2012高考创新题解答与评析(八).doc

2012高考创新题解答与评析（八）八、深刻背景型 近几年高考题的显著特点之一是，某些高考题具有深刻的背景，或者具有高等数学的背景，或者是某些经典问题的再现、引申与推广例1 （2007年广东7）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给四个维修点某种配件各50件在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调整为，件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为（）点评：本题背景是高等数学中的运筹学问题，可如下解之6154505050504540解法一：设的件数为（时为，以下同）为件，为件，为件（如图示）于是由此得，故调动总件数为，它的最小值为16（可化为分段函数后求最小值，或利用绝对值的几何意义做，留给读者思考）6154505050504540解法二：可如图示之，点原有50件，应调为40件，而D点缺11件，故从A点向D点调动10件（），同理从C点向D点调动1件（），再从B点向C点调动5件（，），于是最小调动件次为回顾与反思：解法一是严格的解法（通法），但比较麻烦，作为选择题，不求严格，可凭直觉做（解法二），快速简捷例2 （2002年北京）数列由下列条件确定：，（I）证明：对，总有；（II）证明：对，总有；（III）若数列的极限存在，且大于零，求的值证明：（I）由，及，可归纳证明，从而有（），所以，当时，成立（II）证法一：当时，因为，所以，故当时，成立证法二：当时，因为，所以，故当时，成立（III）解：记，则，且由，得，即由解得，故回顾与反思：（1）做问题（I）时，不要试图由递推关系式求出的通项公式，而是用平均值不等式做，极为简捷（2）上述问题（II）的两种方法，就是用此比较法证不等式的两种“通法”求差比较法与求商比较法（3）本题的高等数学背景是：单调有界数列有极限例3 （2003年北京）如图，椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心为（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（II）直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，求证：；（III）对于（2）中的，设交轴于点，交轴于点求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）解：（I）椭圆方程为焦点坐标为，离心率（II）证明：将直线的方程代入椭圆方程，得整理得）根据韦达定理，得，所以 将直线的方程代入椭圆方程，同理可得由，得所以结论成立（III）证明：设，点，如图由共线，得解得 由共线，同理可得由，变形得，即所以，即回顾与反思：本题是古典趣题著名的蝴蝶定理的推广蝴蝶定理是：如图，过一定圆的弦的中点作弦和，连接和交弦于点，那么NDHMPQOCG由于图形中的酷似蝴蝶，故称蝴蝶定理，它可以用多种方法证明，此处从略练习题:1（2005年，北京14）已知次多项式，如果在一种算法中，计算（，）的值需要次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算下面给出一种减少运算次数的算法：（，）利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算2（2004年，全国卷II理22）已知函数（I）求函数的最大值；（II）设，证明练习题参考答案：1中，乘法运算共有（次）又有次加法运算，总计为（次）由于，各需2次，4次，6次运算，故归纳可得计算共需次运算2（）解：函数的定义域为 令 当 当 又 故当且