2013中考压轴题之定值问题(中上难度,适合拔尖).doc

新思维教育一对一个性化教案授课日期： 2013 年 5月 日学生姓名教师姓名杨广成授课时段年 级初三学 科数学课 型一对一教学内容定值问题教 学重、难点典型例题 例题1：（2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8理解与作图：（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH 计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想例题2：（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的O上，i）如图一，当A=45时，R=1，求BOC的度数和BC的长度； ii）如图二，当A为锐角时，求证sinA= ；（2）.若定长线段BC的两个端点分别在MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当MAN=60，BC=2时，分别作BPAM，CPAN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由. 例题3：（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值巩固练习1、（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；CDBAEO（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.2、（株洲）如图，已知ABC为直角三角形，ACB=90，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(ACEC)为定值yxQPFEDCBAO3、（2011遵义）如图，梯形ABCD中，ADBC，BC=20cm，AD=10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EFBC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0t10）（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2） 在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由4、（2011广州）已知关于x的二次函数y=ax2bxc（a0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1S2为常数，并求出该常数5、（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2试说明S1S2是常数；当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.6、（2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x24x+3与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于点C（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx24kx+3k（k0）写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由 7、（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？ 8、（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？9、（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C、D(0，2)作平行于x轴的直线、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线相切； (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长定值问题参考答案例题1【答案】解：（1）作图如下： （2）在图2中， ，四边形EFGH的周长为。 在图3中，四边形EFGH的周长为。猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。（3）延长GH交CB的延长线于点N，。又FC=FC，RtFCERtFCM（ASA）。EF=MF，EC=MC。同理：NH=EH，NB=EB。MN=2BC=16。，。GM=GN。过点G作GKBC于K，则。四边形EFGH的周长为。矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。例题2：【答案】解：（1）i）A=45， BOC=90（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。又R=1，由勾股定理可知BC=。 ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。 可知ECBC（直径所对的圆周角为90）， 且E=A（同弧所对的圆周角相等）。 故sinA=sinA=。 （2）保持不变。理由如下：如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在RtAPC中，CK=AP=AK=PK。同理得：BK=AK=PK。CK=BK=AK=PK。点A、B、P、C都在K上。由（1）ii）sinA=可知sin60=。AP=（为定值）。例题3【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。巩固练习答案1、【答案】（1）由题意得B（3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b， 如图25-a，此时E（2b，0）SOECO2b1b 3分图2若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2此时E（3，），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3() 3分（2） 如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N， 则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。图3本题由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形 1分根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形 2分过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN，DH1，HE2， 2分设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股定理知：， 2分S四边形DNEMNEDH 矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 1分2、yxQPFEDCBAO解析：（1）由可知，又ABC为等腰直角三角形，所以点A的坐标是（）. 3分（2） ，则点的坐标是（）.又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： 解得 抛物线的解析式为 7分（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，. 即，得 即，得又即FC(ACEC)为定值8. 12分3、解答：解：（1）ADBC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，DQ=t，PC=202t，若四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=PC，202t=t，解得：t=；（2）线段PH的长不变，ADBH，P、Q两点的速度比为2：1，QD：BP=1：2，QE：EP=ED：BE=1：2，EFBH，ED：DB=EF：BC=1：3，BC=20，EF=，：=，PH=20cm4、解答：（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=00c，解得：c=1，答：c的值是1（2）解：把A（1，0）代入得：0=ab1，b=1a，ax2bx1=0，b24ac=（1a）24a=a22a10，a1且a0，答：a的取值范围是a1且a0；（3）证明：0a1，B在A的右边，设A（a，0），B（b，0），ax2（1a）x1=0，由根与系数的关系得：ab=，ab=，AB=ba=，把y=1代入抛物线得：ax2（1a）x1=1，解得：x1=0，x2=，CD=，过P作MNCD于M，交X轴于N，则MNX轴，CDAB，CPDBPA，=，=，PN=，PM=，S1S2=1，即不论a为何只，S1S2的值都是常数答：这个常数是15、【答案】解：（1）CGAP，CGD=PAG，则。GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x。，即。y关于x的函数关系式为。当y =3时，解得:x=2.5。（2），为常数。（3）延长PD交AC于点Q.正方形ABCD中，AC为对角线，CAD=45。PQAC，ADQ=45。GDP=ADQ=45。DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。，化简得：，解得：。0x2.5，。在RtDGP中，。6、【答案】解：（1）抛物线，二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，1）。（2）二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。线段EF的长度不会发生变化。直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8。解得：x1=1，x2=5。EF=x2x1=6。线段EF的长度不会发生变化。7、【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范围为：0t4。（2）结论：AEF的面积S不变化。AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t，则CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= 8+（8t）4（8）。化简得：S=32为定值。所以AEF的面积S不变化，S=32。（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化简得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合题意，舍去。当t=秒时，四边形APQF是梯形。8、【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。 y=2x。（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：如图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时。当QH与QM不重合时，QNQM，QGQH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，MQH=GQN。又QHM=QGN=90，QHMQGN。当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC=。ARO=FCO=90，AOR=FOC，AORFOC。O