2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试题（PDF版含答案）

页 1 第 数学试题数学试题 理科理科 考试时间 考试时间 120120 分钟分钟 满分 满分 150150 分分 第 卷第 卷 60 60 分分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 已知集合 2 20Ax xx 210Bxx 则AB U A 1 B 1 1 2 C 1 2 2 D 1 2 2 设复数z满足1izz i为虚数单位 z在复平面内对应的点为 x y 则 A yx B yx C 22 111xy D 22 111xy 3 一带一路 是 丝绸之路经济带 和 21 世纪海上丝绸之路 的简称 旨在积极发展我国与沿线 国家经济合作关系 共同打造政治互信 经济融合 文化包容 的命运共同体 自 2013 年以来 一带一路 建设成果显著 右 图是 2013 2017 年 我国对 一带一路 沿线国家进出口情况 统计图 下列描述错误 的是 A 这五年 2013 年出口额最少 B 这五年 出口总额比进口总额多 C 这五年 出口增速前四年逐年下降 D 这五年 2017 年进口增速最快 4 下列不等关系 正确的是 A 234 log 3log 4log 5 B 243 log 3log 5log 4 C 243 log 3log 5log 4 D 234 log 3log 4log 5 5 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 1 3a 47 329aa 则 7 S的值等于 A 21 B 1 C 42 D 0 6 若执行右图的程序框图 则输出i的值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 7 函数 22 cos xx y xx 的图象大致为 页 2 第 8 若函数 sin2f xx 的图象向右平移 11 6 个单位得到的图象对应的函数为 g x 则下列说法正确的是 A g x的图象关于 12 x 对称 B g x在 0 上有 2 个零点 C g x在区间 5 36 上单调递减 D g x在 0 2 上的值域为 3 0 2 9 已知双曲线C 22 22 1 xy ab 00ab 的左右焦点分别为 12 FF 圆 2 F与双曲线C的渐近线相切 M 是圆 2 F与双曲线C的一个交点 若 12 0FM F M uuuu r uuuu u r 则双曲线C的离心率等于 A 5 B 2 C 3 D 2 10 射线测厚技术原理公式为 0 t II e 其中 0 II 分别为射线穿过被测物前后的强度 e是自然对数的 底数 t为被测物厚度 为被测物的密度 是被测物对射线的吸收系数 工业上通常用镅 241 241Am 低 能 射线测量钢板的厚度 若这种射线对钢板的半价层厚度为 0 8 钢的密度为 7 6 则这种射线的吸收系数 为 注 注 半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度 ln20 6931 结果精确到 0 001 A 0 110 B 0 112 C 0 114 D 0 116 11 已知正方体 1111 ABCDABC D 过对角线 1 BD作平面 交棱 1 AA于点 E 交棱 1 CC于点 F 则 平面 分正方体所得两部分的体积相等 四边形 1 BFD E一定是平行四边形 平面 与平面 1 DBB不可能垂直 四边形 1 BFD E的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为 A B C D 12 已知函数 0 1 ln0 x x ex f x xexxx 则函数 F xff xef x 的零点个数为 e是 自然对数的底数 A 6 B 5 C 4 D 3 页 3 第 第 卷第 卷 90 90 分分 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第 1313 题题 第第 2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答题为必考题 每个试题考生都必须作答 第第 2222 题 第题 第 2323 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分分 把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置 13 已知向量a r 1 1 2bm r 且a r 2ab rr 则m的值等于 14 直线l经过抛物线C 2 12yx 的焦点F 且与抛物线C交于A B两点 弦AB的长为 16 则直 线l的倾斜角等于 15 学习强国 是由中宣部主管 以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容 立足全体党员 面向全社会的优质学习平台 该平台设有 阅读文章 视听学习 等多个栏目 假设在这 些栏目中 某时段更新了 2 篇文章和 4 个视频 一位学习者准备学习这 2 篇文章和其中 2 个视频 则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有 种 16 已知三棱锥ABCD 的棱长均为 6 其内有n个小球 球 1 O与三棱锥ABCD 的四个面都相切 球 2 O 与三棱锥ABCD 的三个面和球 1 O都相切 如此类推 球 n O与三棱锥ABCD 的三个面和球 1n O 都相切 2n 且nN 则球 1 O的体积等于 球 n O的表面积等于 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题小题 满分满分 7 70 0 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 17 本小题满分本小题满分 1212 分分 在ABC 中 内角ABC 所对的边分别为abc 若2a coscos2 cos0aCcAbB 1 求B 2 若BC边的中线AM长为5 求ABC 的面积 18 18 本小题满分本小题满分 1212 分分 大湖名城 创新高地 的合肥 历史文化积淀深厚 民俗和人文景观丰富 科教资源众多 自然风 光秀美 成为中小学生 研学游 的理想之地 为了将来更好地推进 研学游 项目 某旅游学校一位实习 生 在某旅行社实习期间 把 研学游 项目分为科技体验游 民俗人文游 自然风光游三种类型 并在 前几年该旅行社接待的全省高一学生 研学游 学校中 随机抽取了 100 所学校 统计如下 研学游类 型 科技体验 游 民俗人文 游 自然风光 游 学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一 研学游 学校中 随机抽取了 3 所学校 并以统计的频率代替 学校选择研学游类型的概率 假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类 且不受其他学校选择结果 的影响 页 4 第 1 若这 3 所学校选择的研学游类型是 科技体验游 和 自然风光游 求这两种类型都有学校选择 的概率 2 设这 3 所学校中选择 科技体验游 学校数为随机变量 X 求 X 的分布列与数学期望 19 19 本小题满分本小题满分 1212 分分 如图 已知三棱柱 111 ABCABC 中 平面 11 AACC 平面ABC 1 AAAC ACBC 1 证明 1 AC 1 AB 2 设2ACCB 1 60A AC o 求二面角 11 CABB 的余弦值 20 20 本小题满分本小题满分 1212 分分 设椭圆 C 22 22 1 xy ab 0ab 的左右顶点为 12 AA 上下顶点为 12 BB 菱形 1122 AB A B的内切圆 C 的 半径为2 椭圆的离心率为 2 2 1 求椭圆C的方程 2 设MN 是椭圆上关于原点对称的两点 椭圆上一点P满足PMPN 试判断直线PMPN 与圆 C 的位置关系 并证明你的结论 21 21 本小题满分本小题满分 1212 分分 已知函数 2 1 x x f x e e为自然对数的底数 1 求函数 f x的零点 0 x 以及曲线 yf x 在 0 xx 处的切线方程 2 设方程 f xm 0m 有两个实数根 1 x 2 x 求证 12 1 21 2 xxm e 请考生在第请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的第一个题注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的第一个题 目计分目计分 作答时 请用 作答时 请用 2B2B 铅笔在答题卡上 将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上 将所选题号对应的方框涂黑 22 22 本小题满分本小题满分 1010 分分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 2 3 2 2 1 2 xt yt t为参数 在以坐标原点为极点 x轴正半轴 A C B B1 C1 A1 页 5 第 为极轴的极坐标系中 曲线C的方程为4cos6sin 1 求曲线C的直角坐标方程 2 设曲线C与直线l交于点MN 点A的坐标为 3 1 求AMAN 23 23 本小题满分本小题满分 1010 分分 选修选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 已知函数 2f xxmx mR 不等式 20f x 的解集为 4 1 求m的值 2 若0a 0b 3c 且22abcm 求 113abc 的最大值 页 6 第 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分分 共 共 2 20 0 分分 13 2 14 3 或 2 3 15 72 16 6 1 6 4n 第一空 2 分 第二空 3 分 三 解答题 大题共三 解答题 大题共 6 6 小题 满分小题 满分 7070 分分 17 17 本小题满分本小题满分 1212 分分 解 1 在ABC 中 sinsinsin abc ABC 且coscos2 cos0aCcAbB sincossincos2sincos0ACCABB sin12cos0BB 又 sin0B 2 cos 2 B B是三角形的内角 3 4 B 5 分 2 在ABM 中 3 15 4 BMAMBABc 由余弦定理得 2 22 2cosAMcBMc BMB 2 240cc 0c 2c 在ABC 中 2a 2c 3 4 B ABC 的面积 1 sin1 2 SacB 12 分 18 18 本小题满分本小题满分 1212 分分 1 依题意 学校选择 科技体验游 的概率为 2 5 选择 自然风光游 的概率为 1 5 若这 3 所学校选择研学游类型为 科技体验游 和 自然风光游 则这两种类型都有学校选择的概 率为 22 22 33 211218 5555125 PCC 5 分 2 X可能取值为 0 1 2 3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 页 7 第 则 3 0 3 327 0 5125 P XC 2 1 3 2354 1 55125 P XC 2 2 3 2336 2 55125 P XC 3 3 3 28 3 5125 P XC X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 27543686 0123 1251251251255 EX 12 分 或解 随机变量X服从 2 3 5 XB 26 3 55 EXnp 12 分 19 19 本小题满分本小题满分 1212 分分 1 连结 1 AC 1 AAAC 四边形 11 AACC为菱形 11 ACAC 平面 11 AACC 平面ABC 平面 11 AACCI平面 ABCAC BC 平面ABC BC AC BC 平面 11 AACC 又 11 BCBC 11 BC 平面 11 AACC 111 BCAC 1111 ACBCC I 1 AC 平面 11 ABC 而 1 AB 平面 11 ABC 1 AC 1 AB 5 分 2 取 11 AC的中点为M 连结CM 1 AAAC 四边形 11 AACC为菱形 1 60A AC o 11 CMAC CMAC 又 CMBC 以C为原点 CACBCM 为正方向建立空间直角坐标系 如图 设1CB 22ACCB 1 AAAC 1 60A AC o C 0 0 0 1 A 1 0 3 A 2 0 0 B 0 1 0 1 B 1 1 3 由 1 知 平面 11 C AB的一个法向量为 1 1 03CA uuu v 设平面 1 ABB的法向量为 nxyz v 则 1 nAB nAB vuuu v vuuu u v 1 0 0 n AB n AB v uuu v v uuu u v 2 1 0AB uuu v 1 3 1 3AB uu v 20 330 xy xyz 页 8 第 令1x 得 1 2 3 yz 即 1 1 2 3 n v 1 1 1 23 cos 416 2 3 CA n CA n CAn uuu v v uuu v v uuu vv 二面角 11 CABB 的余弦值为 3 4 12 分 20 20 本小题满分本小题满分 1212 分分 1 设椭圆的半焦距为c 由椭圆的离心率为 2 2 知 2bcab 设圆 C 的半径为r 则 22 rabab 2 232bb 解得3b 6a 椭圆C的方程为 22 1 63 xy 5分 2 MN 关于原点对称 PMPN OPMN 设 11 M xy 22 P xy 当直线PM的斜率存在时 设直线PM的方程为ykxm 由直线和椭圆方程联立得 2 2 26xkxm 即 222 1 24260kxkmxm 12 2 2 12 2 4 21 26 21 km xx k m x x k 11 OMxy uuuu v 22 OPxy uuu v 12121212 OM OPx xy yx xkxmkxm uuuu v uuu v 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22 2 322 0 21 mk k 22 220mk 22 22mk 圆 C 的圆心 O 到直线PM的距离为 2 2 1 m r k 直线PM与圆 C 相切 当直线PM的斜率不存在时 依题意得 11 Nxy 11 P xy 由PMPN 得 11 22xy 22 11 xy 结合 22 11 1 63 xy 得 2 1 2x 直线PM到原点 O 的距离都是2 直线PM与圆 C 也相切 同理可得 直线PN与圆 C 也相切 直线PM PN与圆 C 相切 12 分 页 9 第 21 21 本小题满分本小题满分 1212 分分 1 由 2 1 0 x x f x e 得1x 函数的零点 0 1x 2 21 x xx fx e 12fe 10f 曲线 yf x 在1x 处的切线方程为 21ye x 2 1f e 10f 曲线 yf x 在1x 处的切线方程为 2 1yx e 5 分 2 2 21 x xx fx e 当 1212 x U 时 0fx 当 12 12x 时 0fx f x的单调递增区间为 12 12 单调递减区间为 12 12 由 1 知 当1x 或1x 时 0f x 当11x 时 0f x 下面证明 当 1 1x 时 21e xf x 当 1 1x 时 2 1 11 212100 2 x x xx e xf xe xe e 易知 1 1 2 x x g xe 在 1 1x 上单调递增 而 10g 10g xg 对 1 1x 恒成立 当 1 1x 时 21e xf x 由 21ye x ym 得1 2 m x e 记 1 1 2 m x e 不妨设 12 xx 则 12 1121xx 1212212 1 2 m