第三章_正弦交流电路和向量法.ppt

第3章正弦交流电路和相量法 2 正弦量的相量表示 3 电路定理的相量形式 重点 1 正弦量的表示 相位差 下页 第一节正弦量 1 正弦量 瞬时值表达式 i t Imcos wt y 波形 周期T period 和频率f frequency 频率f 每秒重复变化的次数 周期T 重复变化一次所需的时间 单位 Hz 赫 兹 单位 s 秒 正弦量为周期函数f t f t kT 下页 上页 正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路 正弦稳态电路 称为正弦电路或交流电路 1 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位 研究正弦电路的意义 1 正弦函数是周期函数 其加 减 求导 积分运算后仍是同频率的正弦函数 优点 2 正弦信号容易产生 传送和使用 下页 上页 2 正弦信号是一种基本信号 任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义 下页 上页 幅值 amplitude 振幅 最大值 Im 2 角频率 angularfrequency 2 正弦量的三要素 3 初相位 initialphaseangle y 2 t 单位 rad s 弧度 秒 反映正弦量变化幅度的大小 相位变化的速度 反映正弦量变化快慢 反映正弦量的计时起点 常用角度表示 i t Imcos wt y 下页 上页 同一个正弦量 计时起点不同 初相位不同 一般规定 0 2 2 下页 上页 例 已知正弦电流波形如图 103rad s 1 写出i t 表达式 2 求最大值发生的时间t1 解 由于最大值发生在计时起点右侧 下页 上页 3 同频率正弦量的相位差 phasedifference 设u t Umcos wt yu i t Imcos wt yi 则相位差 j wt yu wt yi yu yi j 0 u超前ij角 或i落后uj角 u比i先到达最大值 j 0 i超前uj角 或u滞后ij角 i比u先到达最大值 等于初相位之差 规定 180 下页 上页 j 0 同相 j 180o 反相 特殊相位关系 p 2 正交 同样可比较两个电压或两个电流的相位差 下页 上页 例 计算下列两正弦量的相位差 解 不能比较相位差 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率 同函数 同符号 且在主值范围比较 下页 上页 4 周期性电流 电压的有效值 周期性电流 电压的瞬时值随时间而变 为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示 周期电流 电压有效值 effectivevalue 定义 有效值也称均方根值 root meen square 物理意义 下页 上页 同样 可定义电压有效值 正弦电流 电压的有效值 设i t Imcos t 下页 上页 同理 可得正弦电压有效值与最大值的关系 若一交流电压有效值为U 220V 则其最大值为Um 311V U 380V Um 537V 1 工程上说的正弦电压 电流一般指有效值 如设备铭牌额定值 电网的电压等级等 但绝缘水平 耐压值指的是最大值 因此 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 2 测量中 交流测量仪表指示的电压 电流读数一般为有效值 3 区分电压 电流的瞬时值 最大值 有效值的符号 注 下页 上页 第二节正弦量的相量表示 1 问题的提出 电路方程是微分方程 两个正弦量的相加 如KCL KVL方程运算 下页 上页 i1 i1 i2 i3 i2 角频率 有效值 初相位 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量 所以 只要确定初相位和有效值 或最大值 就行了 因此 i3 实际是变换的思想 下页 上页 复数A的表示形式 A a jb 2 复数及运算 下页 上页 两种表示法的关系 或 复数运算 则A1 A2 a1 a2 j b1 b2 1 加减运算 采用代数形式 若A1 a1 jb1 A2 a2 jb2 图解法 下页 上页 2 乘除运算 采用极坐标形式 除法 模相除 角相减 例1 乘法 模相乘 角相加 则 解 下页 上页 例2 3 旋转因子 复数ejq cosq jsinq 1 q A ejq相当于A逆时针旋转一个角度q 而模不变 故把ejq称为旋转因子 解 下页 上页 故 j j 1都可以看成旋转因子 几种不同 值时的旋转因子 下页 上页 造一个复函数 对A t 取实部 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 A t 包含了三要素 I w 复常数包含了I A t 还可以写成 无物理意义 是一个正弦量有物理意义 3 正弦量的相量表示 下页 上页 称为正弦量i t 对应的相量 相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系 已知 例1 试用相量表示i u 解 下页 上页 在复平面上用向量表示相量的图 例2 试写出电流的瞬时值表达式 解 相量图 下页 上页 4 相量法的应用 1 同频率正弦量的加减 故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算 可得其相量关系为 下页 上页 例 也可借助相量图计算 首尾相接 下页 上页 2 正弦量的微分 积分运算 微分运算 积分运算 下页 上页 例 用相量运算 相量法的优点 1 把时域问题变为复数问题 2 把微积分方程的运算变为复数方程运算 3 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路 下页 上页 注 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路 相量法用来分析正弦稳态电路 下页 上页 5 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 因此 在正弦电流电路中 KCL和KVL可用相应的相量形式表示 上式表明 流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL 而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL 下页 上页 第三节正弦交流电路中R L C元件的工作特性 1 电阻元件VCR的相量形式 时域形式 相量形式 相量模型 有效值关系 相位关系 相量关系 下页 上页 瞬时功率 波形图及相量图 瞬时功率以2 交变 始终大于零 表明电阻始终吸收功率 同相位 下页 上页 电感器 把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感器 当电流通过线圈时 将产生磁通 是一种储存磁能的部件 t N t 电感元件 储存磁能的元件 其特性可用 i平面上的一条曲线来描述 韦安特性 下页 上页 2 电感元件VCR的相量形式 任何时刻 通过电感元件的电流i与其磁链 成正比 i特性是过原点的直线 电路符号 线性定常电感元件 L称为电感器的自感系数 L的单位 H 亨 Henry 亨利 常用 H mH表示 单位 下页 上页 线性电感的电压 电流关系 u i取关联参考方向 电感元件VCR的微分关系 表明 1 电感电压u的大小取决于i的变化率 与i的大小无关 电感是动态元件 2 当i为常数 直流 时 u 0 电感相当于短路 实际电路中电感的电压u为有限值 则电感电流i不能跃变 必定是时间的连续函数 根据电磁感应定律与楞次定律 下页 上页 电感元件有记忆电压的作用 故称电感为记忆元件 1 当u i为非关联方向时 上述微分和积分表达式前要冠以负号 2 上式中i t0 称为电感电流的初始值 它反映电感初始时刻的储能状况 也称为初始状态 电感元件VCR的积分关系 表明 注 下页 上页 电感的功率和储能 当电流增大 i 0 di dt 0 则u 0 p 0 电感吸收功率 当电流减小 i 0 di dt 0 则u 0 p 0 电感发出功率 功率 表明 电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来 在另一段时间内又把能量释放回电路 因此电感元件是无源元件 是储能元件 它本身不消耗能量 u i取关联参考方向 下页 上页 1 电感的储能只与当时的电流值有关 电感电流不能跃变 反映了储能不能跃变 2 电感储存的能量一定大于或等于零 从t0到t电感储能的变化量 电感的储能 表明 下页 上页 时域形式 相量形式 相量模型 相量关系 下页 上页 电感元件VCR的相量形式 感抗的物理意义 1 表示限制电流的能力 2 感抗和频率成正比 相量表达式 XL L 2 fL 称为感抗 单位为 欧姆 BL 1 L 1 2 fL 感纳 单位为S 感抗和感纳 下页 上页 功率 瞬时功率以2 交变 有正有负 一周期内刚好互相抵消 波形图及相量图 电压超前电流900 下页 上页 电容器 在外电源作用下 两极板上分别带上等量异号电荷 撤去电源 板上电荷仍可长久地集聚下去 是一种储存电能的部件 电容元件 储存电能的元件 其特性可用u q平面上的一条曲线来描述 库伏特性 下页 上页 3 电容元件VCR的相量形式 任何时刻 电容元件极板上的电荷q与电压u成正比 q u特性是过原点的直线 电路符号 线性定常电容元件 C称为电容器的电容 单位 F 法 Farad 法拉 常用 F pF等表示 单位 下页 上页 线性电容的电压 电流关系 u i取关联参考方向 电容元件VCR的微分关系 表明 1 i的大小取决于u的变化率 与u的大小无关 电容是动态元件 2 当u为常数 直流 时 i 0 电容相当于开路 电容有隔断直流作用 实际电路中通过电容的电流i为有限值 则电容电压u必定是时间的连续函数 下页 上页 电容元件有记忆电流的作用 故称电容为记忆元件 1 当u i为非关联方向时 上述微分和积分表达式前要冠以负号 2 上式中u t0 称为电容电压的初始值 它反映电容初始时刻的储能状况 也称为初始状态 电容元件VCR的积分关系 表明 注 下页 上页 电容的功率和储能 当电容充电 u 0 du dt 0 则i 0 q p 0 电容吸收功率 当电容放电 u 0 du dt 0 则i 0 q p 0 电容发出功率 功率 表明 电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来 在另一段时间内又把能量释放回电路 因此电容元件是无源元件 是储能元件 它本身不消耗能量 u i取关联参考方向 下页 上页 1 电容的储能只与当时的电压值有关 电容电压不能跃变 反映了储能不能跃变 2 电容储存的能量一定大于或等于零 从t0到t电容储能的变化量 电容的储能 表明 下页 上页 时域形式 相量形式 相量模型 相量关系 电容元件VCR的相量形式 下页 上页 XC 1 wC 称为容抗 单位为 欧姆 BC wC 称为容纳 单位为S 频率和容抗成反比 0 XC 直流开路 隔直 w XC 0高频短路 旁路作用 容抗与容纳 相量表达式 下页 上页 例1 解 下页 上页 例2 解 下页 上页 第四节复阻抗 复导纳及其等效变换 1 复阻抗 正弦稳态情况下 单位 阻抗模 阻抗角 欧姆定律的相量形式 下页 上页 当无源网络内为单个元件时有 Z可以是实数 也可以是虚数 下页 上页 2 RLC串联电路 由KVL 下页 上页 Z 复阻抗 R 电阻 阻抗的实部 X 电抗 阻抗的虚部 Z 复阻抗的模 z 阻抗角 转换关系 或 阻抗三角形 下页 上页 分析R L C串联电路得出 1 Z R j wL 1 wC Z jz为复数 故称复阻抗 2 wL 1 wC X 0 jz 0 电路为感性 电压领先电流 相量图 选电流为参考向量 三角形UR UX U称为电压三角形 它和阻抗三角形相似 即 下页 上页 wL 1 wC X 0 jz 0 电路为容性 电压落后电流 wL 1 wC X 0 jz 0 电路为电阻性 电压与电流同相 下页 上页 例 已知 R 15 L 0 3mH C 0 2 F 求i uR uL uC 解 其相量模型为 下页 上页 则 相量图 下页 上页 3 导纳 正弦稳态情况下 单位 S 导纳模 导纳角 下页 上页 对同一二端网络 当无源网络内为单个元件时有 Y可以是实数 也可以是虚数 下页 上页 4 RLC并联电路 由KCL 下页 上页 Y 复导纳 G 电导 导纳的实部 B 电纳 导纳的虚部 Y 复导纳的模 y 导纳角 转换关系 或 导纳三角形 下页 上页 1 Y G j wC 1 wL Y jy为复数 故称复导纳 2 wC 1 wL B 0 y 0 电路为容性 电流超前电压 相量图 选电压为参考向量 分析R L C并联电路得出 三角形IR IB I称为电流三角形 它和导纳三角形相似 即 下页 上页 wC 1 wL B 0 y 0 电路为感性 电流落后电压 下页 上页 wC 1 wL B 0 jy 0 电路为电阻性 电流与电压同相 下页 上页 5 复阻抗和复导纳的等效互换 一般情况G 1 RB 1 X 若Z为感性 X 0 则B 0 即仍为感性 注 下页 上页 同样 若由Y变为Z 则有 下页 上页 例 RL串联电路如图 求在 106rad s时的等效并联电路 解 RL串联电路的阻抗为 下页 上页 第五节阻抗 导纳 的串联和并联 1 阻抗的串联 下页 上页 2 导纳的并联 两个阻抗Z1 Z2的并联等效阻抗为 下页 上页 例1 求图示电路的等效阻抗 105rad s 解 感抗和容抗为 下页 上页 例2 图示电路对外呈现感性还是容性 解 等效阻抗为 下页 上页 例3 图示为RC选频网络 试求u1和u0同相位的条件及 解 设 Z1 R jXC Z2 R jXC 下页 上页 第六节正弦稳态电路的分析 电阻电路与正弦电流电路的分析比较 可见 二者依据的电路定律是相似的 只要作出正弦电流电路的相量模型 便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中 下页 上页 结论 1 引入相量法 把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题 2 引入电路的相量模型 不必列写时域微分方程 而直接列写相量形式的代数方程 3 引入阻抗以后 可将所有网络定理和方法都应用于交流 直流 f 0 是一个特例 下页 上页 例1 画出电路的相量模型 解 下页 上页 下页 上页 列写电路的回路电流方程和节点电压方程 例2 解 回路法 下页 上页 节点法 下页 上页 方法一 解 例3 下页 上页 方法二 戴维南等效变换 求开路电压 求等效电阻 下页 上页 例4 求图示电路的戴维南等效电路 解 求短路电流 下页 上页 例5 用叠加定理计算电流 解 下页 上页 已知平衡电桥Z1 R1 Z2 R2 Z3 R3 jwL3 求 Zx Rx jwLx 平衡条件 Z1Z3 Z2Zx得 R1 R3 jwL3 R2 Rx jwLx Rx R1R3 R2 Lx L3R1 R2 例6 解 Z1 1 Z3 3 Z2 2 Zx x Z1 Z3 Z2 Zx 1 3 2 x 下页 上页 已知 Z 10 j50W Z1 400 j1000W 例7 解 下页 上页 已知 U 115V U1 55 4V U2 80V R1 32W f 50Hz求 线圈的电阻R2和电感L2 方法 画相量图分析 例8 解 下页 上页 方法二 其余步骤同解法一 下页 上页 用相量图分析 例9 移相桥电路 当R2由0 时 解 当R2 0 q 180 当R2 q 0 a b b 下页 上页 例10 图示电路 解 用相量图分析 下页 上页 第七节正弦稳态电路的功率 无源一端口网络吸收的功率 u i关联 1 瞬时功率 instantaneouspower 第一种分解方法 第二种分解方法 下页 上页 p有时为正 有时为负 p 0 电路吸收功率 p 0 电路发出功率 UIcos 恒定分量 UIcos 2 t 为正弦分量 下页 上页 第一种分解方法 第二种分解方法 UIcos 1 cos2 t 为不可逆分量 UIsin sin2 t为可逆分量 能量在电源和一端口之间来回交换 下页 上页 2 平均功率 averagepower P u i 功率因数角 对无源网络 为其等效阻抗的阻抗角 cos 功率因数 P的单位 W 瓦 下页 上页 一般地 有0 cos 1 X 0 j 0 感性 X 0 j 0 容性 cosj 0 5 感性 则j 60o 电压领先电流60o 平均功率实际上是电阻消耗的功率 亦称为有功功率 表示电路实际消耗的功率 它不仅与电压电流有效值有关 而且与cos 有关 这是交流和直流的很大区别 主要由于电压 电流存在相位差 例 下页 上页 4 视在功率S 反映电气设备的容量 3 无功功率 reactivepower Q 单位 var 乏 Q 0 表示网络吸收无功功率 Q 0 表示网络发出无功功率 Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小 是由储能元件L C的性质决定的 下页 上页 有功 无功 视在功率的关系 有功功率 P UIcosj单位 W 无功功率 Q UIsinj单位 var 视在功率 S UI单位 VA 功率三角形 下页 上页 5 R L C元件的有功功率和无功功率 PR UIcos UIcos0 UI I2R U2 RQR UIsin UIsin0 0 PL UIcos UIcos90 0QL UIsin UIsin90 UI I2XL PC UIcos UIcos 90 0QC UIsin UIsin 90 UI I2XC 下页 上页 任意阻抗的功率计算 PZ UIcos I2 Z cos I2R QZ UIsin I2 Z sin I2X I2 XL XC QL QC 发出无功 下页 上页 电压 电流的有功分量和无功分量 以感性负载为例 下页 上页 下页 上页 例 三表法测线圈参数 已知f 50Hz 且测得U 50V I 1A P 30W 解 方法一 下页 上页 方法二 又 方法三 下页 上页 已知 电动机PD 1000W U 220 f 50Hz C 30 F 求负载电路的功率因数 例 解 下页 上页 6 功率因数提高 设备容量S 额定 向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定 P UIcos Scosj cosj 1 P S 75kW cosj 0 7 P 0 7S 52 5kW 一般用户 异步电机空载cosj 0 2 0 3满载cosj 0 7 0 85 日光灯cosj 0 45 0 6 1 设备不能充分利用 电流到了额定值 但功率容量还有 功率因数低带来的问题 下页 上页 2 当输出相同的有功功率时 线路上电流大 I P Ucos 线路压降损耗大 解决办法 1 高压传输 2 改进自身设备 3 并联电容 提高功率因数 下页 上页 分析 并联电容后 原负载的电压和电流不变 吸收的有功功率和无功功率不变 即 负载的工作状态不变 但电路的功率因数提高了 特点 下页 上页 并联电容的确定 下页 上页 并联电容也可以用功率三角形确定 从功率这个角度来看 并联电容后 电源向负载输送的有功UILcos 1 UIcos 2不变 但是电源向负载输送的无功UIsin 2 UILsin 1减少了 减少的这部分无功就由电容 产生 来补偿 使感性负载吸收的无功不变 而功率因数得到改善 下页