初一第03讲有理数加减.doc

第03讲 有理数加减运算适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域全国-人教版课时时长（分钟）120分钟知识点1.有理数的加法法则2.有理数的加法运算律3.有理数的减法法则4.有理数加减法运算中的转换思想教学目标1.使学生了解有理数加减法的意义2.使学生理解有理数加减法的法则，能熟练地进行有理数加减运算3.使学生理解加法运算律在有理数加减运算中的作用，能运用加法运算律简化加减运算4.培养学生分析问题、解决问题的能力5.培养学生计算能力,在算法优化过程中培养学生观察能力和思维能力教学重点有理数加减法运算法则及运算律教学难点灵活用运算律进行简便运算教学过程一、复习预习在小学里，我们已经学过了正整数、正分数（包括正小数）及数0的四则运算.现在引入了负数，数的范围扩充到了有理数.那么，如何进行有理数的运算呢？现在我们来共同研究这个问题.二、知识讲解1. 一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案，因为问题中并未指出行走方向，所以我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负. (1) 若两次都是向东走，很明显，一共向东走了50米，写成算式就是： ，即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在数轴上表示如图： (2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，写成算式就是：，即这位同学位于原来位置的西方50米处.思考：还有哪些可能情形?你能把问题补充完整吗?(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图：写成算式是，即这位同学位于原来位置的西方10米处.(4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是：（ ）即这位同学位于原来位置的( )方( )米处.(5)第一次向西走了30米，第二次向东走30米.写成算式是： ( ).(6)第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是：( ).你能发现什么？综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数.2. 在小学里，我们曾经学过加法的交换律、结合律，这两个运算律在有理数加法运算中也是成立的吗？探索：任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列和内，并比较两个算式的运算结果. + 和 + 很重要！ 任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列、和内，并比较两个算式的运算结果。 ( + )+ 和 +( + )。总结：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.即加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化.3. 我们知道，已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法.例如计算 (8)(3)也就是求一个数?使( ? )+(3)=8.根据有理数加法运算，有(5)+(3)=8，所以 (8)(3)=5。减法运算的结果得到了。试一试：再做一个填空：(8)+( )=5，容易得到(8)+(+3)=5。比较、两式，我们发现：8“减去3”与“加上+3”结果是相等的.概括：上述两例启发我们可以将减法转换为加法来进行. 有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数.如果用字母表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：.4. 在进行有理数加减混合运算时，可以灵活运用加法的运算律，可以使运算简便 （1）互为相反数的两个数，可以先加. （2）几个数相加得整数时，可先相加. （3）同分母的分数可先加.（4）符号相同的数可先加.考点/易错点1应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事.考点/易错点2三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算.常见技巧有：(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号.考点/易错点3由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则在使用法则时，注意被减数是永不变的.考点/易错点4有理数的加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便.但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换.三、例题精析【例题1】【题干】计算： （1） （2） （3） （4）【答案】（1） （2） 解：原式= 解：原式= = =（3） （4）解：原式= 解：原式= =【解析】进行有理数的加法运算，应注意先确定符号和绝对值两部分，先判断是什么样的两个有理数相加，然后按照有理数加法的三条法则来具体处理.【例题2】【题干】计算： （1）（2）（3）（4）【答案】（1）解：原式= =（2）解：原式=（3）解：原式=（4）解：原式=【解析】本题运用加法的交换律、结合律，使运算简便.具体技巧有以下几点：（1）若有小数，能凑整的先加.（2）同分母的分数或有倍数关系的分数可结合一起计算.（3）互为相反数的两个数，可把它们结合在一起.（4）先把正数、负数分别集中相加，再把所得的结果相加【例题3】【题干】列式并计算：与的和的绝对值的相反数与的和【答案】解：由题意得： 【解析】认真审题，看清题意，本题求得的是与的和的绝对值，而不是求绝对值的和，在去绝对值符号时要注意利用绝对值的定义化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对数值是它的相反数【例题4】【题干】某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，这个检修小组一天中行驶的距离记录如下（单位：千米）：-4，+7，-9，+8，+6，-4，-3（1）求收工时检修小组距A地多远？（2）距A地最远时是哪一次？（3）若检修小组所乘汽车每千米耗油0.5升，则从出发到收工时共耗油多少升？【答案】解：（1）-4+7+（-9）+8+6+（-4）+（-3）=1（千米）答：收工时检修小组在A地东面1千米处（2）第一次距A地|-4|=4千米；第二次：|-4+7|=3千米；第三次：|-4+7-9|=6千米；第四次：|-4+7-9+8|=2千米；第五次：|-4+7-9+8+6|=8千米；第六次：|-4+7-9+8+6-4|=4千米；第七次：|-4+7-9+8+6-4-3|=1千米所以距A地最远的是第5次（3）从出发到收工汽车行驶的总路程：|-4|+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-4|+|-3|=41；从出发到收工共耗油：410.5=20.5（升）答：从出发到收工共耗油20.5升【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示【例题5】【题干】已知有理数+3，-8，-10，+12，请你通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，这个最大值是_【答案】解：（+3+12）-（-8-10）=15+18=33故答案是：33【解析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解当（+3+12）-（-8-10）时，计算的结果最大是关键【例题6】【题干】已知两个数的和为，其中一个数为，求另一个数【答案】解：故另一个数是【解析】本题通过有理数的减法考查了加法各部分间的关系，是基础题型【例题7】【题干】弘文中学定于十一月份举行运动会，组委会在整修百米跑道时，工作人员从A处开工，约定向东为正，向西为负，从开工处A到收工处B所走的路线（单位：米），分别为+10、-3、+4、-2、+13、-8、-7、-5、-2，工作人员整修跑道共走了多少路程？【答案】解：|+10|+|-3|+|+4|+|-2|+|+13|+|-8|+|-7|+|-5|+|-2|，=，=54米【解析】本题考查了有理数的加法，这是基础，要熟练掌握四、课堂运用【基础】1. 计算：（1） =_ （2）=_（3）=_ （4）=_【答案】（1） （2） （3） （4）【解析】根据有理数的加法和减法法则分别计算即可本题考查了有理数的加减混合运算，异分母的分数相加，先通分，再计算2. |x-1|+|y+3|=0，则y-x-的值是（）A-4 B-2 C-1 D1【答案】解：|x-1|+|3+y|=0，x-1=0，3+y=0，解得y=-3，x=1，y-x-=-3-1-=-4故选A【解析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0根据这个结论可以求解这类题目3. 已知xy，z三个有理数之和为0，若，y= ，则z=_【答案】解：由题意得：，将，y= ，代入得：z=-x-y=-3故答案为：-3【解析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键4. 计算： （1） （2）【答案】（1）解：原式=（2）解：原式= = =【解析】（1）原式利用减法法则变形，相加即可得到结果；（2）原式利用减法法则变形，相加即可得到结果此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键5. 计算:(1)(2) 【答案】（1）解：原式= =（2）解：原式= =【解析】本题根据加法交换律、结合律，把互为相反数、同分母的分数、能凑整的、正数与负数分别相加，使运算简便.6. 某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次-3+8-9+10+4-6-2（1）在第_次纪录时距A地最远（2）求收工时距A地多远？（3）若每km耗油0.3升，每升汽油需7.2元，问检修小组工作一天需汽油费多少元？【答案】解：（1）由题意得，第一次距A地|-3|=3千米；第二次距A地-3+8=5千米；第三次距A地|-3+8-9|=4千米；第四次距A地|-3+8-9+10|=6千米；第五次距A地|-3+8-9+10+4|=8千米；而第六次、第七次是向相反的方向又行驶了共8千米，所以在第五次纪录时距A地最远故答案为：五（2）根据题意列式：答：收工时距A地2km（3）根据题意得检修小组走的路程为：|-3|+|+8|+|-9|+10|+|+4|+|-6|+|-2|=42（km）420.37.2=90.72（元）答：检修小组工作一天需汽油费90.72元【解析】（1）分别计算每次距A地的距离，进行比较即可；（2）收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值；（3）所有记录数的绝对值的和0.4升，就是共耗油数此题主查考查正负数在实际生活中的应用及有理数的加减混合运算，学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学【巩固】1. 在1，-1，-2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A1 B0 C-1 D-3【答案】解：在1，-1，-2这三个数中，只有1为正数，1最大；|-1|=1，|-2|=2，12，-1-2，任意两数之和的最大值是1+（-1）=0故选B【解析】考查有理数的比较及运算；得到三个有理数中2个较大的数是解决本题的突破点2. 小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是_【答案】解：由图可知，左边盖住的整数数值是-2，-3，-4，-5；右边盖住的整数数值是1，2，3，4；所以他们的和是-4【解析】根据数轴的单位长度，判断墨迹盖住部分的整数，然后求出其和3. 计算（1） （2）【答案】（1） 解：原式= =（2）解：原式 【解析】（1）运用结合律进行计算（2）将分数化为小数后直接进行有理数的加减运算本题考查有理数的加法，注意先观察题目，看是否有简单的算法4. 实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度下表是某次测量数据的部分记录（用A-C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是_米A-CC-DE-DF-EG-FB-G90米80米-60米50米-70米40米【答案】解：由表中数据可知：A-C=90，C-D=80，D-E=60，E-F=-50，F-G=70，G-B=-40，+，得：（A-C）+（C-D）+（D-E）+（E-F）+（F-G）+（G-B）=A-B=90+80+60-50+70-40=210观测点A相对观测点B的高度是210米【解析】认真审题可以发现：A比C高90米，C比D高80米，D比E高60米，F比E高50米，F比G高70米，B比G高40米然后转化为算式，通过变形得出A-B的关系即可此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学5. 计算：【答案】解：原式=【解析】有理数的加减运算有许多技巧，本例用到了列项求和.将一项拆成两项，看似复杂的计算变得简单.6. 一名潜水员在水下方80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下游追逐猎物，当它向下游42米后追上猎物，此时猎物垂死挣扎，立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后被鲨鱼一口吞吃（1）求鲨鱼吃掉猎物时所在的位置；（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有什么变化？【答案】解：（1）（-80）+（+25）+（-42）+（+10）=-80+25-42+10=-122+35=-87即鲨鱼在水下方87米处吃掉猎物；（2）（-80）+（25）-（-87）=-80+25+87=-80+112=32鲨鱼向下游了32米【解析】（1）根据向上为正，向下为负列式，然后根据有理数的加减混合运算的方法进行运算即可；（2）先表示出鲨鱼开始时的位置，然后减去吃掉猎物时的位置，再根据有理数加减混合运算的方法进行计算，结果是正数则表示向下游，是表示负数则象上游本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意并列出算式是解题的关键，熟练掌握混合运算的方法也很重要【拔高】1. 计算：【答案】解：原式= = =【解析】本题考查有理数的混合运算，若直接进行计算本题会比较麻烦，所以在以后的解题过程中要学会观察2. 一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是_个单位【答案】解：由题意可知，第1、2次落点处离O点的距离是1个单位，第3、4次落点处离O点的距离是2个单位，以此类推，第100次落下时，落点处离O点的距离是50个单位【解析】由题意可知，第1、2次落点处离O点的距离是1个单位，第3、4次落点处离O点的距离是2个单位，以此类推，找出规律可求此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学课程小结 1.掌握有理数加法和减法运算法则 2.会利用加法交换律和结合律进行简便运算 3.能把所学的知识应用到实际中去，灵活运用课后作业【基础】1. 计算： （1） （2）【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= = = =【解析】（1）运用结合律进行计算（2）将分数化为小数后直接进行有理数的加减运算本题考查有理数的加法，注意先观察题目，看是否有简单的算法2. 已知，则=_【答案】解：， 又，则=【解析】绝对值等于一个正数的数有两个，且它们互为相反数熟练运用有理数的运算法则本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中3. 下列说法正确的是（） A两个有理数相加，就是把它们的绝对值相加 B两个有理数相减，就是把它们的绝对值相减 C两个一有理数相加，和可能小于其中的每一个加数 D两个有理数相减，差一定小于被减数【答案】解：A、两个有理数相加即这两个数的值相加，而不是它们的绝对值相加，故本选项错误；B、两个有理数相减即这两个数的值相减，而不是它们的绝对值相减，故本选项错误；C、两个一有理数相加，和可能小于其中的每一个加数，故本选项正确；D、当一个有理数减去一个负数的时候差大于被减数，故本选项错误故选C【解析】加上一个负数等于减上一个正数，减上一个负数等于加上一个正数，由此可得出答案本题考查有理数的加减法，属于基础题，注意掌握有理数加法的定义及特点4. 把5-（+3）-（-7）+（-2）写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（）A 5-3-7-2 B5-3+7-2 C5+3-7-2 D5+3+7-2【答案】解：5-（+3）-（-7）+（-2）=5+（-3）+（+7）+（-2）=5-3+7-2故选B【解析】必须统一成加法后，才能省略括号和加号5. 两个有理数的和为a，这两个数的差为b，那么a，b的大小关系是（）A B C D以上都有可能【答案】解：两个有理数的和为，这两个数的差为b，那么，b的大小关系不能确定故选D【解析】不确定这两个有理数，就无法比较两个有理数和与差的大小关系6. 某校举办秋季运动会，七年级（1）班和七年级（2）班进行拔河比赛，比赛规定标志物红绸向某班方向移动2m或2m以上，该班就获胜红绸先向（2）班移动0.2m，后又向（1）班移动0.5m，相持几秒后，红绸向（2）班移动0.8m，随后又向（1）班移动1.4m，在一片欢呼声中，红绸再向（1）班移动1.3m，裁判员一声哨响，比赛结束，请你用计算的方法说明最终获胜的是几班？【答案】解：记向1班方向移动为正，向2班方向移动为负，根据题意：-0.2+0.5-0.8+1.4+1.3=-1+3.2=2.2米说明红绸向1班方向移动2.2米，一班胜【解析】根据题意列出算式后，根据有理数的加减混合运算法则，计算后就可以判断哪一班获胜. 本题主要考查负数在实际生活中的意义，利用正负数表示一组具有相反意义的量7. 钟面上有1，2，3，11，12共12个数字（1）试在这些数前标上正，负号，使它们的和为0（2）在解题的过程中，你能总结什么规律？用文字叙述出来【答案】解：（1）-1-2-3-5-4+6-7-8-9+10+11+12；（2）规律：先算出总和，再取半，在和为一半的数前加正号，其余的数前添负号【解析】本题考查了有理数的加减混合运算认真审题，找出规律：5个正数绝对值的和等于1，2，3，4，5，12这12个数的和的一半，是解决此题的关键所在【巩固】1. -7，-12，+2的和比它们的绝对值的和小（）A-38 B-4 C4 D38【答案】解：根据题意得：|-7-12+2|-（|-7|+|-12|+|2|）=|-17|-（7+12+2）=17+21=38故选D【解析】本题考查了有理数的加减运算，正确列出算式是关键2. 某商店2013年四个季度的商品销售盈亏情况如下表所示（盈余为正）：季度第一第二第三第四盈亏额（单位：万元）128.5-140-95.5280下列说法中，正确的是（）A盈余644万元B亏本173万元 C盈余173万元D亏本644万元【答案】解：由题意得出：128.5+（-140）+（-95.5）+280=173（万元）故盈余173万元故选：C【解析】根据有理数的加减运算法则直接求出它们的和即可3. 小明做这样一道题“计算：|（-3）+|”，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于6，那么“”表示的数是（） A3 B-3 C9 D-3或9【答案】 解：设这个数为，则 故选D【解析】根据绝对值的性质求得结果，采用排除法判定正确选项考查了绝对值的运算注意绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数4. 已知，y=3，则=_【答案】解：，又y=3，则=