渗透数形结合思想-优化解决问题策略.docx

渗透“数形结合思想”，优化解决问题策略 摘要: 日本数学史家米山国藏在他的著作数学的精神、思想和方法中说道：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，即使把所交给的知识（概念、定理、法则和公式等）全忘了，唯有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地的发生作用，使他们受益终身。”随着社会的发展，要想实现终身学习和人的可持续发展，重要的是在教育中发展学生的能力，使之掌握蕴藏在知识内的思想方法。只有这样，才能使学生真正感受到数学的力量和价值。小学是学生学习数学知识的启蒙时期，这一阶段注意给学生渗透基本的数学思想尤为重要。数形结合思想是小学阶段一种重要的思想方法。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这句话说明了“数”和“形”是紧密相连的。美国数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体把握了问题，并且能创造性的思索问题的解法。”这句话，同样说明了数形结合的重要性。渗透数形结合思想，可以帮助学生优化解决问题策略，因此我认为，小学数学教学过程中，如何渗透数形结合思想，显得尤为重要。关键词： 数形结合思想 渗透 优化 策略一、数形结合思想的涵义数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。二、数形结合思想在小学阶段的应用。1、数的表示。用直线上的点表示数，可以明确的表示出数的性质（有始无终，有序性等等） 分数（ ） 分数（ ）小数（ ） 小数（ ）2、计算中的数形结合思想。运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算（摆小棒、画图形等）。3、解决问题中的数形结合思想。一列火车从西宁经过格尔木开往拉萨。西宁到格尔木的铁路长 814km，格尔木到拉萨的铁路长1142km。西宁到拉萨的铁路长多少千米？西宁到拉萨的铁路长多少km?（1）估计一下，这5天中平均每天售出门票大约多少张？（2）如果你是博物馆的馆长，看到这个信息，你有什么想法？4、函数的多重表示及坐标系。四、渗透数形结合思想的具体方法1、概念形成时的渗透数学概念是知识教学中的重要组成部分，但它的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意。借助直观的图形可以将概念教学趣味化、形象化，从而帮助学生在轻松、愉快的学习氛围中理解概念的形成过程。例如，近似数一课中，让学生掌握用“四舍五入法”求一个数的近似数是本节课的教学重点。许多老师通常直接告诉学生“四舍五入法”这一概念，然后通过大量的练习强化求近似数的方法。这时，我们不妨追问：学生做对了是否表明学生已经很好地理解了“四舍五入法”的涵义呢？是否有部分学生的解题活动完全建立在对概念的机械模仿上呢？事实上，这种机械模仿的情况是客观存在的。如何帮助学生从本质上理解“四要舍、五要入”的意义呢？笔者想到了，把直观的数轴引进这节课，力求帮助学生搭建理解新知的脚手架。在学生初步感知了“近似数”的定义后，笔者展开了如下的教学：师：请看大屏幕，31 到39 这9 个数选择最近的路，它们分别去谁的家？生：31 靠近30，会去30的家。师：我们就说31 的近似数是30，记作：3130，读作：31 约等于30。（板书：3130）师：在31与39 之间，还有哪些数接近30 呢？（生回答出32、33、34，师相应板书出式子）师：哪些数靠近40 呢？（生回答出39、38、37、36，师也板书出相应的式子）师：35 呢？生：35 到30 和40 的家一样近，两个家都可以去。师：有道理！有没有不同的想法的？生：好像是40 吧，我们在学习除数是两位数的除法时，把35 看作40 来试商的。师：说得好！35的近似数到底是多少呢？为了不让35 为难，数学家规定让35 去40 家。这样，3540（板书）。请大家仔细观察这些式子，你有什么发现？生：当末尾是1、2、3、4 时，舍去后变成30；当末尾是5、6、7、8、9 时，就要进1 变成40。师：末尾数除了1 到9 之外，还可能是0。这时，是直接舍去还是往前进一呢？（教师出示601 到609 这九个数，让学生分别说出它们接近哪个整百数。在此基础上，引导学生概括出“四舍五入法”的涵义）在以上的教学环节中，通过给31 到39 这九个数找最近的家，把四舍五入放到数轴上展开学习，利用数形结合帮助学生建立一个形象的数学模型，从而加深了学生对四舍五入法的理解。2、在公式推导时渗透让学生经历公式的推导过程是学生建构数学思想方法的重要环节。这种数学思想方法是以隐蔽的方式呈现，这就使得许多学生停留在机械记忆公式上，而忽视了发掘公式背后蕴藏的数学思想方法。数形结合，能有效防止“生搬硬套”，帮助学生建构数学思想方法，从而能很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题。 例如，在教学平行四边形、三角形、梯形等平面图形的面积计算时，通常的教学思路是：先引导学生经历面积公式的推导过程，后让学生运用面积公式解决实际问题。练习中，一般与例题相似的题目，正确率很高，对于一些变式题，只有少数尖子生能够做对。为什么呢？很多学生的解题活动完全建立在简单记忆和机械模仿上，没有真正掌握公式的本质内涵。学生只有充分理解了面积公式的意义，才能正确、灵活地运用它解决图形面积问题。三角形面积一课，为了帮助学生进一步加深三角形面积公式的理解，笔者出示了下面3 个三角形（没有虚线），让学生求出它们的面积。师：怎样求第（1）个三角形面积？生：底是3，高是4，它的面积是342=6。师：在图中，“3 4 ”在哪里？生：两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形，所以“34”求的是长方形的面积。（学生先用手指在图上比划出一个长方形，然后师用课件展示补充另一个虚线三角形）师：求直角三角形的面积，为什么要“除以2”呢？生：它的面积是长方形面积的一半。在此基础上，教师用同样的思路教学了后两个三角形的面积计算，从而沟通了算式与图形之间的紧密联系。学生在这一过程中，真正明白了“三角形的面积与拼成的平行四边形面积之间的关系”，也深深记住了“除以2”的涵义。这样的设计，借助数形结合，促进了学生对三角形面积公式的深刻理解，还强化了“转化”这一数学思想方法。3、在例题处理时渗透对学生来说，掌握数学思想的过程是一个长期积累、反复运用的过程。因此，让学生能够自主运用数学思想解决问题，应该成为贯穿数学学习的一条“暗线”。例题是课堂教学的重要资源，教师在处理例题时，可以根据教学内容渗透数形结合思想。例如，在教学“解决问题的策略转化”一课中，有这样一道例题：1/2+1/4+1/8+1/16，笔者是这样处理的。师：这个算式有什么特点？生：分子都是1，后一个分数的分母是前一个的2倍。生：后一个分数正好是前一个分数的一半。师：观察真细心！你准备用什么方法求和呢？生：先把这几个异分母分数化成同分母分数，再进行计算。生：也可以把这些分数化成小数，再求和。师：还有更简便的方法吗？（生无语）师：不管是把异分母分数转化成同分母分数，还是把分数化成小数，都用到了数学上一种重要的思想方法，那就是生：转化。师：老师这儿还有一种转化的方法，你们能看懂吗？（出示下面的正方图）生：这个大正方形的面积是1，阴影部分大小按照从大到小的顺序分别是1/2、1/4、1/8、1/16。生：阴影部分的大小就是这个算式的和。生：这个阴影部分的和比正方形面积少1/16。师：现在能不能很快地知道答案？你是怎么得到的？生：能。从图中可以看出，1/2+ 1/4+1/8+1/16= 11/16=15/16。师：这样计算，是把什么转化成了什么？生：把这个复杂的算式转化成简单的图形，计算更简便了。以上案例中，用数形结合的方法，把枯燥的算式转化成规则的图形。这样的处理，一方面使学生体会到数学的奇妙性和趣味性，另一方面也感受到数形结合的直观性与便捷性。总之，渗透数形结合思想，优化解决问题策略，是小学数学教学过程中重要的教学理念。遇到数时就想它的几何意义，遇到图形就要想它的代