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文档简介

3 2估计量的评选标准 一 无偏性 定义1 1 例 解 2 定义2 例2 证明 3 则 因为 所以 4 注1 无偏估计不一定存在 例 即 5 注2 无偏估计量存在也不一定唯一 6 注3 无偏估计不一定是一个好估计 例 即 7 二 有效性 无偏性 反映了估计量所取数值在未知参数的真值周围波动 而没有反映出估计值的波动的大小程度 方差 反映随机变量的取值在它的数学期望的邻域内的分散或集中程度的一种度量 一个好的估计量 不仅应该是无偏估计量 而且应该有尽可能小的方差 8 定义3 例 9 例 证明 因为 10 由于 11 三 相合性 估计量的无偏性和有效性是在固定样本容量时的估计量的性质 当样本容量n较大时 自然希望对未知参数的估计值越精确 这就是估计量的相合性的朴素想法 定义4 即 12 相合估计一般是对估计的一个最基本的要求 如果一个估计量 在样本量不断增大时 它都不能把被估参数估计到任意指定的精度 那么这个估计是很值得怀疑的 证明估计的相合性一般可以应用大数定律或直接由定义来证 定理1 样本原点矩是相应的总体原点矩的相合估计量 定理2 13 推论 样本中心矩是相应的总体中心矩的相合估计量 定理3 练习 14 证明 故有 15 练习 证明 由 可得 则 16 一致最小方差无偏估计 定义 17 下面我们来介绍如何去寻找一致最小方差无偏估计 回顾第一章中在条件期望一节中介绍的定理推论 由此可得如下定理 定理1 18 说明 1 如果无偏估计不是充分统计量的函数 将之对充分统计量求条件期望可以得到一个新的无偏估计 该估计的方差比原来估计的方差小 2 考虑的较小方差的无偏估计只需在基于充分统计量的函数中进行即可 也就是说 如果参数的UMVUE存在 则它一定是充分统计量的函数 19 例1 解 令 20 21 关于UMVUE 有如下的一个判断准则 定理2 22 证明 于是 证毕 23 例1 续 24 例2 整理得 解 25 由此推得 26 一致最小方差无偏估计量是一种最优的估计量 但有时并不存在 通常我们都是在的一类无偏估计量中 求出具有最小方差的无偏估计 例3 27 下面的定理给出了无偏估计方差的下界 有助于找UMVUE 定理4 Rao Cramer定理 28 29 30 本书涉及的问题中 满足定理中的条件 且达到R C不等式下界的无偏估计量也就是UMVUE 定义 假定满足Rao Cramer定理的条件 31 32 求证 证明 33 又因为 34 注1 信息不等式成立是有条件的 当定理条件不满足时 无偏估计的方差可能比R C下界要小 例 35 则有 故 36 注2 如果某个无偏估计的方差达到R C下界 那么它是UMVUE 如果一个估计是UMVUE 但它的方差不一定达到R C下界 练习 1
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