第章《函数与导数》函数模型及应用PPT课件.ppt

学案10函数模型及应用 返回目录 1 构建函数模型的基本步骤不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律 函数模型可以处理生产 生活 科技中很多实际问题 解决应用问题的基本步骤 1 审题 弄清题意 分析条件和结论 理顺数量关系 恰当选择模型 2 建模 将文字语言 图形 或数表 等转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 考点分析 返回目录 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将利用数学知识和方法得出的结论 还原为实际问题的意义 2 常见的几种函数模型 1 一次函数型y kx b 2 反比例函数型y k 0 3 二次函数型y ax2 bx c a 0 4 指数函数型y N 1 p x 增长率问题 x 0 5 对数函数型y AlogaN B a 0且a 1 N 0 6 分段函数型 返回目录 考点一二次函数模型 如图所示 在矩形ABCD中 已知AB a BC b b a 在AB AD CD CB上分别截取AE AH CG CF都等于x 当x为何值时 四边形EFGH的面积最大 并求出最大面积 题型分析 返回目录 解析 设四边形EFGH的面积为S 则S AEH S CFG x2 S BEF S DGH a x b x 分析 依据图形建立起四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数 然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值 由图形知函数的定义域为 x 0b 即a 3b时 S x 在 0 b 上是增函数 此时当x b时 S有最大值为 2b 2 ab b2 综上可知 当a 3b时 x 时 四边形面积Smax 当a 3b时 x b时 四边形面积Smax ab b2 返回目录 返回目录 评析 二次函数是我们比较熟悉的基本函数 建立二次函数模型可以求出函数的最值 解决实际中的最优化问题 值得注意的是 一定要注意自变量的取值范围 根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解 对应演练 某人定制了一批地砖 每块地砖 如图2 10 2中 1 所示 是边长为0 4米的正方形ABCD 点E F分别在边BC和CD上 CFE ABE和四边形AEFD均由单一材料制成 制成 CFE ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3 2 1 若将此种地砖按图中 2 所示的形式铺设 能使中间的深色阴影部分组成四边形EFGH 返回目录 1 求证 四边形EFGH是正方形 2 E F在什么位置时 定制这批地砖所需的材料的费用最省 返回目录 返回目录 1 证明 图 2 是由四块图 1 所示地砖绕点C按顺时针旋转90 后得到的 CFE为等腰直角三角形 四边形EFGH是正方形 2 设CE x 则BE 0 4 x 每块地砖的费用为W 制成 CFE ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a 2a a 元 W x2 3a 0 4 0 4 x 2a 0 16 x2 0 4 0 4 x a a x2 0 2x 0 24 a x 0 1 2 0 3 00 当x 0 1时 W有最小值 即总费用最省 答 当CE CF 0 1米时 总费用最省 返回目录 考点二分段函数型 某工厂生产一种机器的固定成本 即固定投入 为0 5万元 但每生产100台 需要加可变成本 即另增加投入 0 25万元 市场对此产品的年需求量为500台 销售的收入函数为R x 5x 万元 0 x 5 其中x是产品售出的数量 单位 百台 1 把利润表示为年产量的函数 2 年产量是多少时 工厂所得利润最大 3 年产量是多少时 工厂才不亏本 返回目录 解析 1 当x 5时 产品能售出x百台 当x 5时 只能售出5百台 故利润函数为L x R x C x 5x 0 5 0 25x 5 5 0 5 0 25x 4 75x 0 5 0 x 5 12 0 25x x 5 分析 对于一些较复杂的应用题 有时仅构造一个数学模型还不能解决根本问题 需先后或同时构造 利用几个数学模型才可 2 当0 x 5时 L x 4 75x 0 5 当x 4 75时 L x max 10 78125万元 当x 5时 L x 12 0 25x为减函数 此时L x 54 75x 0 5 012 0 25x 0 得x 4 75 0 1 百台 或x 48 百台 产品年产量在10台至4800台时 工厂不亏本 返回目录 3 由 或 评析 本题主要考查运用函数知识解决实际问题的能力 考查分析问题能力和数学思维能力 本题充分体现了数学建模思想 在解题思维中蕴含着分类讨论思想 返回目录 返回目录 对应演练 某影院共有1000个座位 票价不分等次 根据该影院的经营经验 当每张票价不超过10元时 票可全部售出 当每张票价高于10元时 每提高1元 将有30张票不能售出 为了获得更好的收益 需给影院定一个比较合理的票价 要求它符合以下三个基本条件 为方便找零与算账 票价为1元的整数倍 影院放映一场电影的成本费用支出为5750元 票房收入必须高于成本支出 用x 元 表示每张票的票价 用y 元 表示该影院放映一场电影的净收入 除去成本费用后的收入部分 1 求函数y f x 的解析式和它的定义域 2 试问在符合基本条件的前提下 每张票价定为多少时 放映一场的净收入最大 返回目录 1 依题意 当x 10时 总收入为1000 x y 1000 x 5750 当x 10时 总收入为 1000 30 x 10 x y 1000 30 x 10 x 5750 由条件 必有y 0 1000 x 5750 0 30 x2 1300 x 5750 0 x 10或x 10 解得5 75 x 由于x N 6 x 38 y 1000 x 5750 6 x 10 x N 30 x2 1300 x 5750 10 x 38 x N 2 当y 1000 x 5750时 x 10时 ymax 4250 当y 30 x2 1300 x 5750时 y 30 x 2 当x 22时 ymax 8330 即当票价定为22元时 净收入最大 最大值为8330元 返回目录 2020 3 19 18 返回目录 考点三指数函数 对数函数型 1999年10月12日 世界60亿人口日 提出了 人类对生育的选择将决定世界未来 的主题 控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前 1 世界人口在过去40年内翻了一番 问每年人口平均增长率是多少 2 我国人口在1998年底达到12 48亿 若将人口平均增长率控制在1 以内 我国人口在2008年底至多有多少亿 以下数据供计算时使用 返回目录 返回目录 分析 增长率问题是指数函数与幂函数问题 利用已知条件 列出函数模型 解析 1 设每年人口平均增长率为x n年前的人口数为y 则y 1 x n 60 则当n 40时 y 30 即30 1 x 40 60 1 x 40 2 两边取对数 则40lg 1 x lg2 则lg 1 x 0 007525 1 x 1 017 得x 1 7 2 依题意 y 12 48 1 1 10 得lgy lg12 48 10 lg1 01 1 1392 y 13 78 故人口至多有13 78亿 答 每年人口平均增长率为1 7 2008年底人口至多有13 78亿 返回目录 评析 此类增长率问题 在实际问题中常可以用指数函数模型y N 1 p x 其中N是基础数 p为增长率 x为时间 和幂函数模型y a 1 x n 其中a为基础数 x为增长率 n为时间 的形式 解题时 往往用到对数运算 要注意与已知表格中给定的值对应求解 返回目录 对应演练 某工厂2006年生产某种产品2万件 计划从2007年开始每年比上一年增产20 问从哪年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件 lg2 0 3010 lg3 0 4771 设从2006年开始x年后 这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件 依题意 得2 1 20 x 1 12 即1 2x 1 6 x 1 log1 26 1 1 1 1 1 10 8 x 11 故从2018年开始 这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件 返回目录 返回目录 考点四导数型 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为 元 并且每件产品需向总公司交a元 a 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 x 时 一年的销售量为 x 万件 1 求分公司一年的利润 万元 与每件产品的售价x 元 的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润L最大 并求出 的最大值 a 分析 根据题意 找出利润L与售价x的关系 列出关系式 求导求解 返回目录 解析 分公司一年的利润 万元 与售价x 元 的函数关系式为L x 3 a 12 x 2 x 9 11 x 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 令 x 得x1 6 a或x2 12 不合题意 舍去 a a 在x a两侧 x 的值由正变负 当 a 即 a 时 max 9 9 3 a 12 9 2 9 6 a 当 a 即 a 5时 max a 6 a 3 a 12 6 2 4 3 a 3 9 6 a a 4 3 a 3 a 若 a 则当每件售价为 元时 分公司一年的利润 最大 最大值 a a 万元 若 a 则当每件售价为 6 a 元时 分公司一年的利润 最大 最大值 a 4 3 a 3 万元 返回目录 a 评析 建立目标函数后 若涉及解析式求最值问题 特别是三次函数解析式 常用导数作为工具 返回目录 对应演练 水库的蓄水量随时间而变化 现用t表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于t的近似函数关系式为 t2 14t 40 50 0 t 10 4 t 10 3t 41 50 10 t 12 1 该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期 以i 1 t i表示第i月份 i 1 2 12 问一年内哪几个月份是枯水期 2 求一年内该水库的最大蓄水量 取e 2 7计算 返回目录 V t 1 当00 解得t10 又0 t 10 故0 t 4 当10 t 12时 V t 4 t 10 3t 41 50 50 化简得 t 10 3t 41 0 解得10 t 又10 t 12 故10 t 12 综上得0 t 4或10 t 12 故知枯水期为1月 2月 3月 4月 11月 12月共6个月 返回目录 2 由 1 知 V t 的最大值只能在 4 10 内达到 由V t t2 t 4 t 2 t 8 令V t 0 解得t 8 t 2舍去 当t变化时 V t 与V t 的变化情况如下表 由上表 V t 在t 8时取得最大值V 8 8e2 50 108 32 亿立方米 故知一年内该水库的最大蓄水量是108 32亿立方米 返回目录 返回目录 解应用问题 首先 应通过审题 分析原型结构 深刻认识问题的实际背景 确定主要矛盾 提出必要假设 将应用问题转化为数学问题求解 然后 经过检验 求出应用问题的解 从近几年高考应用题来看 顺利解答一个应用问题重点要过三关 也就是要