初二数学三角形的要点.doc

初二数学：三角形第一部分：三角形的相关概念一、知识点讲解： 1三角形的定义：注意从三个方面理解。 三点不在同一直线上； 三条线段； 首尾顺次相接。 2三角形中“三线”的几种表示法： 三角形的角平分线：如图1所示， AD是三角形ABC的平分线； AD平分BAC交BC于D； BAD=DAC=1/2BAC。 BAC=2BAD=2DAC。 三角形的中线：如图2所示， AM是ABC的中线； AM是ABC中BC边上的中线； 点M是BC边的中点； BM=MC。 三角形的高线：如图3所示， AD是ABC的高； AD是ABC中BC边上的高； AD垂直于BC。垂足为D； ADB=ADC=90。3. 概念区分： 三角形的角平分线与一个角的平分线的区别和联系。 联系：都把一个角分成了两个相等的角。 区别：前者是线段，后者是射线。 三角形的中线和三角形的高均是线段。 三角形的高与三角形一边上的垂线的区别、联系。 联系：所构成的ADC=ADB=EFB=EFC=90 区别：前者是线段AD。 后者是直线EF，不一定过顶点A。 每个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高。它们都分别相交于一点，三条角平分线的交点、三条中线的交点都在三角形内部。锐角三角形的三条高线在三角形内，因此交点在三角形内部。直线三角线的两条高线恰好是它的两条直角边，因此交点在直角顶点上。钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，交点在三条高线的延长线上。二、例题与分析：例1如图： 图中共有_个三角形； B是ABD中_的对角，又分别是ABE、ABC中_、_的对角； AEB的对边是_,分别在三角形_中； AB分别是ABE、ABD中_、_的夹边。分析：数三角形是初中常见题，其方法很多。大致规律是：定一边找另一顶点；或先定一点依次找另两个顶点。找角的对边、夹边或边的对角、夹角要先找清所需的三角形。对一个角或一条边的认识不能只局限在一个三角形里，要学会从不同角度认识问题。 解： 6个 AD；AE、AC AB、AD；ABE、ADE BAE、B；BAD、B例2已知：BM是ABC的中线，AB=5cm, BC=3cm，ABM与BCM周长差是多少？解： BM是ABC的中线， AM=MC， ABM的周长=AB+BM+MA BMC的周长=BC+BM+CM ABM与BCM周长差即为AB与BC的差 ABM与BCM周长差是2。 例3下列命题：A、首尾相连的三条线段组成的图形是三角形；B、有三角的平面图形是三角形；C、三角形的角平分线是射线；D、任何一个三角形都有三条高，三条角平分线，三条中线。其中正确的命题是（ ）分析：准确掌握三角形的概念，三角形中“三线”的概念，是解本题的关键。解：D。例4如图4填空： 在ABC中，BC边上的高是_。 在AEC中，AE边上的高是_。 在FEC中，EC边上的高是_。 若AB=CD=2cm, AE=3cm. 则AEC面积S=_. CE=_. 分析：在非标准位置的三角形中，运用定义识别直角三角形，钝角三角形的高，利用三角形的面积公式SAEC=1/2AECD=1/2CEAB，可求得CE。 解： AB CD FE S=3cm2 CE=3cm 小结：本节主要研究三角形及有关概念，通过本节学习，使学生理解并掌握三角形的角平分线，中线及高的概念，为今后继续学习，判断推理做好准备。第二部分：三角形的边和角一、 内容综述：三角形是常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种。而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形，实际上对于一些曲线形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。本章是在前面学习几何的基础上，即对三角形有了一些感性认识，掌握了一些几何最基础的概念和方法的基础上，比较系统地研究三角形，研究它的概念、分类、性质及应用等。这一大节研究一般三角形（即任意三角形），首先给出了三角形的定义，提出了一些与三角形有关的概念，这些为以后的学习提供了方便，实际上是全章的预备知识。三角形的边角关系定理及推论，是后面学习的基础，它们本身在实际中也有广泛的应用，所以这是这一大节的重点。二、重点讲解： 1三角形的分类。三角形按边分为： 三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形按角分类：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2三角形三边关系定理及推论，定理是：三角形两边之和大于第三边；推论是：三角形的两边之差小于第三边。三边之间的关系定理是后面学习各种特殊三角形的基础。3由于三角形两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边；所以有关系式：两边差第三边两边和。这就是第三边取值范围求解的根据。4. 三角形的内角和定理： 三角形内角和等于180； 直角三角形的两个锐角和等于90。 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三、例题分析例1下列命题中，真命题是（ ） 有三个角的平面图形是三角形； 三角形的顶点到对边的距离是三角形的高； 三角形的角平分线是射线 三角形的三条高所在直线交于一点，这点不在三角形内就在三角形外； 任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 分析：解答本题要求准确掌握三角形的概念，三角形的角平分线，中线，高的概念。注意三角形的高与一般意义的“高”及“距离”之间意义上的区别，注意钝角三角形，直角三角形高的特点。 解答：真命题是。例2下列数组中，各数均表示线段的长度，试判断以这些线段为边能否组成三角形？ 9，5，13 7，5，12 6，8，15 a-4，a，4 （a4） a，a+4，a+6 （a0） a，b，a+b （a0，b0）分析：只需验证三条线段中最长的线段是否小于其它两条线段之和，或三条线段最短的线段是否大于其它两条线段之差即可。 解：9+513 以9，5，13为边的三条线段能构成三角形 7+5=12 以7，5，12为边的三条线段不能构成三角形 6+815 以6，8，15为边的三条线段不能构成三角形 (a-4)+4=a 以a-4，a，4为边的三条线段不能构成三角形 (a+6)-(a+4)=2 且a与2的大小不能确定 以a，a+4，a+6为边的三条线段不一定能构成三角形 a+b=a+b 以a，b，a+b为边的三条线段不能构成三角形。 评注：三角形三边关系定理与推论不仅说明了三边的大小关系，还可利用此定理作为判断三条线段能否组成三角形的标准：任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边。例3试确定下列三角形中第三边的取值范围 已知两边长分别是4，5 已知两边长分别是4，a （a0）分析：因本题中第三边是未知的，因此无法确定最大边或最小边，因此要进行讨论。一般地，若已知三角形的两边长分别为a，b（ab0），则第三边长c的取值范围可用下面的方法来确定： 当c是最大边，即ca时，有ca+b 当c介于a，b之间时，有bca 当c是最小边，即cb时，有a-bcb 综上所述，c的取值范围是：a-bca+b 一般地，无法确定a , b大小时，第三边c的取值范围为 |a-b|ca+ b（*） 解：设第三边的边长为c，则有 |4-5|c4+5，即1c9 |4-a|c4+a 评论：可以把（*）看成是确定第三边边长范围的公式灵活使用。例4已知等腰三角形两边的和与差分别为16厘米和8厘米，求此等腰三角形的周长。 分析：求等腰三角形的周长，只要求出其底与腰长即可，这可通过列方程组求解，因为已知的两边不相等，所以这两边不可能都是腰。 解：设等腰三角形的两边分别为acm, bcm，则有 解得：a=12, b=4，a=128=2b 根据三角形三边关系定理，等腰三角形的腰只能取a=12 等腰三角形的周长为12+12+4=28（厘米） 评注：为什么a只能取12呢？因为如果a取4，则三边分别为4，4，12，而这样的线段不能构成三角形。 例5如图，AF，AD分别是ABC的高和角平分线，且B=36，C=76，求DAF的度数。分析：可按下列顺序来求DAF的度数 BACBADADFDAF 解：B=36，C=76， BAC=180-B-C =180-36-76 =68（三角形的内角和等于180） AD平分BAC BAD=1/2BAC=34，ADF=B+BAD=70（三角形的任一外角等于与它不相邻的两内角之和） AFBC AFD=90DAF=180-ADF-AFD =180-70-90=20评论：要善于从图形中看出几何元素的多重身份，如ADF既是ABD 的外角，又是ADC的内角；DAF既是ADF的内角，又是DAC与FAC的差。解题时要从不同角度去观察，这样就能发现题目中隐藏的关系。 同一题往往有很多种解答途径，本题另一明显较好的方法是在ABF中求出BAF，再求出BAD的大小，再利用DAF=BAF-BAD。例6如图，点P是ABC内一点。求证：AB+ACPB+PC BPCA 分析：证与线段有关的不等关系时，往往是应用三角形三边关系定理，得出几个同角不等式相加而成。本题待证的AB+ACPB+PC中的线段没有构成三角形，因此通过作辅助线，延长BP交AC于E后，形成 ABE和PEC来证明。 证明： 延长BP交AC于点E，则在ABE中有：AB+AEBE即 AB+AEPB+PE 又在PEC中有：EP+ECPC （AB+AE）+（EP+EC）（PB+PE）+PC 即AB+ACPB+PC BPC是EPC的一个外角，BPCPEC 又PEC是ABE的外角，PECA，BPCA，得证。第三部分：练习一、填空题： 1五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中三条为边长可以构成_个三角形。 2一个等腰三角形的周长是5，如果其三边长均为整数，则其腰长为_，底边长为_。 3若C=50，B-A=10，那么A=_，B=_。 4若三角形三个外角的度数比为234，则此三角形内角分别为_。 5直角三角形两锐角的平分线的交角是_度，与两锐角相邻的两个外角的平分线的交角是_度。 答案：1；3 2；2、1 3；60、70 4；100、60、20 5；135、45 二、 作图题 如图，在ABC中， 画出A的平分线AD 画出BAD的中线BE 画出ACE的边AC上的高和CE上的高 （答案）略 三、 计算下列各题 已知三角形三边分别是a, a-1和a+1，求a的取值范围。 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和21两部分，求三角形底边长。 如图，已知BAD=CBE=ACF，FDE=64，DEF=43，求：ABC各内角的度数。（答案） 解：由三角形的最大边小于其他两边之和有a+1a+a-1，即a2(1) 又三角形的边长应为正值，所以有最小边a-10,即a1(2) 综合(1)，(2) 得a2 设腰长2x，底边长y，则由题意得 或 解之得x=4，y=17（不合题意，舍去），或x=7，y=5。 FDE=ABC=64，DEF=BCA=43，EFD=CAB=73。四、在ABC中，若三边分别为a，b，c，且满足a2+2ab=c2+2bc，试判断ABC的形状。（答案）解：a2+2ab=c2+2bc a2-c2+2ab-2bc=0 (a-c)(a+c+2b)=0又a+c+2b0 a-c=0，即a=c ABC是等腰三角形。 四、 证明下列各题 如图，ACD是ABC的外角，BE平分ABC，CE平分ACD，且BE，CE交于点E，求证：E=1/2A。 已知点P是ABC内任意一点，求证：PA+PB+PC1/2 (AB+BC+CA) (答案)： 证明：ACD=A+ABC，CE平分ACD ECD=1/2（A+ABC）又ECD=E+EBC E+EBC=1/2 (A+ABC) BE平分ABC，EBC=1/2ABC， E=1/2A。 证明：在PAB中， PA+PBAB(1) 在PAC中，PA+PCAC(2) 在PBC中，PB+PCBC(3) (1)+(2)+(3) 2PA+2PB+2PCAB+BC+AC 即 PA+PB+PC1/2 (AB+BC+AC) 得证。课外阅读最早提出证明的人古代人对于各种图形的研究，最早是通过直观观察或实验来确定性质的,但是单凭这样的方法是靠不住的，如让我们看图1的图形，你会认为这表现了什么？ 有人会说：“看有线条的部分好像是两个人在面对面地说话”而另外会有人说：“看不带线条的部分像一个美丽的花瓶摆在那里”究竟谁说得对呢？再看一下图2中两条直线是否平行?你可能会觉得不平行，可是如果用尺子量一下就会发现这两条直线是平行的。 以上的例子告诉我们，如果仅仅把观察的结果做为事实是靠不住的，有时候是会出现偏差的，作为一门科学是需要有证明的。第一个提出命题需要证明的人是公元前6世纪古希腊的泰勒斯。他是爱奥尼亚学派的创始人，也是希腊哲学的鼻祖，但是，他最大的贡献是开创了命题的证明他证明了以下几个命题： 1、圆被它的任一直径所平分； 2等腰三角形两底角相等； 3两条直线相交，对顶角相等； 4两个三角形如果有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等； 5内接于半圆的角必是直角 对于上述命题，泰勒斯并不是凭直观或经验得到的，而是运用逻辑对其进行了严密的推理，逻辑是一门关于人类正确思维的规律的科学，而逻辑推理是几何学赖以生存的基础，这就是证明当科学的证明方法被广泛运用时，几何就不再是简单的测地术了。在几何学中有如下的事实： 1只能通过证明(包括计算)来判断两条线段或两个角是否相等，而不能通过尺子或量角器来测量判断是否相等。2所有的定理和公式。都必须经过严格的证明，而不能仅凭直观或经验获得。3几何学还需要公理存在。公理就是已被实践反复证实而公认为不需再证明的事实、利用公理可作为证明的根据和出发点，再利用逻辑规律可推证出一系列的定理。关于泰勒斯有许多