排列组合专题之染色问题3..doc

排列组合专题之染色问题【引例】引例1在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案引例2某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种（以数字作答）【分析】首先栽种第1部分，有种栽种方法；然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示），此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。【剖析】为了深入探讨这一题型的解法，（1）让我们首先用m（m3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准：1和3涂同一种颜色，有m种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法, 共有 种涂法。1和3涂不同种颜色，有种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法， 共有 种涂法。综合和，共有+种涂法。（）下面来分析引例1以A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准：A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法；B、D、F各有3种栽法， 共有 4333108 种栽法。A、C、E栽种两种植物,有种栽法（是4种植物中选出2 种，是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，是选出的2种植物排列），B、D、F共有322 种栽法（注：若A、C栽种同一种植物，则B有3 种栽法，D、F各有2种栽法）， A、C、E栽种3种植物，有种栽法；B、D、F各有2种栽法， 共有 222192 种栽法。综合、，共有 108+432+192=732种栽法。（）上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n（n为偶数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。（4）那么，“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n（n为奇数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？【分析】 对扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m1种涂色方法，扇形P3也有m1种涂色方法，扇形Pn也有m1种涂色方法于是，共有种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n1（n1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。而用m种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（）中给出了解题思路。下面，就让我们把这种解题思路应用于引例2【分析】首先栽种第1部分，有种栽种方法；然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示）， 对扇形2有3种栽种方法，扇形3有2种栽种方法，扇形4也有2种栽种方法，扇形5也有2种栽种方法，扇形6也有2种栽种方法于是，共有种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。综合和，共有种栽法。（当然此式中的18也可以直接用（1）中的公式算出：即）.【拓展】上面，我们分别就n为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？（n为不小于3的整数）【分析】设为符合要求的对n个扇形的涂色方法。对扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m1种涂色方法，扇形P3也有m1种涂色方法，扇形Pn也有m1种涂色方法于是，共有种不同的涂色方法。但是，因为这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n1个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙），不同的涂色方法有种，于是，有（n3）， 显然，上述的式就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出的通项公式：至此，我们就找到了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即【注意】上述问题中的m种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的。【迁移练习】1某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_种（以数字作答）2在