拉普拉斯变换.pdf

第 1 页 共 12 页 附录附录1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 附录附录1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 如果有一个以时间为变量的函数 f t 它的定义域是0t 那么拉氏变换就是如下运算式 st t F sf t e dt A 1 式中s为复数 一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 1 在0t 时 0f t 2 在0t 时的任一有限区域内 f t是分段连续的 3 0 st f t e dt 在实际工程中 上述条件通常是满足的 式 A 1 中 F s成为像函数 f t成为原函数 为了表述 方便 通常把式 A 1 记作 F sL f t 如果已知象函数 F s 可用下式求出原函数 1 2 cj st cj f tF s e ds j A 2 式中 c 为实数 并且大于 F s任意奇点的实数部分 此式称为拉氏变换的反变换 同样 为了表述 方便 可以记作 1 f tLF s 为了工程应用方便 常把 F s和 f t的对应关系编成表格 就是一般所说的拉氏变换表 表 A 1 列 出了最常用的几种拉氏变换关系 一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换 附录附录1 1 1 单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数的拉氏变换 这一函数的定义为 0 0 0 0 t u t t 它表示0t 时 突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量 如图 3 1 所示 单位阶跃函数的拉氏变 换为 0 0 11 stst F sedte ss 在进行这个积分时 假设s的实部比零大 即Re 0s 因此 lim0 st t e 第 2 页 共 12 页 附录附录1 1 2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数的拉氏变换 单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量 它是在持续时间0 期间内作用的矩形 波 其幅值与作用时间的乘积等于 1 如图 3 3 所示 其数学表达式为 0 0 0 1 lim 0 tt t t 和 其拉氏变换为 00 0 00 22 0 lim 11 lim lim 1 1 lim 1 1 1 2 st st s Ltst edt e e ss ss s 附录附录1 1 3 单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换 单位斜坡时间函数为 0 0 0 t f t t t 如图 3 2 所示 斜坡时间函数的拉氏变换为 0 22 0 11 ststst t F stedtee sss Re 0s 同理单位抛物线函数为 2 1 2 f tt 其拉氏变换为 3 1 F s s Re 0s 附录附录1 1 4 正弦和余弦时间函数的拉氏变换正弦和余弦时间函数的拉氏变换 正弦函数的拉氏变换为 00 00 22 1 sin sin 2 11 22 111 2 stj tj tst sjtsjt LtF stedteeedt j edtedt jj j sjsj s 同理求得余弦函数的拉氏变换为 22 cos LtF s s 常用的拉氏变换法则 不作证明 常用的拉氏变换法则 不作证明 1 线性性质线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性 拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以 第 3 页 共 12 页 常数时 其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数 即 L af taF s 拉氏变换的叠加性是 若 1 f t和 2 f t的拉氏变换分别是 1 F s和 2 F s 则有 1212 L f tf tF sF s 2 微分定理 微分定理 原函数的导数的拉氏变换为 0 df t LsF sf dt 式中 0 f f t在0t 时的值 同样 可得 f t各阶导数的拉氏变换是 2 2 2 0 0 d f t Ls F ssff dt 3 32 3 0 0 d f t Ls F ss f ssff dt 121 0 0 n nnnn n d f t Ls F ssf ssff dt 如果上列各式中所有的初始值都为零 则各阶导数的拉氏变换为 L f tsF s 2 L fts F s 3 L fts F s nn L fts F s 图 1 平移函数 3 积分定理 积分定理 原函数 f t积分的拉氏变换为 0 t f t dt F s Lf t dt ss 当初始值为零时 F s Lf t dt s 4 时滞定理 时滞定理 如图 A 1 所示 原函数 f t沿时间轴平移T 平移后的函数为 f tT 该函数 第 4 页 共 12 页 满足下述条件 0t 时 0f t 0tT 时 0f tT 则平移函数的拉氏变换为 0 stsT L f tTf tT edteF s 这就是时滞定理 5 初值定理 初值定理 如果原函数 f t的拉氏变换为 F s 并且lim s sF s 存在 则时间函数 f t的初值 为 0 lim lim ts f tsF s 表 A 1 拉普拉斯变换对照表 原函数 拉普拉斯函数 f t F s t 1 1 t 1 s at e 1 sa at te 2 1 sa 1 1 2 3 1 r at t er r 1 rsa sin t 22 s cos t 22 s s n t 1 n n s 1 btat beae ba s sa sb sin at n et 22 n n sa cos at n et 22 n sa sa 2 2 sin1 1 nt n n et 2 22 2 n nn ss 第 5 页 共 12 页 原函数 拉普拉斯函数 2 2 1 sin 1 1 nt n et 2 1 1 tan 01 22 2 nn s ss 6 终值定理 终值定理 如果原函数 f t的拉氏变换为 F s 并且 sF s在s平面得右半平面和虚轴上是解 析的 则时间函数 f t的稳态值可如下求得 0 lim lim ts f tsF s 这一定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的 但是 当 sF s的极点的实部为正或等于零时 不能 应用终值定理 这一点必须注意 在下面的例题中 还要说明 例例1 应用初值定理求 2 1 2 F s s 的原函数 f t的初始值 0 f和 0 f 1 求 0f 根据初值定理 0lim s fsF s 得 2 1 0limlim0 4 2 4 ss s f s s s 2 求 0 f 因为 2 00 2 s L ftsF sff s 将已求得的 00f 带入上式得 2 2 s L ft s 根据初值定理得 2 2 1 0limlim1 44 2 1 ss s fs s ss 可以校核这一结果的正确性 由 LF sf t 得 2t f tte 2 0 0l i m0 t t ft e 22 0 0lim21 tt t fete 例例 2 应用终值定理求 55 t f te 的终值 第 6 页 共 12 页 因 5 1 F s s s 所以得 00 5 limlimlim5 1 tss f tsF s s 也可以按下式求 f t的终值 limlim 55 5 t tt f te 例例 3 应用终值定理 22 F s s 原函数的终值 并用 sinf tt 的终值进行校核 由于 22 s sF s s 有两个极点在虚轴上 所以不能应用终值定理 如用终值定理 则得 22 00 limlimlim0 tss s f tsF s s 这个结论是错误的 因为表1A 得知原函数为 sinf tt 该函数为周期性的简谐振荡函数 没有终 值 7 卷积和定理卷积和定理 如果时间函数 1 ft和 2 ft都满足条件 当0t 时 12 0f tft 则 1 ft和 2 ft的卷积为 1212 0 t f tftfftd 由于卷积符合交换律 卷积也可写成 2121 0 t ftf tff td 1221 f tftftf t 如果 1 ft和 2 ft是可以进行拉氏变换的 11 F sL f t 22 FsL ft 那么 12 f tft 的 拉氏变换可求得如下 1212 0 t LfftdF s Fs 这称为卷积定理 根据卷积符合交换律得 2121 0 t Lff tdFs F s 因此 12211221 L f tftL ftf tF s F sF s F s 8 位移性质位移性质 如果 L f tF s 则有 at L ef tF sa Re0sa 第 7 页 共 12 页 附录附录1 2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 求反变换的运算公式是 1 2 cj st cj f tF s e ds j 用上式求反变换显然是很复杂的 但是对与绝大多数控制系统 并不需要利用这一公式求解反变换 而 是按照下面的方法求反变换 在控制系统中 拉氏变换可以写成下列一般形式 1 011 1 011 mm mm nn nn b sbsbsb F s a sa sasb 3A 一般nm 式3A 可以分解为诸因式之积 12 12 m n K szszsz F s spspsp 4A 式中当 12 m szszsz 时 0F s 因此 12 m zzz 称为复变函数 F s 的零点 当 12 n spspsp 时 F s 因此 12 n ppp 称为复变函数 F s的极点 对于4A 式所示的拉氏变换 可以用部分分式展开 然后查拉氏变换表来求原函数 1 只包含不相同极点时的反变换只包含不相同极点时的反变换 f t 因为各极点均不相同 因此 F s可以分解为诸分式之 和 12 12 n n AAA F s spspsp 式中的 12 n A AA 为常数 i A称为 i sp 的留数 该值可以按下式求出 lim i ii sp Asp F s 即 i iisp AF s sp 当各项系数求出后 可按下式求原函数 f t 111112 12 n n AAA f tLF sLLL spspsp 因 1 i p t i i i A LAe sp 故得 12 12 n p tp tp t n f tAeA eA e 0t 例例4 求下列拉氏变换得反变换 第 8 页 共 12 页 1 已知 3 1 2 s F s ss 求 1 f tLF s 将 F s分解为部分分式 12 12 AA F s ss 式中 11 3 1 2 1 2 s s As ss 22 3 2 1 1 2 s s As ss 于是 2 2 tt f tee 0t 2 已知 32 465 1 2 sss F s ss 求 1 f tLF s 因上式中得分子得幂次大于分母s得幂次 在求其反变换前 先将分子除以分母 得 3 1 1 2 s F ss ss 对上式中得三项分别求拉氏反变换 1111 3 1 1 2 s f tLF sLsLL ss 式中 1 dt Ls dt 1 1 Lt 12 3 2 1 2 tt s Lee ss 因此得到原函数为 2 2 tt dt f ttee dt 0t 2 包含共轭复极点得反变换 包含共轭复极点得反变换 如果 F s有一对共轭极点 则可利用下面得展开式简化运算 设 1 p 2 p 为共轭极点 则 312 123 n n AAAsA F s spspspsp 式中的 1 A及 2 A可按下式求解 11 1212 spsp F s spspAsA 因为 1 p 是一个复数值 故等号两边都是复数值 使等号两边的实数部分和虚数部分分别相等 得两个 方程式 联立求解 即得到 1 A及 2 A两个常数值 例例5 已知 012 22 1 1 1 AAsAs F s s sssss 求 f t 三个极点分别为 第 9 页 共 12 页 0s 1 2 13 0 50 866 22 sjj 确定各部分分式得待定系数 00 2 1 1 1 s s As s ss 因 2 0 50 86612 2 1 1 0 50 866 1 sj sss AjA s ss 可得 12 0 50 866 0 50 866 0 50 866 j AjA j 即 2 1212 0 50 866 0 50 866 0 50 866 0 50 866 0 50 866 jAjAjAjAj 使等号两端得实部和虚部分别相等 得 12 0 50 50 5AA 12 0 8660 8660 866AA 解之得 1 1A 2 0A 所以 22222 110 50 5 1 0 5 0 866 0 5 0 866 ss F s ssssss 则 1 2222 10 50 5 0 5 0 866 0 5 0 866 s f tL sss 0 50 5 1cos0 8660 57sin0 866 tt etet 0t 3 包含有包含有 r 个重极点时的反变换个重极点时的反变换 如果有 r 个重极点 则 F s可写为 12 012 m r rrn K szszsz F s spspspsp 将上式展开成部分分式 010201 1 0001 rnr rr rn AAAAA F s spspspspsp 在上式中 12 rr AA 的计算与在单极点情况下求待定系数的方法相同 而 01020 r AAA 的求法如下 0 0 0 0 010 020 1 00 1 1 00 1 1 1 1 1 r sp r sp i r i i sp r r r r sp AspF s d AspF s ds d AspF s ids d AspF s rds 第 10 页 共 12 页 则具有r个重极点的拉氏反变换为 0 1 120102 01 0 1 2 nr p tp tptrr rrn AA f tttAeA eA et rr 例例6 求 2 3 2 1 s F s ss 的拉氏反变换 将 F s分解为部分分式 010203 2 2 21 AAA F s sss 上式中各项系数为 2 01 2 2 2 02 2 2 03 2 1 3 2 1 2 1 3 2 2 2 1 3 1 2 2 1 s s s s As ss ds As dsss s As ss 于是得 2 122 2 2 1 F s sss 所以原函数为 2 2 2 0 tt f tteet 附录附录1 3 用拉氏变换求解系统得暂态过程用拉氏变换求解系统得暂态过程 上面介绍了用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法 今举例说明用这种方法求解系统的暂态过程 例 例 设一线性系统的微分方程为 2 2 566 cc c d xdx xu t dtdt 并设初始条件是 0 2 0 2 cc xx 求输出量 c x t 系统微分方程的拉氏变换为 2 0 0 5 5 0 6 6 cccccc s XssxxsXsxXss 代入初始条件的值并整理得 c Xs如下方程 22 2 21262126 56 3 2 c ssss Xs s sss ss 将上式展开为部分分式 012 32 c AAA Xs sss 式中 第 11 页 共 12 页 0 0 1 3 2 2 1 3 4 2 5 c s c s c s AXs s AXs s AXs s 因此 145 32 c Xs sss 利用表1A 就可求出上式的拉氏反变换为 32 145 tt c x tee 上述解由两部分组成 稳态解为 暂态解为 32 45 tt ee 系统的稳态解也可以用终值定理求得 2 00 2126 lim lim lim1 3 2 cc tss ss x tsXs ss 例 例 图27 所示闭环