微积分应用模型PPT课件.pptx

第四章微积分应用模型 4 2最优价格模型 问题 在商品生产的成本函数和市场的需求函数均已知条件下 在产销平衡条件下如何确定商品价格 使利润最大 分各种情况讨论的具体形式 最大利润在边际收入等于边际支出时达到 使利润L p 最大的最优价格p 满足 假设 1 产量等于销量 记作x 2 收入与销量x成正比 系数p即价格 3 支出与产量x成正比 系数q即成本 4 销量x依赖于价格p x p 是减函数 设需求函数为 第一种情况 a b由p x的统计数据拟合或其他统计方法确定 成本q的一半 与 绝对需求量 成正比 与市场需求对价格的敏感系数成反比 b p a p 第二种情况 其它假设不变 但单位成本随着产量的增加而降低 即 利润L 第三种情况 设销售期为T 由于商品的损耗 成本q随着时间增长 所以将销售期分为两段 0 T 2 T 2 T 每段价格记为p1和p2设 利润为 收入 支出 整理得 令 所以后半期的售价高于前半期的售价 若在销售期T内要求总销量达到Q0 即 求两阶段的最优价格是有一个约束条件的最值问题 拉格朗日函数为 整理得 令 得两阶段最优价格为 商品在销售过程中价格p会随着时间变化 即p是时间的函数 第四种情况 设总销售时间为T 企业要求在时间T内销售量为G单位 则总利润函数为 约束条件为 上式为p t 的泛函 利用拉格朗日乘子法把上述条件极值转化为无条件极值 拉格朗日函数为 解得最优价为 虽然价格p是时间t的函数 但最优价格是常数 它由两部分构成 一部分与绝对需求量成正比 与市场对价格的敏感系数b成反比 另一部分随销售时间T的增加而提高 随总销售量G的增加而降低 商品在销售过程中受存贮费和变质损失费等诸因素的影响 价格p和成本q都会随着时间变化 即p和q都是时间的函数 第五种情况 为简单设成本q随时间相对增长率为 初始时刻的成本为 即成本函数满足以下微分方程 于是得到成本函数为 仍设需求函数是p的线性函数 则总利润函数为 企业要求在时间T内销售量为G件 约束条件为 拉格朗日函数为 解得最优价格为 可近似表为 从上式看出 商品销售最优价格近似由3部分构成 第一部分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比 第二部分随销售时间T的增加而提高 随总销售量G的增加而降低 第三部分与初始成本q0 成本的相对增长率及时间都成正比 在实际问题中 价格的制定是非常复杂的 有许多因素都在影响着最优价格 并没有一成不变的公式 须针对具体情况采用灵活的数学模型和方法确定 4 3消费者均衡 问题 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示 问他如何分配一定数量的资金来购买这两种商品 以达到最大的满意度 设甲乙数量为q1 q2 消费者的无差别曲线族 单调减 下凸 不相交 记作U q1 q2 c U q1 q2 效用函数 已知甲乙商品的价格p1 p2 资金量s 购买甲乙数量q1 q2 试分配s 使U q1 q2 最大 模型及求解 已知价格p1 p2 资金s 求q1 q2 或p1q1 p2q2 使U q1 q2 最大 几何解释 直线MN 最优解Q MN与l2切点 斜率 结果解释 边际效用 消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到 构造效用函数U q1 q2 应满足的条件 A U q1 q2 c所确定的函数q2 q2 q1 单调减 下凸 例子 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比 U q1 q2 中参数 分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度 购买两种商品费用之比与二者价格无关 U q1 q2 中参数 分别表示对甲乙的偏爱程度 4 4生猪的最佳出售时机 饲养场每天投入c元资金 用于饲料 人力 设备 估计使当前w千克重的生猪体重增加r公斤 问题 市场价格目前为每千克p元 但是预测每天会降低g元 问生猪应何时出售 如果估计和预测有误差 对结果有何影响 分析 投入资金使生猪体重随时间增加 出售单价随时间减少 故存在最佳出售时机 使利润最大 建模及求解 资金投入Ct ct 生猪的增长速度r 若当前出售 利润为wp 元 收购价格降低速度g 销售收入为 t天后出售所获纯利润函数为 问题归结为求t 0 使L t 达到最大 这是求二次函数最大值问题 用微分法容易得到 例如当生猪目前体重w为80公斤 每天投入费用c为4元 市场价格p为8元 公斤 估计生猪每天体重的增加速度r为2公斤 天 销售价格的降低速度g为0 1元 天 则最优销售时间为 敏感性分析 研究r g变化时对模型结果的影响 设g为常数 t对r的 相对 敏感指标为 设r为常数 t对g的 相对 敏感度为 生猪价格每天的降低量g增加1 出售时间提前3 当生猪目前体重w为80公斤 每天投入费用c 4元 市场价格为p 8元 公斤 估计生猪每天体重的增加速度为r 2公斤 天 销售价格的降低速度g为0 1元 天 t 对参数r敏感程度为 生猪每天体重增加量r增加1 出售时间推迟3 t 对参数g敏感程度为 出售最佳时机是保留生猪直到每天收入的增值等于每天投入的费用时出售 更进一步研究r g不是常数时对模型结果的影响 问题描述 通常工厂要定购各种原材料 存在仓库里供生产用 商店要成批的购进各种商品供零售用 那么每隔多长时间订货一次 每次订货量为多少 4 5确定性存储模型 在存储问题中 若需求是完全可以预测的模型 称为确定性存储问题 如果需求是随机性的 就是随机性存储问题 解决问题的基本思路都是从目标函数达到最优来确定最优的存储策略 假设 1 需求是连续均匀的 设单位时间需求量为r 2 当存储量降至零时 可立即补充 不会造成缺货 3 不考虑货物的价格 每次订货费为c1 4 单位时间的存储费为c2 5 每周期订货量都相同 均为Q 一 不允许缺货的经济订购批量模型 建立模型 问题的决策变量是每周期的订购量Q和订货周期变量T 由于需求是连续均匀且不允许缺货 订购量Q和订货周期T的关系为Q rT 设t时刻的存储量为q t 则有q t Q rt 在一个微小时间段中 存储费为 因而在一个周期中 总存储费用为 总费用为 T时间内平均费用为 利用求极值的方法 对上式求导 并令其为零 得 T Q 称为经济订货批量公式 EOQ公式 最小的平均费用为 当订货费c1提高时 订货周期和订购量都变大 当存储费c2增加时 订货周期和订购量都变小 当需求量r增加时 订购周期变小而订购量变大 这些结果都是符合常识的 结果解释 1 遇到缺货时不会造成机会损失 2 需求是连续均匀的 设需求速度为常数r 3 每次订购费为c1 单位时间单位货物存储费为c2 单位时间单位缺货损失费为c3 且都为常数 4 每周期订购量相同 记为Q 注 这里的Q是补足了上期缺货数量的订购量 二 允许缺货的经济批量订购模型 允许缺货问题 假设 问题的决策变量是每周期的订购量Q和订货周期T 优化的目标函数为T时间内的平均费用最小 问题所涉及的费用有T时间内订货费 存储费和缺货损失费 设最大存储量为S 最大缺货量为Q S 一个周期时间为T 其中不缺货时间为t1 缺货时间为T t1 存储状态如图 由假设 T和Q的关系为 不缺货时间满足 缺货时间满足 设q t 为t时刻的库存量 则一周期平均存储费为 一周期平均缺货损失费为 一周期平均订货费用为 一周期总平均费用为 为求最优存储策略 令 得方程组 求解得最佳订购量为 最大储量为 最佳循环时间为 周期内平均费用为 2020 3 19 39 与不允许缺货模型的结果进行比较 看到允许缺货时订货量和订货周期都增加了 但周期初实际的存量减少了 显然 如果缺货损失费 即相当于不允许缺货的情形 这时有这时结果和不允许缺货的结果完全一样 所以不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例 例某批发商经营某种商品 已知该商品的月需求量为1000件 每次订购费50元 若货物得到后存入仓库 每月每件存储费1元 设需求是连续均匀的 1 若不允许缺货 求经济订货批量和最低平均费用 2 允许缺货 且每月每缺1件商品的损失为0 5元 求经济订货批量和最低平均费用 解依题意有r 1000件 月 c1 50元 次 c2 1元 件 月 c3 0 5元 件 月将上述数据代入相应的计算公式得到如下结果 不允许缺货允许缺货最优订货量316件548件最低平均费用316 2元 月182 6元 月最大存储水平316件182件周期9 62天16 67天一年订货次数39次22次从两种情况的计算结果可以看出 允许缺货一般比不允许缺货有更大的选择余地 一定时期的总费用也可以有所降低 但要注意的是 允许缺货是在机会损失可以忽略的情况下才有意义 1 需求是连续均匀的 设需求速度为常数r 2 每次生产准备费为c1 单位时间单位货物的存储费为c2 3 当存储量降至零时开始生产 单位时间生产量为v 生产的产品一部分满足当时的需要 剩余部分作为存储 从开始生产到t1时间段 存储量以v r的速度增加 当生产t1时间以后停止 此时存储量为S 以该存储量来满足需求 当存储量降至零时 开始一个新的周期 三 不允许缺货的经济生产批量模型这种模型描述在企业生产过程中 边生产边供应 且生产速度大于需求速度 不允许缺货 这类模型称为经济生产批量模型 假设 4 每周期生产量均相同 记为Q 设周期时间为T 其中生产时间为t1 不生产时间为T t1 存储状态如图 周期 0 T 被分为两段 在 0 t1 内 存储状态从0开始以v r递增 到t1时刻达到最高水平S 这时停止生产 在 t1 T 内 存储状态从最高水平S以速率r减少 到时刻T降为0 由于不允许缺货 所以Q rT 在 0 T 内的存储量q t 为 故在周期T内的存储量为 生产时间满足 最大存储量满足 所以T时间内平均存贮费为 T时间内平均生产费用为 故T时间内总的平均费用为 最优存储策略为C Q 的最小值 令 得最佳生产量为 最佳生产周期为 最佳生产时间为 一周期的平均费用为 当时 此时最优解与不允许缺货的经济订购批量模的最优解相同 1 需求是连续均匀的 设需求速度为常数r 2 每周期生产准备费为c1 单位存储费为c2 单位缺货费为c3 都为常数 3 当缺货一段时间后开始生产 单位时间生产量为v 生产的产品一部分满足当时的需要 剩余部分作为存储 存储量以v r的速度增加 停止生产时 以存储量来满足需求 4 每次生产量相同 均为Q 该模型与不允许缺货的生产批量模型相比 放宽了假设条件 允许缺货 与允许缺货的经济批量订购模型相比 相差的是 补充货物不是订货 而是企业生产 边生产边出货 假设 四 允许缺货的经济生产批量模型 设最大存储量为S 则最大缺货量为Q S 一周期时间为T 其中发生存储的时间 不缺货时间 为t1 缺货时间为t2 存储量变化状态如图 从图看到 不缺货时间包括两部分 一部分是存储增加的时间 另一部分是存储减少的时间 因此有 缺货时间也包括两部分 一部分是缺货增加的时间另一部分是缺货减少的时间 所以有 周期时间等于存储时间与缺货时间之和 即 周期平均存量为 平均缺货量为 T内平均生产费用为 T内总平均费用为生产费 库存费 缺货费之和 为求最优策略 令 最佳生产量为 最佳循环时间为 最大存储量为 周期内平均费用为 显然 如果缺货损失费 即相当于不允许缺货的经济生产批量模型 令 即相当于允许缺货的经济定购批量模型 同时令 相当于不允许缺货的经济订购批量模型 例某装配车间每月需要零件490个 该零件由厂内生产 生产速率为每月900个 每批生产准备费为100元 每月每个零件存储费为0 5元 每月每缺一个零件损失0 75元 分别计算不允许缺货和允许缺货情况下经济生产批量及相关指标 解依题意有r 490件 月 v 900件 月 c1 100元 次 c2 0 5元 件 月 c3 0 75元 件 月 不允许缺货允许缺货最优生产量656件757件最低平均费用328元 月129 4元 月最大存储水平299件259件周期1 34月1 57月 4 7生产函数模型 增加生产 发展经济手段 增加投资 增加劳动力 提高技术 建立产值与资金 劳动力之间的关系 生产函数 研究资金与劳动力的最佳分配 使投资效益最大 研究资金与劳动力满足的条件 使产值和劳动生产率保持增长 产值Q t 在时刻t 设产值 资金和劳动力相互的关系为 F为待定函数 对固定的t 建立道格拉斯 Douglas 生产函数 每个劳动力的产值 为探讨函数F的具体表达式 引入记号 Z随着y的增加而增加 但增长速度递减 从而可以假设 每个劳动力的投资 函数满足上面的要求 常数可看成是技术的作用 将上面的形式代入到 Douglas生产函数 记表示单位资金创造的产值 表示单位劳动力能创造的产值 更一般的道格拉斯 Douglas 生产函数为 是资金在产值中的份额 劳动力在产值中的份额 Douglas生产函数的性质 1 产值Q分别是资金K和劳动力L的递增函数 但增长率逐渐下降 2常弹性 其中资金弹性为 劳动力弹性为 3 等量线是单调下降和严格下凸的 4 它是次齐次函数 由该性质可对经济学中规模报酬问题给出一个定量的表示 规模报酬问题 如果劳动力增加一倍 资金增加一倍 则生产增加多少 若生产也增加一倍 则称为规模报酬不变 若生产增加超过一倍 则称为规模报酬增加 若生产增加不到一倍 则称为规模报酬减少 5 若产出Q 资金K和劳动L都为时间t的函数 则 即相对增长量之间呈线性关系 这表明产出的增长是由资本和劳动投入量的增长带来的 w r K L 求资金与劳动力的分配比例K L 使效益S最大 资金和劳动力创造的效益 设资金来自贷款 利率为r 单位劳动力所付工资w 资金与劳动力的最佳分配 产值和劳动生产率增长的条件 衡量经济增长的指标 总产值Q和每个劳动力的产值满足什么条件才能使保持增长 假设 1 投资增长率与产值成正比 比例系数 2 劳动力的相对增长率为常数 即 将代入得到 又因两端求导得 比较上面两式 就有 此方程为Bernoulli方程 其中 经济意义为初始投资增长率 根据上面的式子来研究保持增长的条件 其解为 1 增长 由条件及得 其中y以 式代入 可知条件等价于 注意到上式右端大于1 所以当 即劳动力不减少 时 上式总成立 而当时 上式成立的条件是 此式说明在劳动力减少的条件下 产值只能在短时间内增长 则满足不等式的t是非正的 即不存在这样的时间 2 增长 由条