初三数学第二章一元二次方程经典题目.docx

初三数学第二章一元二次方程经典题目题面：在一大片空地上有一堵墙（线段AB），现有铁栏杆40m，准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃（1）如果墙足够长，那么应如何设计可使矩形花圃的面积最大？（2）如果墙AB=8m，那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大？（1）设DE=x，那么面积S=x(20 - ) = +20x = (x-20)2+200当DE=20m时，矩形的面积最大是200m2（2）讨论设DE=x，那么面积S=x(20-)（0x8）=(x-20)2+200当DE=8m时，矩形的面积最大是128m2延长AB至点F，作如图所示的矩形花圃设BF=x，那么AF=x+8，AD=16-x那么矩形的面积S=(x+8)(16-x) = -x2+8x+128= -(x-4)2+144当x=4时，面积S的最大值是144按第二种方法围建的矩形花圃面积最大是144m2已知关于x的方程x22axa2b0，其中a，b为实数(1)若此方程有一个根为2a(a0)，判断a与b的大小关系并说明理由；(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围解：(1)方程x22axa2b0有一个根为2a，4a24a2a2b0整理，得，即(2)4a24(a2b)4a24a8b对于任何实数a，此方程都有实数根，对于任何实数a，都有4a24a8b0，即a2a2b0对于任何实数a，都有当时，有最小值b的取值范围是题面：如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：已知a、b、c满足，求正数的最小值.详解：且， 。是一元二次方程的两个根，化简，得。又此方程必有实数根，此方程的，即，。又 。 。正数的最小值为4一元二次方程的整数根问题题面：关于的方程的根都是整数，求符合条件的的整数值.答案：当时，；当时，（分离常数），为整数综上，的整数值为题面：已知，关于的一元二次方程若，求证：方程有两个不相等的实数根；若的整数，且方程有两个整数根，求的值答案：证明：， .方程有两个不相等的实数根方程有两个整数根，必须使且为整数又， 为奇数，题面：已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数.答案：（1）证明：=(m+3)2-4(m+1) =m2+6m+9-4m-4 =m2+2m+5 =(m+1)2+4 (m+1)20 (m+1)2+40 无论m取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根 （2）解关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得 要使原方程的根是整数根，必须使得(m+1)2+4是完全平方数 设(m+1)2+4=a2 则(a+m-1)(a-m-1)=4 a+m-1与a-m-1的奇偶性相同 可得或 解得或 将代入得符合题意； 当时，原方程的根是整数.题面：已知是一元二次方程的两个实数根（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使为负整数的实数a的整数值详解：（1）成立是一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系可知，；一元二次方程有两个实数根，=4a24（a6）a0，且a-60，解得，a0，且a6由得，即解得，a=240，且a60存在实数a，使成立，a的值是24（2），当为负整数时，a60，且a6是6的约数a6=6，a6=3，a6=2，a6=1a=12，9，8，7使为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7一元二次方程的公共根问题题面：设方程和有公共根，求的值设公共根为，则 得 当时，经检验均合题意题面：三个二次方程，有公共根 求证：； 求公共根的值答案： 设上述三个方程的公共根为，则有，三式相加并提取公因式可得，又，故，(2)公共根为或题面：二次项系数不相等的两个二次方程和(其中，为正整数)有一个公共根，求的值答案：，故两根为和同理，的两根为和由题意可知，故或均可化简为：，即由，为正整数，故或，解得，也可采取与之前相同的解法：设公共根为，则， 消去项并因式分解可得，(由已知可得) 若，则有(或)，与已知矛盾； 若，解法同上 故题面：已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，求 +的值详解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，则at2+bt+c=0，bt2+ct+a=0，ct2+at+b=0，+得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0，(a+b+c)(t2+t+1)=0，而t2+t+1=(t+)2+，(t+)20，t2+t+10，a+b+c=0，a+b= -c，原式=3题面：已知a2，b2，试判断关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0与x2-abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由答案：关于x的两个方程没有公共根详解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设为x0，则有 整理，可得（x0+1）（a+b-ab）=0a2，b2，a+bab，x0= -1把x0= -1代入得，1+a+b+ab=0这是不可能的所以，关于x的两个方程没有公共根一元二次方程的判别式题面：已知关于x的两个一元二次方程：方程：方程：(1)若方程、都有实数根，求k的最小整数值；(2)若方程和中只有一个方程有实数根；则方程，中没有实数根的方程是_(填方程的序号)，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若k为正整数，解出有实数根的方程的根判别式、代数证明答案：(1)7；(2)；D2D1（k4)240，若方程、只有一个有实数根，则D 20D 1；(3)k5时，方程的根为k6时，方程的根为x1题面：若a，b，c，d都是实数，且ab=2(cd)，求