2020届市高三上学期期末教学质量监测数学（文）试题（PDF版含答案）

期末教学质量监测 高三文科数学 高三文科数学 本试卷共 22 题 共 150 分 共 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号码填写清楚 将条形码准确粘贴 在条形码区域内 2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂 非选择题必须使用 0 5 毫米黑色字迹的签 字笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答 超出答题区域书写的答案无 效 在草稿纸 试题卷上答题无效 4 作图可先使用铅笔画出 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5 保持卡面清洁 不要折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 修正带 刮纸刀 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设集合 A x x2 2x 3 0 B x x 2 0 则 A B A 1 2 B 2 3 C 3 1 D 2 2 复数 z 3 i 1 i的模 z A 1 B 2 C 2 D 5 3 圆 x2 y2 2x 2y 7 0 的圆心到直线 x y 0 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 3 4 某商家统计了去年 P Q 两种产品的月销售额 单位 万元 绘制了月销售额的雷达 图 图中 A 点表示 P 产品 2 月份销售额约为 20 万元 B 点表示 Q 产品 9 月份销售额 约为 25 万元 根据图中信息 下面统计结论错误 的是 A P 产品的销售额极差较大 B P 产品销售额的中位数较大 C Q 产品的销售额平均值较大 D Q 产品的销售额波动较小 25 30 20 15 10 5 0 1月 月 2月 月 3月 月 4月 月 5月 月 6月 月 7月 月 8月 月 9月 月 10月 月月 11月 月月 12月 月月 P 产品的销售额 万元 Q 产品的销售额 万元 A B 5 设 a 0 60 6 b 0 61 5 c 1 50 6 则 a b c 的大小关系是 A a b c B b c a C b a c D c b a 6 若 sin 2cos 则 cos2 sin2 A 12 5 B 9 5 C 1 D 4 5 7 已知非零向量 a b 满足 a 2 b 且 a b b 则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8 从分别写有 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张 放回后再随机抽取 1 张 则 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A 2 5 B 3 10 C 1 5 D 1 10 9 设 是两个平面 m n 是两条直线 下列命题错误 的是 A 如果m n 那么m n B 如果 m 那么m C 如果m n m n 那么 D 如果 内有两条相交直线与 平行 那么 10 下列函数中 其图象与函数 y lg x 的图象关于点 1 0 对称的是 A y lg 1 x B y lg 2 x C y log0 1 1 x D y log0 1 2 x 11 关于函数 f x sinx sin x 有下述四个结论 f x 是偶函数 f x 在区间 2 0 单调递减 f x 在 有 4 个零点 f x 的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12 设 F 为双曲线 C x 2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 的右焦点 O 为坐标原点 以 OF 为直径的 圆与圆 x2 y2 a2交于 P Q 两点 若 PQ OF 则 C 的渐近线方程为 A y 2x B y 3x C y 2x D y x 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 抛物线 y2 4x 上一点 P 到该抛物线的焦点距离是 10 则 P 点的横坐标为 14 已知函数 f x 在 R 单调递减 且为奇函数 则满足 f x 1 f x 3 0 的 x 的取值 范围为 P A B M C O 15 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 ABC 的面积为a 2 b2 c2 4 则 A 16 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的六个顶点都在球 O 的表面上 若这个三棱柱的体积为 9 3 AB 3 则 AA1 球 O 的表面积为 本题第一空 2 分 第二空 3 分 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 等差数列 an 的公差为 2 若 a2 a4 a8成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 设 Sn是数列 an 的前 n 项和 求数列 1 Sn 的前 n 项和 Tn 18 12 分 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出 1t 该产品获利润 500 元 未售出的产品 每 1t 亏损 300 元 根据历史资料 得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产 品 以 X 单位 t 100 X 150 表示下一个销售 季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销 售季度内经销该农产品的利润 1 将 T 表示为 X 的函数 2 根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率 19 12 分 如图 在三棱锥 P ABC 中 AB BC 2 2 PA PB PC AC 4 O 为 AC 的中点 1 证明 PO 平面 ABC 2 若点 M 在棱 BC 上 且 MC 2MB 求点 C 到平面 POM 的距离 需求量 X t 频率 组距 0 010 0 015 0 020 0 030 100 110 120 130 140 150 0 025 20 12 分 已知椭圆 C x2 a2 y2 b2 1 a b 0 四点 P1 1 1 P2 0 1 P3 1 2 2 P4 1 2 2 中恰有三点在椭圆 C 上 1 求 C 的方程 2 设 C 的短轴端点分别为 A B 直线 l y x t t 1 交 C 于 M N 两点 交 y 轴于 D 点 若 DM DN DA DB 求实数 的值 21 12 分 已知函数 f x 1 2x 2 lnx 1 1 讨论函数 f x 的单调性 2 设 g x 1 2x 2 ax lnx 证明 曲线 y g x 没有经过坐标原点的切线 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 倾斜角为 的直线 l 过点 M 2 4 以原点 O 为极 点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos 1 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程 2 若直线 l 与 C 交于 A B 两点 且 MA MB 40 求倾斜角 的值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 a 0 b 0 1 证明 a3 b3 a2b ab2 2 若 a b 2 求 a3 b3的最小值 高三文科数学答案与评分参考 高三文科数学答案与评分参考 一 选择题 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 C 10 D 11 A 12 D 二 填空题 13 9 14 1 15 3 4 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 16 4 28 三 解答题 17 解 1 由题意得 a42 a2a8 即 a1 6 2 a1 2 a1 14 故 a1 2 所以 an 的通项公式 an 2n 6 分 2 由 1 得 Sn 1 2 a1 an n n 1 1 Sn 1 n n 1 1 n 1 n 1 于是 Tn 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n 1 1 1 2 1 3 1 n 1 2 1 3 1 4 1 n 1 1 1 n 1 n n 1 12 分 18 解 教育部考试中心 试题分析 解法 1 当 X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39000 当 X 130 150 时 T 500 130 65000 所以 T 800X 39000 100 X 130 65000 130 X 150 6 分 2 由 1 知 T 57000 元当且仅当 120 X 150 由直方图知 X 120 150 的频率为 0 3 0 25 0 15 0 7 所以下一个销售季度内利 润 T 不少于 57000 元的概率估计值为 0 7 12 分 19 解法 1 教育部考试中心 试题分析 解法 1 1 因为 PA PC AC 4 O 为 AC 的中点 所以 PO AC 且 PO 2 3 连结 OB 因为 AB BC 2 2 AC 所以 ABC 为等腰直角三角形 且 OB AC OB 1 2AC 2 由 OP2 OB2 PB2知 PO OB 由 PO AC PO OB 知 PO 平面 ABC 4 分 2 由题设可知 OC 1 2AC 2 CM 2 3BC 4 2 3 OCM 45 由余 弦定理得 OM 2 5 3 在平面 OCM 内作 CH OM 垂足为 H 又由 1 可得平面 POM 平面 OCM 所以 CH 平面 POM 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 在 POM 中 CH OC MC sin ACB OM 4 5 5 所以点 C 到平面 POM 的距离为4 5 5 12 分 20 解 1 由于 P3 P4关于轴对称 故由题设知 C 经过 P3 P4两点 所以 1 a2 1 2b2 1 又由 1 a2 1 b2 1 a2 1 2b2 1 知 C 不经过点 P1 所以点 P2 在上 所以 1 b2 1 因此 a2 2 故 C 的方程为x 2 2 y 2 1 6 分 2 设 l y x t M x1 y1 N x2 y2 则 D 0 t DM x1 0 2 y1 t 2 2 x1 DN x2 0 2 y2 t 2 2 x2 y x t 与x 2 2 y 2 1 联立得 3x2 4tx 2t2 2 0 当 8 3 t2 0 时 即 3 t 3时 x1x2 2t 2 2 3 8 分 所以 DM DN 2 x1x2 4 t 2 1 3 由 1 得 A 0 1 A 0 1 所以 DA DB t 1 t 1 t2 1 等式 DM DN DA DB 可化为4 t 2 1 3 t2 1 因为 t 1 所以 DA DB DM DN 4 3 12 分 21 解 解 1 f x 定义域为 0 f x x 1 x 1 x 当 0 x 1 时 f x 0 x 1 时 f x 0 于是 f x 在 0 1 单调递减 在 1 单调递增 4 分 2 因为 g x 定义域为 0 所以 y 轴不是曲线 y g x 的切线 6 分 当经过坐标原点的直线不是 y 轴时 设 y kx 是曲线 y g x 的切线 切 点是 x0 y0 因为 g x x2 a 1 x 所以 1 2x0 2 ax0 lnx0 kx0 x0 a 1 x0 k 消去 k 得1 2x0 2 lnx0 1 0 即 f x0 0 由 1 知 f x f 1 3 2 0 所以 f x0 0 无解 因此曲线 y g x 没有经过坐标原点的切线 12 分 22 解 1 因为 l 的倾斜角为 l 过点 M 2 4 所以直线 l 的参数方程是 x 2 tcos y 4 tsin t 是参数 因为 sin2 2cos 所以 2sin2 2 cos 由 cos x sin y 得曲线 C 的直 角坐标方程是 y2 2x 5 分 2 把 l 的参数方程代入 y2 2x 得 t2sin2 2cos 8sin t 20 0 当 2cos 8sin 2 80sin2 时 设 A B 对应的参数分别为 t1 t2 则 MA MB t1t2 20 sin2 由 20 sin2 40 0 0 得