 例1 题型一斜三角形模型在航海中的应用 海中小岛A处周围38海里内有暗礁 一轮船正向南航行 在B处测得小岛A在船的南偏东30 航行30海里后 在C处测得小岛在船的南偏东45 如果该船不改变航向 继续向南航行 有无触礁的危险 16 船继续向南航行 有无触礁的危险 取决于小岛A到航线BC的距离和38海里的大小 所以我们只要先算出AC 或AB 的长 再算出A到直线BC的距离 将其与38海里比较即可 在 ABC中 BC 30 ABC 30 ACB 135 所以 BAC 15 由正弦定理知 即 17 AC 60cos15 60cos 45 30 60 cos45 cos30 sin45 sin30 15 于是 A到BC所在直线的距离为 ACsin45 15 15 1 40 98 海里 它大于38海里 所以船继续向南航行 没有触礁的危险 本题也可建立直角坐标系 利用坐标法解决 18 2020 3 19 19 例2 题型二斜三角形模型在测量中的应用 为了竖一块广告牌 要制造三角形支架 如图 要求 ACB 60 BC的长度大于1米 且AC比AB长0 5米 为了广告牌稳固 要求AC的长度越短越好 求AC最短为多少米 且当AC最短时 BC的长度为多少米 20 本题主要考查解三角形的知识及函数最值的求法 在 ABC中 已知c b的关系 再结合余弦定理 可得BC a的函数表达式 然后利用基本不等式可求其最值 设BC a a 1 AB c AC b b c 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcos60 将c b 代入得 b 2 a2 b2 ab 化简得b a 1 a2 21 因为a 1 所以a 1 0 所以b a 1 2 2 当且仅当a 1 时取 号 即a 1 时 b有最小值2 答 AC最短为 2 米 此时BC长为 1 米 先建立AC长度的目标函数 再根据目标函数 求最值 22 例3 题型三斜三角形模型在决策中的应用 以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现 信息1 该商品出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的 已知3月份出厂价格最高 为8元 7月份出厂价格最低 为4元 23 信息2 该商品在市场销售价格是在8元的基础上 按月份也是随正弦曲线波动的 已知5月份销售价格最高 为10元 9月份销售价格最低 为6元 1 根据上述信息1和2 求该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的函数关系式 2 若某经销商每月购进该商品m件 且当月能售完 则在几月份盈利最大 并说明理由 24 1 依据信息1 2可知 该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的关系都满足正弦曲线 故可设y1 A1sin 1x 1 B1 y2 A2sin 2x 2 B2 依题意 得B1 6 A1 2 T 2 7 3 8 所以 1 所以y1 2sin x 1 6 25 将点 3 8 代入函数y1 2sin x 1 6得 1 所以y1 2sin x 6 同理 可得y2 2sin x 8 2 因为利润函数是y m y2 y1 m 2sin x 8 2sin x 6 m 2 2sinx 所以当x 6时 利润达到最大 用待定系数法求出y Asin x B的函数关系 是解题的关键 26 某昆虫种群数量在1月1日时低至700只 而在当年7月1日时高达900只 其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化 1 求出种群数量y关于时间t的函数解析式 t以月为单位 2 画出种群数量y关于时间t的函数图象 27 1 设所求的函数解析式为y Asin t B A 0 则B 800 A 100 且T 12 所以 因为图象过点 1 700 故有100sin 1 800 700 所以 1 2k 得 2k k Z 取绝对值最小的 故 所以所求的函数解析式为y 100sin t 800 28 2 其图象为 29 面对实际问题时 能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能 这个过程并不神秘 就像前面的几个例题 在读题时把问题提供的 条件 逐条地 翻译 成 数学语言 这个过程就是数学建模的过程 在高考中 将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有 求出三角函数的解析式 画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题 30 2009 宁夏 海南卷 如图 为了测量两山顶M N间的距离 飞机沿水平方向在A B两点进行测量 A B M N在同一个铅垂平面内 如图所示 飞机能够测量的数据有俯角和A B间的距离 请设计一个方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写出计算M N间的距离的步骤 31 方案一 需要测量的数据有 A点到M N点的俯角分别为 1 1 B点到M N点的俯角分别为 2 2 A B的距离d 第一步 计算AM 由正弦定理得AM 第二步 计算AN 由正弦定理得AN 第三步 计算MN 由余弦定理得MN 32 方案二 需要测量的数据有 A点到M N点的俯角分别为 1 1 B点到M N点的俯角分别为 2 2 A B的距离d 第一步 计算BM 由正弦定理得BM 第二步 计算BN 由正弦定理得BN 第三步 计算MN 由余弦定理得MN 33 2009 辽宁卷 如图 A B C D都在同一个与水平面垂直的平面内 B D为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 于水面C处测得B点和D点的仰角均为 AC 0 1km 试探究图中B D间距离与另外哪两点间距离相等 然后求B D的距离 计算结果精确到0 01km 1 414 2 44