2006年山东高考数学理科试题及答案.doc

2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修）第I卷（共60分）三解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.（I）求（II）计算.解：（I）的最大值为2，.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，.过点，又.（II）解法一：，.又的周期为4，解法二：又的周期为4，18（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.解：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.19（本小题满分12分）ABCA1VB1C1如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90，设（1）求证直线是异面直线与的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角的大小。解法1：（）证明：平面平面，又平面平面，平面平面，平面，又，.为与的公垂线.（）解法1：过A作于D， 为正三角形，D为的中点.BC平面，又，AD平面，线段AD的长即为点A到平面的距离.在正中，.点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，则平面，且=.由（）知，设A到平面的距离为x，即，解得.即A到平面的距离为.则所以，到平面的距离为.(III)过点作于，连，由三重线定理知是二面角的平面角。在中，。所以，二面角的大小为arctan.解法二：取中点连,易知底面，过作直线交。取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。（I），。 又由已知。，而。又显然相交，是的公垂线。（II）设平面的一个法向量， 又 由取 得 点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。，设所求距离为。则所以，A到平面VBC的距离为.（III）设平面的一个法向量 由 取 二面角为锐角，所以，二面角的大小为20（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率。解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为所以.（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.所以随机变量的概率分布为2345因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则21（本小题满分12分）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。（1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。解：（）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ，双曲线的方程为（）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，则在双曲线上，同理有：若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.，此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程，则.，分的比为.由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则.，.，又，即将代入得，否则与渐近线平行。解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，则,。同理.即。（*）又消去y得.当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。由韦达定理有：代入（*）式得所求Q点的坐标为。22（本小题满分14分）已知，点在函数的图象上，其中（1）证明