2012—2013高三文科一轮011：三角函数和三角恒等变换.doc

20122013高三文科数学第一轮复习学案zhaoshuping复习内容十一：基本初等函数（三角函数）考纲要求（2012）(1)任意角的概念、弧度制了解任意角的概念.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.(2)三角函数定义理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.理解同角三角函数的基本关系式：.能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，(3)三角恒等变换两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.(4)三角函数的图像和性质能画出的图像，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等），理解正切函数在区间内的单调性.了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数 对函数图像变化的影响。了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.任意角的概念、弧度制一、基础梳理1.任意角(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的_叫做角(2)按旋转方向的不同，角可分为_、_和_与终边相同的角，连同角在内可以表示为集合S_的形式2.象限角和轴线角(1)角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(2)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为轴线角(3)区间角是介于两个角之间的所有角，如：(4 )区域角是直角坐标平面内某个区域内的所有角，如：3.角的度量(1)角度制：周角的叫做1度角，用度、分、秒作量角单位的制度叫做角度制(2)弧度制：等于_的圆弧所对的圆心角叫1rad(弧度)的角，用弧度作量角单位的制度叫弧度制(3)角度制与弧度制间的换算关系180_(弧度)，1弧度_.在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(4)弧长l、半径r与其弧所对的圆心角的弧度数之间的关系为：.扇形面积.二、考点分析1.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360的整数倍2.角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为x|x2k，kZ，也可以表示为x|x2k，kZ三、典例分析1.给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个D4个2.下列说法中，正确的是()A第一象限的角是锐角 B锐角是第一象限的角C小于90的角是锐角 D0到90的角是第一象限的角3.设，且的终边与角的终边相同，则tan等于()A1 B C1 D14.终边在x轴正半轴上的角的集合是_终边在y轴正半轴上的角的集合是_终边在x轴负半轴上的角的集合是_终边在y轴负半轴上的角的集合是_终边在x轴上的角的集合是_终边在y轴上的角的集合是_终边落在坐标轴上角的集合是_终边在直y =x上的角的集合为_第一象限角的集合是_第二象限角的集合是_第三象限角的集合是_第四象限角的集合是_5.与终边关于原点对称，与的关系式为_与终边关于x轴对称，与的关系式为_与终边关于y轴对称，与的关系式为_6.如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_和_7.(1)若k18045(kZ)，则是()A第一或第三象限角 B第一或第二象限角C第二或第四象限角 D第三或第四象限角(2)已知角是第二象限角，求：角是第几象限的角；角2终边的位置；8.，则=_9.已知是第二象限角，且，则的取值范围为_10.(1)已知扇形的半径为10 cm，圆心角为120，则扇形的弧长为_，面积为_(2)周长为c的扇形，当扇形的圆心角_弧度时，其面积最大，最大面积是_11.一扇形半径长与弧长之比是，则该扇形所含弓形面积与该扇形的面积之比为（ ）A. B. C. D.三角函数定义 同角三角函数基本关系式一、基础梳理1.把角的顶点放在坐标原点，角的始边与x轴正半轴重合，设点P(x，y)是角终边上任意一点，它与原点的距离是r(r0)，则定义：sin_，cos_，tan_2.取何值时sin，cos，tan有意义？sin，cos，tan的取值集合是什么？3.一个角的各三角函数值的符号与此角所在象限有怎样的关系？为什么？4.与其终边相同角的同名三角函数值有怎样的关系？为什么？5.根据三角函数定义：sin、cos、tan之间有怎样的关系？为什么？6.根据三角函数定义：sin与sin()，cos与cos()，tan与tan()之间有怎样的关系？为什么？7.三角函数线正弦线:_余弦线:_正切线:_用三角函数线能分析问题4、5、6吗？二、考点分析1.已知角终边上一点的坐标，即可计算角的三角函数值2.任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关若角的终边位置已经确定，则无论角的大小如何或点P选择在终边上的什么位置(原点除外)，角的三角函数值都是确定的3.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限4.已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限5.同角三角函数基本关系式的应用(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值；(2)运用它对三角函数式进行化简、求值或证明利用同角三角函数的平方关系求三角函数值时，在开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍6.利用方程思想，对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断三、典例分析1.当角的终边在直线3x4y0上时，|sincos|( )A.0 B. C. D.2.若角的终边经过点P(，m)，且 sinm(m0)，则cos _.3.已知角的终边经过点P(x，)(x0)，且sinx，则tan_.4.如果点P(sincos，2cos)位于第三象限，则角在_象限.5.若为第一象限角，那么sin2，cos2，sin，cos中必定为正值的有()A.0个B.1个C.2个D.3个6.点P从(2，0)出发，在圆x2y24上运动(1)若点P沿逆时针方向旋转弧度，到达M点，则M的坐标为_.(2)若点P沿逆时针方向运动弧长，到达M点，则M的坐标为_.7.(1)若在第四象限，则sin(cos)cos(sin)_0.(填 号)(2) 若是第二象限角，则 _0.(填 号)(3)若tan(cos)sin(sin)0，则角在_象限.8.用三角函数线解决问题：(1)sin=，则 =_. (2)sin，则的取值集合为_.(3)(4)(5)已知点P(sinxcosx，tanx)在第一象限，求在0，2内x的取值范围.(6)如果是第一象限角，那么恒有()Asin0 Btancos Dsin0，则cos=_.11.已知ABC中，则cosA等于()A B C D12.化简下列各式(化简是一种不指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低，能求出值的要求出值化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化)(1) (是第三象限角)；(2)；(3)sin2sin2sin2sin2cos2cos2；(4)(5)13.已知tan2，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin2sincos2cos2的值；(4)sincos 和sin(sin3cos)的值14.已知x是三角形内角，并且sinxcosx.则tanx_.15.已知x0，sinxcosx.则sin2xcos2x_.16.已知sincos，且，则sincos_.17.已知，那么的值是()A B C2 D2诱导公式一、基础梳理1.函数名不变的诱导公式(1)sin(2k)_；cos(2k)_；tan(2k)_.(kZ)(2)sin()_；cos()_；tan()_.(3)sin()_；cos()_； tan()_.(4)sin()_；cos()_；tan()_.(5)sin(2)_；cos(2)_；tan(2)_.2.函数名改变的诱导公式(1)sin_； cos_.(2)sin_； cos_.(3)sin_； cos_.(4)sin_； cos_.总结：诱导公式可看做是角k (kZ)与角的同名三角函数值的关系.二、考点分析1.利用诱导公式进行化简求值的程序是：“负化正，大化小，化到锐角就行了”但这样做需要多次运用诱导公式，思维链过长，计算繁琐，也就容易出错，而活用“奇变偶不变，符号看象限”(其中“奇、偶”是指“k(kZ)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角看作锐角时，k 的三角函数值的符号)，即“一步到位”法来化简，就能快而准地直达目的地2.利用诱导公式进行化简时，一般多直接应用公式，在此情况下容易出错的地方是诱导公式掌握的不准确3.诱导公式的一个重要作用是使三角函数“变名”.三、典例分析1.求值(1)cos585 =_.(2)cos()=_.(3)sin()sin()=_.(4)=_.(5)=_.(6)=_.(7)已知cos，且|，则tan_. (8)sin21sin22sin23sin288sin289的值为_2.已知sin是方程5x27x60的根，且是第三象限角，则(1)(2)(3)3.已知sin(3)cos和cos()cos()，且0，0，求和的值4.已知0，sin.(1)求sin的值；(2)求cos的值5.已知，其中均为非零实数，若，则_.6.下列关系式中正确的是()Asin11cos10sin168 Bsin168sin11cos10Csin11sin168cos10 Dsin168cos10sin117.诱导公式在三角形中的应用(1)若的三个内角，则下列等式中；.正确的有_.(2)在中，若，求ABC的三个内角.两角和与差的三角函数公式一、基础梳理1.两角和与差的余弦cos() _；cos() _.2.两角和与差的正弦sin() _；sin() _.辅助角公式：asinxbcosxsin(x)，其中sin，cos.3.两角和与差的正切tan()_；tan()_.(，均不等于，kZ)4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2_.(2)cos2_.(3)tan2_ ().(4)二倍角余弦公式的变形降幂公式sin2 _，cos2 _.思考:以上所有公式中，哪个公式是这些公式的源头？你能从这个公式开始，推导出其余所有公式吗？二、考点分析1.三角函数的化简在化简时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形复杂的化简问题要本着先整体后局部的原则重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的思考：各三角公式在“变角、变名、变式”方面的作用是怎样的？2.给角求值：往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值(2)化为正负相消的项，消去求值(3)化简分子、分母使之出现公约数进行约分而求值3.给值求值：即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值.一般解题步骤：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)确定角的范围，将已知条件代入所求式子，化简求值关键在于使“所求角”变换成“已知角”若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论4.给值求角问题的一般解题步骤：(1)求出“所求角”的某一个三角函数值在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好(2)确定角的范围 思考：如何确定角的范围？(3)根据角的范围写出所求的角5.重视三角公式的“三用”：“正用”是三角公式最常见的应用，必须熟悉每个三角公式正用的条件；“逆用”能体现对逆向思维的考查；“变形用”体现思维的灵活性，只有熟悉了公式的“变形用”后，才算真正掌握了公式的应用还要会拆角、拼角等技巧注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1sin90，cos60，sin60等，再如：0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用例如：cossinsincoscossinsin()三、典例分析1.基本知识方法回顾(1)下列式子中，数值与最接近的是()A.cos54sin54 B.cos64sin64C.cos74sin74 D.cos84sin84(2)sin45sin105cos225sin15=(3)cos43cos77sin43cos167=(4)已知tan2，tan，则tan()=_；若 ，(0，)，则=_(5)下列各式中，值为的是()Asin15cos15 B2cos21 C. D.(6)已知sin，则cos(2 )=(7)已知sin 10a，则sin70=(8)若sin2cos0，则tan(9)已知sin(45x)，45x0，0，xR)表示一个振动量时，A叫作_，T叫作周期，f叫作_，x叫作相位，叫作_3.用五点法画yAsin(x)的图象用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xxyAsin(x)4.图象变换函数yAsin(x)(A0，0)的图象可由函数ysinx的图象作如下变换得到：(1)平移变换yAsinxyAsin(x)：把yAsinx的图象上所有点向_(0)或向_(0)平行移动_个单位；(此变换也叫相位变换)注意：此变换是对变量x而言的.(2) 伸缩变换ysin(x)ysin(x)：把ysin(x)图象上各点的横坐标_(01)到原来的_倍(纵坐标不变)(此变换也叫周期变换)注意：此变换是对变量x而言的.ysin(x)yAsin(x)：把ysin(x)图象上各点的纵坐标_(A1)或_(0A0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出自变量x所在的区间(总结：有哪些“化成”办法.)函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看做一个整体，比如：由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间；由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间函数yAcos(x)(A0，0)的单调区间又如何确定？4.三角函数的奇偶性函数yAsin(x)(A，0)为奇函数的充要条件为k，kZ；为偶函数的充要条件为k，kZ.函数yAcos(x)(A，0)为奇函数的充要条件为k，kZ；为偶函数的充要条件为k，kZ.函数yAtan(x)(A，0)为奇函数的充要条件为，kZ；它不可能是偶函数5.三角函数的周期性和对称性(1)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记他们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用三、典例分析1.求下列函数的定义域：(1)；(2).2.值域或最值(1)函数y|sinx|2sinx的值域为_.(2)求函数ycos2xsinx1的值域.(3)若，则函数ytan2xtan3x的最大值为_.(4)已知函数f(x)2cos2xsin2x4cos x.求f(x)的最大值和最小值(5)求函数的最大值(6)求函数f(x)sin2x2sin2x 的最大值(7)已知函数f(x)cos(x)cos(x)，g(x)sin2x.求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合(8)已知f(x)sin2xcos2x1a，(aR，a为常数)若f(x)在上最大值和最小值的和为3，求a的值(9)已知函数f(x)2acos2xasin2xa2(aR，a0为常数)若时，f(x)的最大值等于4，则a=_3.函数的单调区间和周期(1)；(2)；(3)；(3)f(x)cos4x2sinxcosxsin4x；(4)f(x)sin2xsinxcosx2cos2x(5)f(x)(1tanx)cosx4.奇偶性与对称性(1)设函数f(x)(1cos2x)sin2x，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数(2)函数f(x)sincossin2的对称轴方程_；对称中心坐标_.(3)求函数的对称中心坐标_.(4)如果函数y3cos(2x)的图像关于点(，0)中心对称，那么|的最小值为_.(5)已知函数f(x)sinxcosxcos2x(0)图象的一个对称中心为P.则的最小值为_.(6)函数yasinxbcosx的图像的一条对称轴为，则直线axbyc0的倾斜角为_.(7)若函数ysin2与函数ysin2xacos2x的图象的对称轴相同，则实数a_.(8)函数是 （ ）A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数5.图象及应用(1)函数ysinx的定义域为a，b，值域为，则ba的最大值和最小值之和为()A. B2 C. D4(2)已知函数y2sinx的定义域为a，b，值域为2,1，则ba的值不可能是()A. B C. D2(3)M，N是曲线ysinx与曲线ycosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为()A B. C. D2(4)关于x的方程sin2xcos2xk在内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为_.(5)要得到函数ysin()的图像，可以把函数ysin2x的图像()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位(6)将函数ysin x的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是()A.ysin(2x)B.ysin(2x) C.ysin() D.ysin()(7)函数的图象经过下列平移变换，就可得到函数y=5sin2x（ ）A向右平移 B向左平移 C向右平移 D向左平移(8)设0，函数ysin()2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是()A B C D3(9)将函数ysinx的图像经过下列哪种变换可以得到函数ycos2x的图像()A.先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)B.先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)C.先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)D.先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)(10)已知函数f(x)sin()(xR，0)的最小正周期为.将yf(x)的图像向左平移|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是()A.B. C. D.(11)将函数yf(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到y12sin2x的图象，则f(x)可以是()Acosx B2cosx Csinx D2sinx(12)若将函数ytan(0)的图象向右平移个单位长度后，与函数ytan的图象重合，则的最小值为()A. B. C. D. (13)函数y|tanx|的单调增区间是_(14)设函数f(x)|sin|(xR)，则f(x)()A在区间上是增函数 B在区间上是减函数C在区间上是增函数 D在区间上是减函数(15)已知函数f(x)Asin2(x)，且yf(x)的最大值为2，其图像相邻两对称轴的距离为2，并过点(1，2).函数f(x)的表达式为_.(16)已知函数f(x)sinxcosx(0)，yf(x)的图像与直线y2的两个相邻交点的距离等于，f(x)的单调递增区间为_.(17)如图所示是函数yAsin(x)(xR)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y