第一中学2019-2020学年高二上学期寒假作业数学（理科）试题三—附答案

试卷第 1页 总 4页 高高二二年年级级数数学学假假期期作作业业 3 命命题题 审审题题 一一 单单选选题题 1 若双曲线的左 右焦点分别为 点 在双曲线 上 且 则 等于 A 11B 9C 5D 3 2 点 3 2 1A关于xOy平面的对称点为 A 3 2 1 B 3 2 1 C 3 2 1 D 3 2 1 3 已知直线l经过点 2 5 P 且斜率为 3 4 则直线l的方程为 A 34140 xy B 34140 xy C 43140 xy D 43140 xy 4 已知椭圆 22 2 1 25 xy m 0m 的左焦点为 1 F4 0 则m A 9B 4 C 3D 2 5 若 1 tan 3 则 cos2 A 4 5 B 1 5 C 1 5 D 4 5 6 已知抛物线的准线经过点 则抛物线焦点坐标为 A B C D 7 正三棱柱 111 ABCABC 的底面边长为2 侧棱长为 3 D为BC中点 则三棱锥 11 AB DC 的体积为 A 3B 3 2 试卷第 2页 总 4页 B C 1D 3 2 8 直线34xyb 与圆 22 2210 xyxy 相切 则b A 2 或 12B 2 或 12C 2 或 12D 2 或 12 9 已知双曲线 22 2 1 4 xy b b 0 以原点为圆心 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲 线的两条渐近线相交于 A B C D 四点 四边形 ABCD 的面积为 2b 则双曲线的方程为 A 22 3 1 44 xy B 22 4 1 43 xy C 22 1 44 xy D 22 1 412 xy 10 曲线 2 14yx 与直线 24yk x 有两个不同交点 实数k的取值范围是 A 3 4 k B 35 412 k C 5 12 k D 53 124 k 11 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的焦距为2 3 椭圆 C 与圆 22 3 16xy 交 于 M N 两点 且4MN 则椭圆 C 的方程为 A 22 1 1512 xy B 22 1 129 xy C 22 1 63 xy D 22 1 96 xy 12 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8Cyx 相交于A B两点 F为C的焦 点 若2FAFB 则点B到抛物线的准线的距离为 A 6B 5 C 4D 3 二 填空题二 填空题 试卷第 3页 总 4页 13 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E为棱 1 CC的中点 则异面直线AE与CD所成角的 正切值为 14 已知数列 n a是递增的等比数列 1423 9 8aaa a 则数列 n a的前n项和等 于 15 过点 1 1 M作斜率为 1 2 的直线与椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 相交于 A B 若M 是线段AB的中点 则椭圆C的离心率为 16 如图 已知双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的左右焦点分别为 12 F F 12 4FF P 是双曲线右支上一点 直线 2 PF交y轴于点A 1 APF 的内切圆切边 1 PF与点Q 若 1PQ 则双曲线的离心率为 三 解答题三 解答题 17 记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 已知 a1 7 S3 15 1 求 an 的通项公式 2 求 Sn 并求 Sn的最小值 18 在ABC 中 60A 3 7 ca 1求sinC的值 2若7a 求ABC 的面积 试卷第 4页 总 4页 19 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 经过点 其中一条 近线的方程为 椭圆 与双曲线有相同的焦点 椭圆的左 焦点 左顶点和上顶点分别为 F A B 且点 F 到直线 AB 的距离为 求双曲线的方程 求椭圆的方程 20 已知点 3 1M 及圆 22 124xy 1 求过M点的圆的切线方程 2 若过M点的直线与圆相交 截得的弦长为2 3 求直线的方程 21 设抛物线 2 4C yx 的焦点为F 过F且斜率为 0k k 的直线l与C交于A B两 点 8AB 1 求l的方程 2 求过点A B且与C的准线相切的圆的方程 22 已知椭圆的长轴长为 4 焦距为 求椭圆 的方程 过动点的直线交 轴与点 交 于点 在第一象限 且是线段 的中点 过点 作 轴的垂线交 于另一点 延长交 于点 设直线的斜率分别为 证明 为定值 求直线的斜率的最小值 试卷第 1页 总 4页 高高二二年年级级数数学学假假期期作作业业 3 命命题题 审审题题 一一 单单选选题题 1 若双曲线的左 右焦点分别为F1 F2 点 P 在双曲线 E 上 且 PF1 3 则 PF2 等于 A 11B 9C 5D 3 2 点 3 2 1A关于xOy平面的对称点为 A 3 2 1 B 3 2 1 C 3 2 1 D 3 2 1 3 已知直线l经过点 2 5 P 且斜率为 3 4 则直线l的方程为 A 34140 xy B 34140 xy C 43140 xy D 43140 xy 4 已知椭圆 22 2 1 25 xy m 0m 的左焦点为 1 F4 0 则m A 9B 4 C 3D 2 5 若 1 tan 3 则 cos2 A 4 5 B 1 5 C 1 5 D 4 5 6 已知抛物线y2 2px p 0 的准线经过点 1 1 则抛物线焦点坐标为 A 1 0 B 1 0 C 0 1 D 0 1 7 正三棱柱 111 ABCABC 的底面边长为2 侧棱长为 3 D为BC中点 则三棱锥 11 AB DC 的体积为 A 3B 3 2 B C 1D 3 2 8 直线34xyb 与圆 22 2210 xyxy 相切 则b A 2 或 12B 2 或 12C 2 或 12D 2 或 12 试卷第 2页 总 4页 9 已知双曲线 22 2 1 4 xy b b 0 以原点为圆心 双曲线的实半轴长为半径长的圆与 双曲线的两条渐近线相交于 A B C D 四点 四边形 ABCD 的面积为 2b 则双曲线 的方程为 A 22 3 1 44 xy B 22 4 1 43 xy C 22 1 44 xy D 22 1 412 xy 10 曲线 2 14yx 与直线 24yk x 有两个不同交点 实数k的取值范围 是 A 3 4 k B 35 412 k C 5 12 k D 53 124 k 11 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的焦距为2 3 椭圆 C 与圆 22 3 16xy 交于 M N 两点 且 4MN 则椭圆 C 的方程为 A 22 1 1512 xy B 22 1 129 xy C 22 1 63 xy D 22 1 96 xy 12 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8Cyx 相交于A B两点 F为C的 焦点 若2FAFB 则点B到抛物线的准线的距离为 A 6B 5 C 4D 3 二 填空题二 填空题 13 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E为棱 1 CC的中点 则异面直线AE与CD所成 角的正切值为 14 已知数列 n a是递增的等比数列 1423 9 8aaa a 则数列 n a的前n项和 等于 试卷第 3页 总 4页 15 过点 1 1 M作斜率为 1 2 的直线与椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 相交于 A B 若M是线段AB的中点 则椭圆C的离心率为 16 如图 已知双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的左右焦点分别为 12 F F 12 4FF P是双曲线右支上一点 直线 2 PF交y轴于点A 1 APF 的内切圆切边 1 PF与点Q 若1PQ 则双曲线的离心率为 三 解答题三 解答题 17 记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 已知 a1 7 S3 15 1 求 an 的通项公式 2 求 Sn 并求 Sn的最小值 18 在ABC 中 60A 3 7 ca 1求sinC的值 2若7a 求ABC 的面积 19 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线C1 x 2 m2 y2 n2 1 m 0 n 0 经过点 3 0 其中 一条近线的方程为 y 3 3 x 椭圆C2 x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 与双曲线C1有相同的焦点 椭 圆C2的左焦点 左顶点和上顶点分别为 F A B 且点 F 到直线 AB 的距离为 b 7 1 求双曲线C1的方程 2 求椭圆C2的方程 试卷第 4页 总 4页 20 已知点 3 1M 及圆 22 124xy 1 求过M点的圆的切线方程 2 若过M点的直线与圆相交 截得的弦长为2 3 求直线的方程 21 设抛物线 2 4C yx 的焦点为F 过F且斜率为 0k k 的直线l与C交于A B两点 8AB 1 求l的方程 2 求过点A B且与C的准线相切的圆的方程 22 已知椭圆 C x2 a2 y2 b2 1 a b 0 的长轴长为 4 焦距为 2 2 求椭圆 C 的方程 过动点 M 0 m m 0 的直线交 x 轴与点 N 交 C 于点 A P P 在第一象限 且 M 是线段 PN 的中点 过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q 延长 QM 交 C 于点 B 设直线 PM QM 的斜率分别为k1 k2 证明k2 k1为定值 求直线 AB 的斜率的最小值 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 1页 总 14页 参考答案参考答案 1 B 解析 由双曲线定义得 PF1 PF2 2a 6 即 3 PF2 6 解得 PF2 9 故选 B 考点 双曲线的标准方程和定义 2 D 解析 分析 根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果 详解 由对称关系可知 点 3 2 1A关于xOy平面对称的点为 3 2 1 A 故选 D 点睛 本题考查空间直角坐标系中点的对称问题 需明确点 a b c关于xOy平面对称点的坐标为 a bc 属于基础题 3 A 解析 直线l经过点 2 5P 且斜率为 3 4 则 3 52 4 yx 即34140 xy 故选 A 4 C 解析 试题分析 根据焦点坐标可知焦点在轴 所以 又因为 解得 故选 C 考点 椭圆的基本性质 5 D 解析 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 2页 总 14页 分析 由 222 222 1tan cos2 1tan cossin cossin 直接代入计算即可 详解 因为 1 3 tan 所以 222 222 1 1 1tan4 9 cos2 1 1tan5 1 9 cossin cossin 故选 D 点睛 本题考查三角函数的化简求值 考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用 是基础 题 6 B 解析 由抛物线y2 2px p 0 得准线 x p 2 因为准线经过点 1 1 所以 p 2 所以抛物线焦点坐标为 1 0 故答案选 B 考点 抛物线方程和性质 7 C 解析 试题分析 如下图所示 连接AD 因为ABC 是正三角形 且D为BC中点 则ADBC 又因为 1 BB 面ABC 故 1 BBAD 且 1 BBBCB 所以AD 面 11 BCC B 所以AD 是三棱锥 11 AB DC 的高 所以 1111 11 331 33 A B DCB DC VSAD 考点 1 直线和平面垂直的判断和性质 2 三棱锥体积 8 D 解析 直线与圆心为 1 1 半径为 1 的圆相切 1或 12 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 3页 总 14页 故选 D 考点 本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径 直线与圆的位置关系 以及点到 直线的距离公式的应用 9 D 解析 试题分析 根据对称性 不妨设 A x y在第一象限 则 2 2 16 12 4 22 bb xyb b 故双曲线的方程为 22 1 412 xy 故选 D 考点 双曲线的渐近线 名师点睛 求双曲线的标准方程时注意 1 确定双曲线的标准方程也需要一个 定位 条件 两个 定量 条件 定位 是指确定焦 点在哪条坐标轴上 定量 是指确定 a b 的值 常用待定系数法 2 利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式 以避免讨论 若双曲线的焦点不能确定时 可设其方程为 Ax2 By2 1 AB 0 若已知渐近线方程为 mx ny 0 则双曲线方程可设为 m2x2 n2y2 0 10 D 解析 分析 由曲线方程可知曲线为以 0 1为圆心 2为半径的圆的1y 的部分 又直线恒过 2 4A 由数形结合可确定临界状态 分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时 k的取值 进而得到结果 详解 2 14yx 可化为 2 2 141xyy 曲线 2 14yx 表示以 0 1为圆心 2为半径的圆的1y 的部分 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 4页 总 14页 又直线 24yk x 恒过定点 2 4A 可得图象如下图所示 当直线 24yk x 为圆的切线时 可得 2 32 2 1 k d k 解得 5 12 k 当直线 24yk x 过点 2 1B 时 4 13 224 k 由图象可知 当 24yk x 与曲线有两个不同交点时 53 124 k 故选 D 点睛 本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题 关键是能够明确曲线所表示的图形 和直线恒过的定点 利用数形结合的方式得到临界状态 进而利用直线与圆的知识来进行求 解 11 D 解析 分析 先画出草图 通过计算 便可得到 MN 的中点即为椭圆的另一个焦点 再利用椭圆的几何性 质 即可求出 详解 解 如图所示 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 5页 总 14页 2 4MDMC 22 422 3CD 点D就是椭圆的另一个焦点 26aMCMD 即3a 又 3c 222 6bac 椭圆的标准方程为 22 1 96 xy 故选 D 点睛 本题考查求椭圆的标准方程和作图能力 充分利用题目所给条件 挖掘基本量 a b c的关系 即可求解 12 D 解析 分析 根据直线方程可知直线恒过定点 2 0P 设抛物线 2 8Cyx 的准线为 2l x 如图 过A B分别作AMl 于M BNl 于N 根据2FAFB 推断出2AMBN 所以点B为AP的中点 连接OB 可知 1 2 OBAF 即OBBF 进而求得点B的 横坐标 即可求得点B到抛物线的准线的距离 详解 设抛物线 2 8Cyx 的准线为 2l x 直线 2yk x 恒过定点 2 0P 如图过A B分别作AMl 于M BNl 于N 由2FAFB 则2AMBN 所以点B为AP的中点 连接OB 则 1 2 OBAF 所以OBBF 点B的横坐标为1 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 6页 总 14页 故点B到抛物线的准线的距离为 123 2 B p x 故选 D 点睛 本题考查了抛物线的标准方程及其性质 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 13 5 2 解析 分析 直接利用异面直线所成的角的求法及解三角形的知识即可求出结果 详解 如图所示 在正方体体 1111 ABCDABC D 中 连接BE 所以异面直线AE与CD所成角 即为直线AE和AB所成的角或其补角 设正方体的棱长为2 由于AB 平面BCE 所以ABE 为直角三角形 所以 22 215BE 所以 5 2 BE tan BAE AB 故答案为 5 2 点睛 本题主要考查异面直线所成的角的求法 涉及转化思想及运算求解能力 属于基础题型 14 2 1 n 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 7页 总 14页 解析 详解 由题意 14 2314 9 8 aa aaa a 解得 14 1 8aa 或者 14 8 1aa 而数列 n a是递增的等比数列 所以 14 1 8aa 即 3 4 1 8 a q a 所以2q 因而数列 n a的前n项和 1 1 1 2 21 11 2 nn n n aq S q 故答案为2 1 n 考点 1 等比数列的性质 2 等比数列的前n项和公式 15 2 2 解析 试题分析 设 A 11 x y B 22 x y 则 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab M 是线段 AB 的中点 1212 1 1 22 xxyy 直线 AB 的方程是 1 11 2 yx 1212 1 2 yyxx 过点 M 1 1 作斜率为 1 2 的直线与椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 相交于 A B 两点 M 是线段 AB 的中点 两式相减可得 2222 1212 22 0 xxyy ab 即 22 212 02 2 abcb ab 2 2 c e a 考点 椭圆的简单性质 16 2 解析 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 8页 总 14页 设内切圆与 AP 切于点 M 与 AF1 切于点 N PF1 m QF1 n 由双曲线的定义可得 PF1 PF2 2a 即有 m n 1 2a 由切线的性质可得 AM AN NF1 QF1 n MP PQ 1 MF2 NF1 n 即有 m 1 n 由 解得 a 1 由 F1F2 4 则 c 2 由双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为e2 c a 点睛 利用的是图中的几何关系 即数形结合的思想研究数量关系 运算量较小 但是寻找 几何关系应该属于难点 解析中常见的几何关系有 中位线定理 直角三角形的勾股定理 斜边中线长为斜边的一半 直角顶点在以斜边为直径的圆上 解三角形的正余弦定理 直线 与圆相切时的切线长相等 直线与圆相交的垂径定理等 17 1 an 2n 9 2 Sn n2 8n n 4 2 16 最小值为 16 解析 分析 1 由等差数列通项公式可得 29 n an 2 由等差数列前n项和公式可得 2 729 8 2 n nn Snn 再结合二次函数求最值 即可 详解 解 1 设 n a的公差为 d 由题意得 1 315 ad 由 1 7a 得2d 所以 n a的通项公式为29 n an 2 由 1 得 22 729 8 4 16 2 n nn Snnn 所以当4n 时 n S取得最小值 最小值为 16 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 9页 总 14页 点睛 本题考查了等差数列通项公式及前n项和 属基础题 18 1 3 3 14 2 6 3 解析 分析 1由 3 7 ca 根据正弦定理可得 3 sinsin 7 CA 从而可求出答案 2根据同角的三角 函数的关系求出cosC 再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sinB 利用三角形面积公 式计算即可 详解 1 60A 3 7 ca 由正弦定理可得 3333 3 sinsin 77214 CA 2 若7a 则3c CA 22 sincos1CC 又由 1可得 13 cos 14 C 31313 34 3 sinsinsin coscos sin 2142147 BACACAC 114 3 sin7 36 3 227 ABC SacB 点睛 本题考查了正弦定理 两角和的正弦公式以及三角形的面积公式 属于基础题 正弦定理是 解三角形的有力工具 其常见用法有以下三种 1 知道两边和一边的对角 求另一边的对 角 一定要注意讨论钝角与锐角 2 知道两角与一个角的对边 求另一个角的对边 3 证明化简过程中边角互化 4 求三角形外接圆半径 19 1 x 2 3 y2 1 2 x 2 16 y2 12 1 解析 分析 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 10页 总 14页 1 由双曲线经过点 3 0 可得 m 再由渐近线方程可得 m n 的方程 求得 n 即可得到 所求双曲线的方程 2 由椭圆的 a b c 的关系式 求得 F A B 的坐标 可得直线 AB 的方程 由点到直线 的距离公式 可得 a b 的关系式 解方程可得 a b 进而得到所求椭圆方程 详解 解 1 双曲线C1 x 2 m2 y2 n2 1 m 0 n 0 经过点 3 0 可得m2 3 其中一条近线的方程为 y 3 3 x 可得n m 3 3 解得 m 3 n 1 即有双曲线C1的方程为x 2 3 y2 1 2 椭圆C2 x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 与双曲线C1有相同的焦点 可得a2 b2 4 椭圆C2的左焦点 左顶点和上顶点分别为 F 2 0 A a 0 B 0 b 由点 F 到直线 AB bx ay ab 0 的距离为 b 7 可得 2b ab b2 a2 b 7 化为a 2 b2 7 a 2 2 由 解得 a 4 b 2 3 则椭圆C2的方程为x 2 16 y2 12 1 点睛 本题考查椭圆和双曲线的方程的求法 注意运用方程思想 考查运算能力 属于基础题 20 1 3450 xy 或3x 2 1y 或43150 xy 解析 分析 1 当直线斜率不存在时可知与圆相切 满足题意 当直线斜率存在时 设直线方程为 310kxyk 利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k 从而得到所求切线方 程 2 由 1 知直线斜率必存在 设直线方程为 310kxyk 根据垂径定理可知圆心 到直线距离1d 从而构造出方程求得k 进而得到所求直线方程 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 11页 总 14页 详解 1 当直线斜率不存在时 方程为 3x 与圆相切 当直线斜率存在时 设方程为 13yk x 即 310kxyk 圆心到直线距离 2 21 2 1 k d k 解得 3 4 k 切线方程为 35 0 44 xy 即3450 xy 综上所述 过M的切线方程为 3450 xy 或3x 2 由 1 知 过M直线与圆相交 则直线斜率必存在 设直线方程为 13yk x 即 310kxyk 圆心到直线距离 2 21 1 k d k 又相交弦长为2 3 圆半径为2 则 2 2 32 4d 即 2 21 1 1 k d k 解得 0k 或 4 3 所求直线方程为 1y 或43150 xy 点睛 本题考查圆的切线方程的求解 根据直线与圆相交所得弦长求解直线方程的问题 关键是能 够熟练应用圆心到直线的距离构造方程求得结果 属于常考题型 21 1 1yx 2 22 3216xy 或 22 116144xy 解析 分析 1 设出直线AB为 1yk x 代入抛物线方程 根据抛物线的焦点弦公式即可求 得k的值及直线l的方程 2 设圆心坐标为 00 xy 根据抛物线的定义得圆的半径 根据中点坐标公式及圆的弦 长公式等 先求出圆心的坐标 最后得圆的方程 详解 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 12页 总 14页 1 抛物线 2 4C yx 的焦点为 1 0F 设直线AB的方程为 1yk x 设 11 A x y 22 B xy 则 2 1 4 yk x yx 整理得 2222 220k xkxk 则 2 12 2 22k xx k 12 1 x x 由 2 12 2 22 28 k ABxxp k 解得 2 1k 即1k 所以直线l的方程为 1yx 2 由 1 可得AB的中点坐标为 3 2D 则直线AB的垂直平分线方程为 23yx 即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 xy 则 00 2 2 00 0 5 1 1 16 2 yx yx x 解得 0 0 3 2 x y 或 0 0 11 6 x y 因此 所求圆的方程为 22 3216xy 或 22 116144xy 点睛 本题主要考查抛物线的定义 直线与抛物线的位置关系 抛物线的焦点弦公式及圆的标准方 程的求法 对运算能力要求较高 属于中档题 22 x 2 4 y2 2 1 见解析 直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 解析 试题分析 分别计算 a b 即得 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 13页 总 14页 设 P x0 y0 x0 0 y0