线性代数第四章-向量空间.doc

第四章 向量的线性相关性1 维向量一个含有0，1的数集，如果对于中任意两个数的四则运算结果仍在这个数集中（除数不为0），则称该数集为一数域。容易验证整数集不是数域；有理数集、实数集、复数集均为数域，以后分别称之为有理数域、实数域和复数域。对于任一数域，有。定义1：数域中个数构成的有序数组称为数域上的维向量，向量常用希腊字母等表示。其中称为向量的第个分量。若维向量和的对应分量相等，即（），称向量与相等，记为。向量也称为维行向量。维行向量可视为矩阵来定义加法与数乘。矩阵中关于加法与数乘的性质也适合向量的加法与数乘。向量有时为了方便也写成列的形式。称为维列向量。作为列向量时可视为矩阵来定义加法与数乘。数域上全体维向量的集合对于线性运算称为数域上的维向量空间，记为。2 线性相关性一、线性表示定义2：设是一组维向量，是一组数，称向量 为向量组的一个线性组合。如果某一向量可表示成，则称向量可由线性表示。例如向量组，有，称可由线性表示。注意：线性方程组的增广矩阵可写成分块矩阵形式。其中，（）为的第列元素构成的列向量。定理1：维向量可由向量组线性表示的充要条件是线性方程组有解（这里每个及均为维列向量）。证明：记 ，。若 ，即满足 。亦即是线性方程组的解。反之亦然。例1：设，；，。问能否由线性表示？若能线性表示，求出具体的表达式。解：因为 所以 又 故 从题中可以看出，上述两个线性方程组的系数矩阵完全相同，解这两个线性方程组均需要把它们通过初等行变换化为简化阶梯形。而在进行初等行变换时，不同列的元素之间没有影响。因此，上述两个方程组的增广矩阵可合并为，通过初等行变换把系数矩阵化为简化阶梯形，就可同时求出这两个线性方程组的解。一般地，对系数矩阵相同的若干个线性方程组，可以通过“扩充”增广矩阵的初等行变换来求解。二、线性相关性定义3：设是一组维向量，如果存在一组不全为0的数，使得 成立。则称向量组线性相关，否则称它们线性无关。由定理1可得下列结果：推论1：向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非0解；向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组仅有0解。考虑到齐次线性方程组常数项为零，对于方程组的初等行变换常数项仍为零。故以后齐次线性方程组只用系数矩阵表示。例2：当为何值时，向量组，线性相关。解：当系数矩阵行列式时，齐次线性方程组有非零解。即或时，向量组线性相关。由定义1及推论1容易推出下列结果：1) 向量组中含有0向量，则向量组线性相关2) 若向量组线性相关，则向量组线性相关；反之，向量组线性无关，则向量组线性无关。3) 向量组线性无关，则将添加任意有限个相同个数的分量后所得到的新向量组也线性无关。反之，若向量组线性相关，则截去的若干个分量后所得到的新向量组一定线性相关。事实上，线性相关和线性无关定义还有下列一个等价的说法。定理2：向量组线性相关当且仅当存在组中某一向量可由其余向量线性表示；向量组线性无关当且仅当组中任一向量均不能由其余向量线性表示。证明：这里证定理的前一部分，后一部分读者自行练习。设向量组线性相关，则存在不全为0的数（不妨设某一），使得。从而。即可由其余向量线性表示。反之，设向量可由其余向量线性表示，即 。所以向量组线性相关。例3：1) 设向量组线性无关，证明：向量组，也线性无关。2) 设为任一向量组，证明：向量组，一定线性相关。证明：1) 设有，使得 ，整理得 。因为线性无关，所以 。解得。从而 ，也线性无关。 2) 因 ，由定义 ，线性相关。3 等价向量组一、等价向量组设有向量组(I)： 和向量组(II)：。如果向量组(II)中每一个向量均可由线性表示，称向量组(II)可由向量组(I)线性表示。由定理1及扩充方程组的概念，可知(II)由(I)线性表示扩充的线性方程组有解 秩()=秩()，这里，。定义4：如果向量组(I)与(II)可以相互线性表示，称(I)与(II)等价。易知，(I)与(II)等价扩充线性方程组与均有解秩()=秩()=秩()。例4：设有两向量组 和 ，证明上述两向量组等价。证明： 。因为 秩()=秩()=秩()，所以两向量组等价。二、极大线性无关组定义5：一个向量组中如果存在个向量，满足：(1) 线性无关；(2) 向量组中任一向量均可由线性表示。称为向量组的一个极大线性无关组。 由定义可知，任一向量组与它的极大线性无关组等价。对于向量组，。因为线性无关，所以 ，是一个极大线性无关组；同理可得与均为该向量组的极大线性无关组。此例说明向量组的极大线性无关组不唯一。尽管一个向量组的极大线性无关组不一定唯一，但有下列结果：定理3：向量组的任意两个极大线性无关组中所含向量的个数相同。证明：设与是某向量组的两个极大线性无关组，下证 。因为向量组 线性无关，齐次线性方程组仅有零解，记，所以 秩()=；同理，记，则秩()=。由于极大线性无关组是等价的，所以 秩（）秩（）。从而 。向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为向量组的秩。定理4：矩阵的秩行向量组的秩（也称为矩阵的行秩）列向量组的秩（也称为矩阵的列秩）。证明省略。例5：已知向量组，。求该向量组的一个极大线性无关组，并用它来表示其余向量。解：因为 。所以 线性无关；又。从而 是一个极大线性无关组。且有，。 由例5的计算可以看出：只要把向量组中的向量按列的形式所构成的矩阵用初等行变换化为简化阶梯形，则极大线性无关组以及其余向量用极大线性无关组的线性表示，均可直接从简化阶梯形中得到，读者自已找出其中规律。三、有关秩的一些结果由于初等变换不改变矩阵的秩，即初等矩阵左（右）乘矩阵不改变矩阵的秩，从而可得下列性质1：性质1：若为可逆矩阵，则秩()=秩()=秩()=秩()。性质2：秩()秩()，秩()。证明：设，记 ，。则有 ，即可由线性表示。 秩()秩()，即 秩()秩() 。同理可证：秩()秩()。从而性质2得证。性质3：秩()秩()+秩()。证明留给读者。4 线性方程组解的结构一、解的结构设有线性方程组和对应的齐次线性方程组，则它们的解有下列性质：性质4：设是(2)的解，则对任意数，也是(2)的解。证明：因是(2)的解，所以 ，。从而。即 是(2)的解。此结果可推广到一般情形：设是（2）的解，则对任意数，也是（2）的解。性质5：设是(1)的解，则是(2)的解。性质6：设是(2)的解，是(1)的解，则是(1)的解。仿照性质4可验证性质5和性质6。由以上性质可得：若已知非齐次线性方程组的某一特解和它对应的齐次线性方程组的通解，则非齐次线性方程组的通解为。二、基础解系定义6：设是齐次线性方程组的解，且满足：1）线性无关，2）的任一解可由线性表示。则称是的一个基础解系。例6：求齐次线性方程组的一个基础解系解： 解为 。取，得解 取， ，得解 取， 得解 ，它的秩3。 线性无关。又方程组的任一解可表示为：。即 ，也即任一解可由线性表示。从而 是齐次线性方程组的一个基础解系。例6中的求法就是齐次线性方程组的基础解系的一种常见求法。线性方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初等行变换。实际上，如果交换两个未知量在方程中的位置，也不改变方程组的解，这时对应于增广矩阵进行了对应的一个初等列变换。因此求解过程可对系数矩阵进行列的交换，只不过要调整相应未知量的次序。具体用下面例子来说明。例7：用基础解系表示下列方程组的通解： 。解： 。则按顺序的基础解系为， 。还原成顺序的基础解系为：，。故方程组的通解为 。注：基础解系可以直接从增广矩阵的简化阶梯形中直接得到，读者不妨自行找出规律。例8：求线性方程组的通解（用基础解系表示）。解：对应的齐次线性方程组的基础解系为 ，在通解中取自由未知量全为0，得到齐次线性方程组的一个特解为 。所以方程组的通解为 （为任意数）。5 基、维数、坐标定义7：维向量空间的子集，如果对任意数，和中任意向量，有 ，称为维向量空间的子空间，也称为线性空间。特殊地，维向量空间本身是它自身的子空间，单个0向量构成的子集也构成子空间。集合是线性空间，称为齐次线性方程组的解空间。定义8：如果线性空间中，存在个向量，满足：1）线性无关；2）中任一向量可由线性表示。则称为的一个基，称为的维数，记为或维数（）。由齐次线性方程组的基础解系和线性空间的基定义可得线性方程组的任一基础解系均为其解空间的一个基。设是线性空间的一个基，对中任一向量，则有 ，且表达式是唯一的。事实上，若有 ，则。由线性无关，知，即。由于表达式唯一，称为向量在基下的坐标。定义9：设 和是线性空间的两个基，且 （3）式又可以写成形式矩阵乘法： 。称为从基到基的过渡矩阵。关于形式矩阵乘法，易验证有以下性质：1）；2） 。可以证明