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文档简介

【本讲教育信息】一. 教学内容：几个著名的不等式 二、本周教学目标：1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想3、能将基本不等式推广到一般形式4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及现实世界的联系。三、本周知识要点：定理1：设a，b，c，d均为实数，则当且仅当时等号成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设，是平面上的两个向量，则 当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立定理3：（柯西不等式的一般形式）给定两组实数；有，（*）当且仅当时等号成立。证明：（1）若全为0，则结论显然成立；（2）若不全为0，则，为首项系数大于0的一元二次函数，并且，故的判别式，即显然，当且仅当时等号成立。定理4：设为任意实数，则这个不等式通常称为三角形不等式定理5：n个正数的算术几何平均不等式： 其中，称为这n个正数的算术平均，称为这n个正数的几何平均这个不等式通常称为算术几何平均不等式，它表明：n个正数的算术平均不小于它们的几何平均【典型例题】例1. 设a，b，c为正数，且abc1，求证：证明：左边 证：原不等式等价于 证：设，则 根据三角不等式，即得例4. 把一条长为m的绳子截成三段，各围成一个正方形怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小?解：设三段的长度各为x，y，z则xyzm三个正方形的面积和为因为当且仅当xy时等号成立，所以有最小值，从而S有最小值例5. 已知x0，当x取什么值时，x2的值最小?最小值是多少?分析：注意到x2是和的形式，再看x281为定值，从而可求和的最小值解：x0x20，0，x2218，当且仅当x2，即x3时取“”号故x3时，x2的值最小，其最小值是18【模拟试题】1. 已知3xy10，则为（ ） A. B. 10 C. 1 D. 1002. 若n0，则的最小值为_3. 已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为（ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 已知，求
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