2020届安徽省马鞍山市高三毕业生第一次教学质量监测理科数学试题（PDF版含答案）

页 1 第 理科数学试题理科数学试题 本试卷 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号和座位号填在答题卡上 将条形码横贴在答题卡右 上角 条形码粘贴处 2 作答选择题时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需要改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新答案 不准使用铅笔和涂改液 不按 以上要求作答无效 4 考生必须保证答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 12 个题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 设全集 5 Uxx N 2 log2 Axx N 则 UA A 0 4 5 B 4 5 C 5 D 45 xx 2 复数 i i1 z 的虚部为 A 1 2 B 1 2 C 1 i 2 D 1 i 2 3 下图是国家统计局给出的 2014 年至 2018 年我国城乡就业人员数量的统计图表 结合这张图表 以下说 法错误的是 A 2017 年就业人员数量是最多的 B 2017 年至 2018 年就业人员数量呈递减状态 C 2016 年至 2017 年就业人员数量与前两年比较 增加速度减缓 D 2018 年就业人员数量比 2014 年就业人员数量增长超过 400 万人 4 数列 n a 为等差数列 且 2712 6aaa 则 n a 的前 13 项的和为 A 52 B 104 3 C 26 D 52 3 5 已知向量a 1 2 b 4 m 且 ab 则 ab A 5 B 5 C 7 D 25 6 已知奇函数 3 0 0 x a x f x h x x 则 2 h 的值为 就业人员 万人 2014年2015年2016年2017年2018年 77100 77000 77500 77400 77700 77600 77300 77200 页 2 第 A 10 9 B 10 9 C 8 D 8 7 已知点F是抛物线 C 2 4yx 的焦点 过点F的直线交抛物线C于点P 交y轴于点Q 若FPFQ2 则点P的坐标为 A 1 2 2 B 2 1 C 1 2 D 1 2 2 8 西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动 其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动 课 七巧板 健美操 剪纸 203 班有包括奔奔 果果在内的 5 位同学报名参加了少年宫活动 每位同 学只能挑选一门课外活动课 已知每门课都有人选 则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法 种数为 A 18 B 36 C 72 D 144 9 某几何体的三视图如图所示 其中俯视图为扇形 则该几何体的体积为 A 16 3 B 16 9 C 32 3 D 32 9 10 函数 2 21 2 x x f x x 的图像大致为 11 已知边长为 2 的正ABC 所在平面外有一点P 4 PB 当三棱锥ABCP 的体积最大时 三棱锥 ABCP 外接球的表面积为 A 3 32 B 16 C 3 64 D 3 256 12 已知函数 2sinf xx 0 的图象经过点 2 2 和 0 且 f x在0 4 内不单调 则 的最小值为 A 1 B 3 C 5 D 7 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 曲线 x yxe 在点 1 e处的切线方程为 14 已知实数x y满足约束条件 220 24 410 xy xy xy 则目标函数 3zxy 的最大值为 xO y xO y xO y x O y A B C D 侧视图 俯视图 正视图 2 4 21 页 3 第 15 定义 如果一个数列从第二项起 每一项与前一项的差构成一个等比数列 则称该数列为 等差比 数 列 已知 等差比 数列 n a的前三项分别为 1 2a 2 3a 3 5a 则数列 n a的前n项和 n S 16 已知双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0b 的焦距为2c F为右焦点 O为坐标原点 P是双曲线上一 点 PO c POF 的面积为 1 2 ab 则该双曲线的离心率为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生 都必须做答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求做答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 已知ABC 为锐角三角形 且sincoscossincosABABC 1 求角B的大小 2 若2b 求 312ac 的最大值 18 12 分 某公司新研发了一款手机应用 APP 投入市场三个月后 公司对部分用户做了调研 抽取了 400 位使 用者 每人填写一份综合评分表 满分为 100 分 现从 400 份评分表中 随机抽取 40 份 其中男 女使 用者的评分表各 20 份 作为样本 经统计得到如下的茎叶图 女性使用者评分 男性使用者评分 7 6 7 8 9 9 1 2 5 7 0 2 2 3 4 5 6 6 7 8 9 0 3 3 3 4 4 5 6 6 8 8 2 4 4 9 0 0 1 2 2 2 9 2 记该样本的中位数为M 按评分情况将使用者对该 APP 的态度分为三种类型 评分不小于M的称为 满意型 评分不大于10M 的称为 不满意型 其余的都称为 须改进型 1 求M的值 并估计这 400 名使用者中 须改进型 使用者的个数 2 为了改进服务 公司对 不满意型 使用者进行了回访 根据回访意见改进后 再从 不满意型 使用者中随机抽取 3 人进行第二次调查 记这 3 人中的女性使用者人数为X 求X的分布列和 数学期望 19 12 分 如图 四边形ABCD为矩形 1AB 3BC 以AC为折痕将ABC 折起 使点B到达点P的位 置 且P在平面ACD内的射影O在边AD上 1 求证 APCD 2 求二面角PACD 的余弦值 页 4 第 20 12 分 已知椭圆C 22 22 1 xy ab 0 ab 过点 3 1 2 M 且M到两焦点的距离之和为4 1 求椭圆C的方程 2 已知不经过原点O的直线l交椭圆C于A B两点 线段AB的中点在直线OM上 求 OA OB uuu r uuu r 的取值范围 21 12 分 已知函数 2 e12e xx f xaax 1 当0a 时 讨论 f x的单调性 2 若 f x有两个不同零点 1 x 2 x 证明 1a 且 12 0 xx 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 分 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 平面直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 32cos 12sin x y 为参数 在以坐标原点O为极点 x轴非负半轴为极轴的极坐标系中 点P在射线 3 l 上 且点P到极点O的距离为4 1 求曲线C的普通方程与点P的直角坐标 2 求OCP 的面积 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 2 431f xxxaa 1 若函数 f x有零点 求实数a的取值范围 2 记 1 中实数a的最大值为m 若p q均为正实数 且满足pqm 求 22 pq 的最小值 A P C D O A B C D 页 5 第 理科数学试题理科数学试题 本试卷 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号和座位号填在答题卡上 将条形码横贴在答题卡右 上角 条形码粘贴处 2 作答选择题时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需要改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新答案 不准使用铅笔和涂改液 不按 以上要求作答无效 4 考生必须保证答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 12 个题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C A D D B B C C B 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 2 0exye 14 6 15 2 1 n n 16 2 提示 设左焦点为1 F P m n 由题知 1 FPF 为直角三角形 222 11 PFPFFF 22 2222 2 2 4 ca emaemacm e 又 1 2PFPFab 2 2 2 2aba m e 从而ab 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生 都必须做答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求做答 一 必考题 共 60 分 17 解析 1 解法 1 sincoscos sincos cos sincoscossinsinABABABABABAB cos sincos sin sincos BAABAA ABC 为锐角三角形 sincos0AA cossinBB 即tan1B 4 B 6 分 解法 2 sincoscossincosABABC sincoscossincosABABC sincosABC sinsin 2 ABC ABC 为锐角三角形 2 ABC 2 ACB 2 BB 4 B 6 分 2 由正弦定理得2 sinsinsin acb ACB 2sinaA 2sincC 由 1 知 4 B 3 4 CA 312231 sin2 2sinacAC 3 231 sin2 2sin 4 AA 22 231 sin2 2sincos 22 AAA 2 3sin2cos4sin 6 AAA 10 分 页 6 第 3 A 时 312ac 取得最大值4 12 分 18 解析 1 中位数等于 8082 81 2 所以81M 40 个样本数据中共有 13 人是 须改进型 从而可 得 400 名使用者中约 13 400130 40 人是 须改进型 使用者 5 分 2 不满意型使用者共 7 人 其中男性 5 人 女性 2 人 故X的所有可能的取值为 0 1 2 7 分 且 3 5 3 7 2 0 7 C P X C 21 52 3 7 4 1 7 C C P X C 12 52 3 7 1 2 7 C C P X C 故X的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 11 分 所以X的数学期望 2416 012 7777 E X 12 分 19 解析 1 由题可得 OP面ACD OPCD 又四边形ABCD为矩形 CDAD 又AOADO I CD 面APD APCD 5 分 2 解法 1 以A为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 易知 130C 设P点坐标为 0 zy 0z 由1 AP 3 PC 得 3 3 1 1 22 22 zy zy 解得 3 3 y 3 6 z 即P点坐标为 3 6 3 3 0 设 1 zyxn面APC 所以 APn ACn 1 1 30 36 0 33 xy yz 令 1y 得 2 2 1 3 1 n 又 1 0 0 2 n面ACD 12 1 cos 3 n n u u r uu r 所以二面角DACP 的余弦值为 3 1 12 分 解法 2 作PEAC 交AC于点E 连接OE 由 1 知 CDAP 又APPD CDPDD I AP 面PCDCPAP PO 面ACDPOCA 又PECA APPOP I CA 面POECAOE 故PEO 即为所求二面角的平面角 在Rt APCV Rt APDV中易求得 6 3 PO 3 2 PE z A C D O P x y 页 7 第 Rt OPEV中 22 1 cos 3 PEPO PEO PE 12 分 20 解析 1 由题可得 1 4 31 42 22 ba a 解得 1 2 b a 所以曲线C的方程为1 4 2 2 y x 4 分 2 方法一 易知直线l 斜率存在且不等于 0 所以 12 0yy 设 11 yxA 22 B xy得 1 4 1 4 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x 两式相减得 1212 1212 3 4 6 yyxx xxyy 即 3 6 AB k 7 分 设直线AB的方程为 3 0 6 yxm m 联立方程 mxy yx 6 3 44 22 化简得0333 22 mmxx 因为直线l交椭圆于A B两点 故 2 9120m 解得 2 4 0 3 m 8 分 又 12 3xxm 2 12 33x xm 9 分 2 21212121 6 3 12 1 6 3 6 3 mxxmxxmxmxyy 所以 2 1212 151313 7 444 4 OA OBx xy ym uuu r uuu r 12 分 方法二 易知直线l斜率存在且不等于 0 故设直线AB的方程为 0 ykxm m 联立方程组 mkxy yx44 22 化简得0448 41 222 mkmxxk 2 21 41 8 k km xx 2 2 21 41 44 k m xx 2 21 41 2 k m yy 因为线段AB的中点在直线OM上 所以 2 3 4 1 21 21 kxx yy 求得 6 3 k 7 分 后面解法同解法一 12 分 21 解析 1 2 2 e12e1e1 2 e1 xxxx fxaaa 因为0a 由 0fx 得 0 x 或 1 ln 2 x a 2 分 i 1 ln0 2a 即 1 2 a 时 f x在 1 ln 2a 单调递减 在 1 ln 0 2a 单调递增 在 0 单调递减 ii 1 ln0 2a 即 1 2 a 时 f x在 单调递减 页 8 第 iii 1 ln0 2a 即 1 0 2 a 时 f x在 0 单调递减 在 1 0 ln 2a 单调递增 在 1 ln 2a 单调递减 6 分 2 由 1 知 1 2 a 时 f x的极小值为 111 ln1ln10 242 f aaa 1 0 2 a 时 f x的极小值为 0110fa 1 2 a 时 f x在 单调 故0a 时 f x至多有一个零点 当0a 时 易知 f x在 0 单调递减 在 0 单调递增 要使 f x有两个零点 则 00f 得1a 9 分 令 F xf xfx 0 x 则 Fxfxfx 2 2 e12e1 xx aa 2 2 e12e1 xx aa 2ee1 ee2ee20 xxxxxx a 所以 F x在0 x 时单调递增 00F xF f xfx 不妨设 12 xx 则 1 0 x 2 0 x 2 0 x 122 f xf xfx 由 f x在 0 单调递减得 12 xx 即 12 0 xx 12 分 二 选考题 共 二 选考题 共