初二数学特训班第02讲整式四则因式分解.docx

初二特训班第二讲：（乘法公式）整式四则运算 因式分解整式运算基本知识点：l 同底数幂的乘法、除法，幂的乘方、积的乘方： amanam+n ， amanam-n ， (am)namn ， (ab)nanbn l 单项式的乘法：单项式相乘，把它们的系数、字母分别相乘。 练习：1. 比较3555，4444，5333的大小。2已知a3m=3，b3n=2，求(a2m)3+(bn)3-a2mbna4mb2n的值。l 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。l 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 练习：3. 已知关于x,y的多项式(x+my)(x+ny)等于x2+2xy-8y2，求(m+n)mn的值。4. 已知计算(x3+mx+n)(x2-5x+3)的结果不含x3和x2项，求m、n的值。5. 已知 计算的值。l 多项式乘法的某些特殊情况的结果称为乘法公式。目前在初中学习的乘法公式有如下几个：l 公式记忆和应用的时候应注意的事项：位置、符号、指数、系数、整体换元 练习：6. 7. 8. 已知，将化简为单项式*9. 设，求证：*10. 已知：,求证（同第九题，一个意思。）【变异：已知x+y+z=3，且(x一1)3+(y一1)3+(z一1)3=0。求证：x，y，z中至少有一个是1。】*11. 已知：A+B+C=6，A2+B2+C2=18，A3+B3+C3=36，求的值。l amanam-n ，a0=1，（注：这里均要求a0）l 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除。12. （1）若3m=6，9n=2，求32m-4n+1的值。（2） l 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。l 多项式相除，可利用竖式计算、也可利用短除法计算、还可利用乘法公式计算13. 已知：x2x3=0，求：x33x2x1的值。14. 已知多项式3x5-2x 4+Ax3+13x2+12x+B能被3x2+4x-2除尽，求A和B。因式分解【内容概述】定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，这几个整式都叫着原多项式的因式；几个整式公有的因式叫做这几个整式的公因式。注意事项：（1）因式分解是多项式的一种恒等变形，不能说与整式乘法互为逆运算。（2）因式分解的结果必须是几个整式的积的形式，而不是几个整式的乘积与某项的和。（3）因式分解的结果必须是每一个因式在有理数范围内不能再分解为止。（4）最终结果相差一个数字因数的，可视为分解结果相同。（5）因式分解是恒等变形，不能随意把多项式改变大小。方法：（1）提公因式法：多项式的各项如果都含有公因式，可以把这个因式提到括号外面。（2）运用公式法：把乘法公式反过来，就可以把某些多项式因式分解。a1 c1a2 c2 十字相乘法 若二次三项式ax2+bx+c中，如果a=a1a2，c=c1c2，b=a1c2+a2c1，则有： ax2+bx+c = (a1x+ c1)(a2x+ c2)，写为十字相乘的形式如右图。形式：交叉乘，横着写。 思路：看两端，凑中间。l 分组分解因式法 原则：分组后可以直接提取公因式或者分组后能够分别运用公式分解再提取公因式关键： 公因式 。有时需要预见通过恒等变形才会展现的公因式技巧：拆项、补项 练习：15 提取公因式&运用公式（1）8amb312am+1b216am+2b （2）(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)(z-x-y)（3）2x3n-18x2n-1yn8xn-1y2n （4）(p4+q4)24p4q416. （1）(x+y)(x-y)4(y-1) （2）a2(a+1)2(a2+a)217. 十字相乘（1）m24m192 （2）(x+y)27(x+y)18（3）63x222x8 （4）12(x+y)211(x+y)(x-y)2(x-y)2（5） （6）2x2(a+3b)x(a2-b2)18. 分组分解（巧拆项、添项）（1）7x2-3y+xy-21x （2）(ax+by)2+(bx-ay)2（3）x4+x3+4x2+3x+3 （4）a4+a2b2+b4（5）(1+y)22x2(1+y2)x4(1-y)2 （6）x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y)因式分解的应用19. ，是三角形的三条边，且则三角形是怎样的三角形?20. 证明：两个连续奇数的平方差能被整除。*21. 求证：如果三个正数的乘积等于1，而且这些数的和大于它们的倒数之和，那么这三个数中恰好有一个数大于1。【Mr. G来点拨】多做一些练习！一些乘法公式要记、练熟练。 课后总结：【Mr. G的应试注意事项】附加材料（两份材料的讲解看一下）别着急直接做，先观察！联想用过的技巧“猜根”法。只要能因式分解，必定有根 有根必定有相应因式作业：1. 解方程组：2. 已知计算(x3+mx+n)(x2-5x+3)的结果不含x3和x2项，求(m+n)mn的值。3. 在括号中填上适当的数或式，使等式成立：（1）；（2）；（3）。4. 已知(-4x+3y)(-3y-4x)减去多项式M的差为-36y2+5xy，求M。5. （1）若xm=4，xn=5，求x3m-n的值。（2）12a4b3c2(-3a2bc2) （3）6. 求(x10-2x9+3x8-4x7+5x6-6x5+7x4-8x3+9x2-10x+11)(x+1)的余数。7. ，求A的值。8.（1）25(m+n+2)216(m-n-2)2 （2）(a-1)2n-12(1-a)2n(a-1)2n+19. （1）(x2+x)217(x2+x)60 （2）10. （1）(a+c)(a-c)+b(b-2a) （2）x4-3x2+1 （3） （4）ax+2by+cx-2ay-bx-2cy11. 已知x,y,z均为大于0的实数，且xy+x+y=yz+y+z=zx+z+x=24，求(x+1) (y+1) (z+1)。因式分解是一元二次方程的一个基础。【参考资料】因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五个的方法”在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适” 然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。 一、“八个注意”事项（一）首项有负常提负例1 把a2b22ab4分解因式。解：a2b22ab4（a22abb24）（ab2）（ab2）这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如a2b2=（a+b）（ab）的错误。（二）各项有公先提公例2因式分解8a42a2解:8a42a2=2a2(4a21)=2a2(2a+1)(2a1)这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误.（三）某项提出莫漏1例3因式分解a3-2a2+a解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。（四）括号里面分到“底”。例4 因式分解x43x24解：x4+3x24（x24）（x21）（x24）（x1）（x1）这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x4+3x24（x24）（x21）而不进一步分解的错误。因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。（五）各式之间必须是连乘积的形式例5分解因式x29+8x=解：x29+8x=x2+8x9=(x1)(x+9)这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x3)+8x。结果从形式上看右式不是乘积形式，显然是错误的。正解应是：原式=x2+8x9=(x1)(x+9)（六）数字因数在前，字母因数在后；例6因式分解 解：=3x(x2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前，字母因数在后”，指分解因式中不能写成=x3(x2-6x+9)= x3(x-3)2（七）单项式在前，多项式在后；例7因式分解解：=xy(x2-y2)=xy(x+y)(x-y) 这里的“单项式在前，多项式在后”，指分解因式中不能把单项式写在后面，即不能写成= (x2-y2) xy = (x+y)(x-y) xy（八）相同因式写成幂的形式；例8因式分解x4y-x2y3解：x4y-x2y3=x2y(x2-y2)=x2y(x+y)(x-y) 这里的“相同因式写成幂的形式”，指分解因式中不能相同的因式写成乘的形式，而应该写成幂的形式，即不能写成x4y-x2y3=x2y(x2-y2)= xxy(x+y)(x-y)；二、课本未拓展的五个的方法 以下五个方法是因式分解中比较难的一些，需要大家熟练掌握因式分解基本方法：（1）提公因式；（2）公式法：平方差公式，完全平方公式及常用公式；（3）十字相乘。只有熟练掌握了以上三种方法，你才能更好的理解这五种拓展方法。（一）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1、因式分解 解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），则=例2、因式分解 解析：根据多项式的特点,把拆成；把拆成则=（二）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例3、因式分解解析：根据多项式的特点,在中添上两项，则=例4、因式分解 解析：根据多项式的特点，将拆成，再添上两项，则=（三）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。例5、因式分解解析：=设，则 于是，原式=例6、因式分解解析：设，则=（四）展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。例7、因式分解 解析：将多项式展开再重新组合，分组分解=例8、因式分解 解析：=（五）巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。例9、因式分解解析：将多项式以为主元，进行整理=例10、因式分解解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以为主元进行整理=知识点睛板块一：因式分解的基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；结果一定是乘积的形式；每一个因式都是整式；相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：没有大括号和中括号；每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；单项式因式写在多项式因式的前面；每个因式第一项系数一般不为负数；形式相同的因式写成幂的形式.板块二：提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.板块三：公式法平方差公式：公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；每一项都可以化成某个数或式的平方形式；右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：左边相当于一个二次三项式；左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式： 板块四：十字相乘法一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a，b，c，使得：，若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解板块五：分