2011年各地中考数学压轴题精选21-30(解析版).doc

2011年各地中考数学压轴题精选21-30解析版2011广东广州4、（2011广州）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1S2为常数，并求出该常数考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=1a，求出方程ax2+bx+1=0，的b24ac的值即可；（3）设A（a，0），B（b，0），由根与系数的关系得：a+b=1+aa，ab=1a，求出AB=1aa，把y=1代入抛物线得到方程ax2+（1a）x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MNCD于M，交X轴于N，根据CPDBPA，得出PMPN=CDAB，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1S2的值即可解答：（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：0=0+0+c，解得：c=1，答：c的值是1（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，b=1a，ax2+bx+1=0，b24ac=（1a）24a=a22a+10，a1且a0，答：a的取值范围是a1且a0；（3）证明：0a1，B在A的右边，设A（a，0），B（b，0），ax2+（1a）x+1=0，由根与系数的关系得：a+b=1+aa，ab=1a，AB=ba=（b+a）24ab=1aa，把y=1代入抛物线得：ax2+（1a）x+1=1，解得：x1=0，x2=1+aa，CD=1+aa，过P作MNCD于M，交X轴于N，则MNX轴，CDAB，CPDBPA，PMPN=CDAB，PN1PN=1+aa1aa，PN=1a2，PM=1+a2，S1S2=121+aa1+a2121aa1a2=1，即不论a为何只，S1S2的值都是常数答：这个常数是1点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中2011广东广州25、（2011广州）如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（090）后，记为D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；旋转的性质。专题：证明题。分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90，DCE是直角，即可得到BCA+DCE=90+90=180；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明RtBCDRtACE，得到BD=AE，EBD=CAE，则CAE+ADF=CBD+BDC=90，即BDAE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=12BD，OM=12AE，ONBD，AEOM，于是有ON=OM，ONOM，即ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）证明的方法和（2）一样解答：（1）证明：AB是直径，BCA=90，而等腰直角三角形DCE中DCE是直角，BCA+DCE=90+90=180，B、C、E三点共线；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，CB=CA，CD=CE，RtBCDRtACE，BD=AE，EBD=CAE，CAE+ADF=CBD+BDC=90，即BDAE，又M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，ON=12BD，OM=12AE，ONBD，AEOM；ON=OM，ONOM，即ONM为等腰直角三角形，MN=2OM；（3）成立理由如下：和（2）一样，易证得RtBCD1RtACE1，同里可证BD1AE1，ON1M1为等腰直角三角形，从而有M1N1=2OM1点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质2011 湖北黄冈23、（2011随州）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=1100（x60）2+41（万元）当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=99100（100x）2+2945（100x）+160（万元）（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？考点：二次函数的应用。专题：销售问题。分析：（1）由可获得利润P=1100（x60）2+41（万元），即可知当x=60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0x50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100x，即可得函数y=P+Q=1100（x60）2+41+99100x2+2945x+160，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值；（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值解答：解：（1）每投入x万元，可获得利润P=1100（x60）2+41（万元），当x=60时，所获利润最大，最大值为41万元，若不进行开发，5年所获利润的最大值是：415=205（万元）；（2）前两年：0x50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大，即这两年的获利最大为：21100（5060）2+41=80（万元），后三年：设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100x，y=P+Q=1100（x60）2+41+99100x2+2945x+160=x2+60x+165=（x30）2+1065，当x=30时，y最大且为1065，这三年的获利最大为10653=3195（万元），5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495502=3175（万元）（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值点评：此题考查了二次函数的实际应用问题解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法2011 湖北黄冈24、（2011随州）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分别过M，N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是 M1和N1判断M1FN1的形状，并证明你的结论（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1x2的值（3）确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状（4）根据题意可知y=1总与该圆相切解答：解：（1）直线y=kx+b过点F（0，1），b=1；（2）直线y=kx+b与抛物线y=14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，可以得出：kx+b=14x2，整理得：14x2kx1=0，x1x2=ca=4；（3）M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）理由如下：设直线l与y轴的交点是F1，FM12=FF12+M1F12=x12+4，FN12=FF12+F1N12=x22+4，M1N12=（x1x2）2=x12+x222x1x2=x12+x22+8，FM12+FN12=M1N12，M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=1过M作MHNN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1x2）2+（y1y2）2，=（x1x2）2+（kx1+1）（kx2+1）2，=（x1x2）2+k2（x1x2）2，=（k2+1）（x1x2）2，=（k2+1）（16k2+16），=16（k2+1）2，MN=4（k2+1），分别取MN和M1N1的中点P，P1，PP1=12（MM1+NN1）=12（y1+1+y2+1）=（y1+y2）+1=12k（x1+x1）+2=2k2+2，PP1=12MN即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半以MN为直径的圆与l相切点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F的坐标求出b的值（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置2011湖北武汉24.（本题10分）（1）证明：在ABQ中，由于DPBQ，ADPABQ，DP/BQAP/AQ.同理在ACQ中，EP/CQAP/AQ.DP/BQEP/CQ.（2）（3）证明：B+C=90，CEF+C=90.B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFC.3分DG/CFBG/EF，DGEFCFBG又DGGFEF，GF2CFBG由（1）得DM/BGMN/GFEN/CF（MN/GF）2(DM/BG)(EN/CF)MN2DMEN2011湖北武汉25.（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（3,0），B（1,0）两点9a3b+30 且ab+30解得a1b4抛物线的解析式为y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)21抛物线的顶点M（2，,1）直线OD的解析式为y=x于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h， h），平移的抛物线解析式为y=（xh）2+h.当抛物线经过点C时，C（0，9），h2+h=9，解得h=.当h时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y=（xh）2+h,y=2x+9.得x2+（2h+2）x+h2+h9=0，=（2h+2）24（h2+h9）=0，解得h=4.此时抛物线y=（x4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意.综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或h.（3）方法1将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设EF的解析式为y=kx+3（k0）.假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GHx轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.PEF的内心在y轴上，GEP=EPQ=QPF=HFP，GEPHFP，.9分GP/PH=GE/HF,xE/xF=(yEt)/(yFt)=(kxE+3t)/(kxF+3t)2kxExF=（t3）（xE+xF）由y=x2，y=kx+3.得x2kx3=0.xE+xF=k,xExF=3.2k（3）=（t3）k,k0,t=3.y轴的负半轴上存在点P（0，3），使PEF的内心在y轴上.方法2设EF的解析式为y=kx+3（k0）,点E，F的坐标分别为（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=3.作点E关于y轴的对称点R（m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知EPQ=FPQ，点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（nm）x+mn.当x=0，y=mn=3,P（0，3）.y轴的负半轴上存在点P（0,3），使PEF的内心在y轴上.2011湖北襄阳25、（2011襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF（1）求证：ADP=EPB；（2）求CBE的度数；（3）当APAB的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。分析：（1）根据ADP与EPB都是APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；（2）首先证得PADEGP，可以证得BCG是等腰直角三角形，可以证得EBG=45，即可证得CBE=45；（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得APAB的值解答：证明：（1）四边形ABCD是正方形A=PBC=90，AB=AD，ADP+APD=90，DPE=90，APD+EPB=90，ADP=EPB；（2）过点E作EGAB交AB的延长线于点G，则EGP=A=90，又ADP=EPB，PD=PE，PADEGP，EG=AP，AD=AB=PG，AP=EG=BG，CBE=EBG=45；（3）当APAB=12时，PFDBFP，设AD=AB=a，则AP=PB=12a，BF=BPAPAD=14aPD=AD2+AP2=52a，PF=PB2+BF2=54a，PBPD=BFPF=55又DPF=PBF=90，PFDBFP点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键2011湖北襄阳26、（2011襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，ACCD是O的切线，AD丄CD于点D，tanCAD=12，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点（1）求证：CAD=CAB；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）连接OC，由CD是O的切线，可得OCCD，则可证得OCAD，又由OA=OC，则可证得CAD=CAB；（2）首先证得CAOBCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=12，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；首先证得FOCFAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从PABC与PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：（1）证明：连接OC，CD是O的切线，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；（2）AB是O的直径，ACB=90，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，OCOA=OBOC，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=12，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO（102CO），CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A（8，0），B（2，0），C（0，4），抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，c=4，由题意得：&4a+2b+4=0&64a8b+4=0，解得：&a=14&b=32，抛物线的解析式为：y=14x232x+4；设直线DC交x轴于点F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，FOCFAD，OFAF=OCAD，8（BF+5）=5（BF+10），BF=103，F（163，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则&m=4&163k+m=0，解得：&k=34&m=4，直线DC的解析式为y=34x+4，由y=14x232x+4=14（x+3）2+254得顶点E的坐标为（3，254），将E（3，254）代入直线DC的解析式y=34x+4中，右边=34（3）+4=254=左边，抛物线顶点E在直线CD上；（3）存在，P1（10，6），P2（10，36）点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用2011湖北宜昌23、（2011宜昌）如图1，RtABC两直角边的边长为AC=1，BC=2（1）如图2，O与RtABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y请你在图2中作出并标明O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个RtABC上和其内部的动点，以P为圆心的P与RtABC的两条边相切设P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由考点：切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；作图复杂作图。专题：探究型。分析：（1）作出B的角平分线BD，再过X作OXAB，交BD于点O，则O点即为O的圆心；（2）由于P与ABC哪两条边相切不能确定，故应分P与RtABC的边AB和BC相切；P与RtABC的边AB和AC相切时；P与RtABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论解答：解：（1）如图所示：以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；分别以G、H为圆心，以大于12GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；过X作OXAB，交直线BD于点O，则点O即为O的圆心（2）当P与RtABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是ABC的平分线BM上的点，如图1，在ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为ABC的顶点）OX=BOsinABM，P1Z=BPsinABM，当BP1BO时，P1ZOX即P与B的距离越大，P的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，BPA90，过点P作PEAB，垂足为E，则E在边AB上，以P为圆心、PC为半径作圆，则P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时P是符合题意的圆，这时P的面积就是S的最大值，A=A，BCA=AEP=90，RtABCRtAPE，PAB=PEC，AC=1，C=2，AB=5，设PC=x，则PA=ACPC=1x，PC=PE，15x=x2，x=225；如图3，同理可得：当P与RtABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则25x=y1，y=21+5；如图4，同理可得，当P与RtABC的边BC和AC相切时，设PF=z，则2z2=z1，z=23，由、可知，52，5+25+13，当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，2321+522+5，zyx，P的面积S的最大值为49点评：本题考查的是切线的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再利用数形结合及切线的性质进行解答2011湖北宜昌24、（2011宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，12）和（mb，m2mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且 a，m不为 0（1）求c的值；（2）设抛物线y=