2011级高等数学 二 期中解答与评分标准.doc

1 20112011 级高等数学 二 期中试题解答及评分标准级高等数学 二 期中试题解答及评分标准 本科 多学时 一 选择题 本大题 5 个小题 每小题 3 分 共 15 分 1 1 曲面在点处的切平面方程为 B 3 z ezxy 2 1 0 240 xy 240 xy 240 xyz 250 xyz 2 2 设 若 则 2 1 D Ixyd 3 2 D Ixy d 22 2 1 1Dxy B 不确定 12 II 12 II 12 II 3 3 设函数的全微分为 则点 D yxfz ydyxdxdz 0 0 不是的连续点 不是的极值点 yxf yxf 是的极大值点 是的极小值点 yxf yxf 4 4 微分方程的特解可令为 C 4 3sin x yyex y sin x AeBx cossin x AeBxCx cossin x x AeBxCx cossin x AxeBxCx 5 5 已知的一个特解为 又对应的齐次方程有一个特解 xyxy4 2 x0 yxyln x 则原方程的通解 A y 2 21ln xCxC 2 21ln xxCxC 2 21ln xeCxC x 2 21ln xeCxC x 二 填空题 本大题 5 个小题 每小题 3 分 共 15 分 6 6 函数的连续域为 22 arcsin2zxy 22 23x yxy 7 7 极限 2 0 1 1 cos lim x y xy x 1 2 8 8 已知 且 则 2 2 ba 2ab a b 2 9 9 交换积分次序 2 1 0 x x dxf x y dy 1 0 y y dyf x y dx 1010 已知平面 曲面上点处的法线与平面垂直 则 210 xyz zxy P 点的坐标为 P 1 2 2 三 试解下列各题 本大题 6 个小题 每小题 7 分 共 42 分 2 1111 设 求 y x xyxfln 1 1 1 1 ff xy 解 5 分 xy y x x x f11 1 1 yyy x y x x y f 22 11 7 分 2 11 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 yyy f xx f 1212 设由方程所确定 求 yxfz 0 yxz eyxzdz 解 利用微分形式不变性 在所给方程两端取微分 则有0 yxz eyxz 4 分 0 z x y dzdxdyedzdxdy 即 1 1 1 z x yz x yz x y edzedxedy 当时 有0 zyx 7 分 dydxdz 1313 设 其中二阶可导 有连续的二阶偏导数 yxygyxfz f vug 求 yx z 2 解 3 分 2 z fg x 7 分 2 21222122 1 z fggfgg x y 或写为 2 21221222 1 z fggfgg x y 1414 求微分方程的通解 0yyy 解 特征方程为 2 分 2 10rr 特征根为 4 分 13 2 i r 则方程的通解为 7 分 1 2 12 33 cossin 22 x yeCxCx 1515 计算 其中由 所围成 D xdxdy D1xy yx 2x 解 4 分 2 1 1 x x D xdxdydxxdy 7 分 2 3 3 1616 计算 其中由 所成区域 22 D x y dxdy D 2 12yx 10 y 解 其中 11 222222 DD DD x y dxdyx y dxdyx y dxdy 2 1 0 1 0Dyxx 2 分 5 分 211 225 2 0000 sincosx dxy dydrdr 7 分 29 36 四 试解下列各题 本大题 2 个小题 每小题 8 分 共 16 分 1717 设是微分方程的一个解 求此方程满足条件的 x ye xyP x yx ln2 0 x y 特解 解 将代入微分方程 x ey xexPxe xx 得 2 分 xxexP x 微分方程成为 1 1 yey x 再求相应齐次方程的通解为 4 分 x ex CeY 故原方程通解 6 分 x exx Ceey 将代入得 ln2 0y 1 2 Ce 所以 为所求 8 分 1 2 x x e x yee 1818 在平面上求一点 使它与两个定点的距离平方和1xyz 1 0 1 2 0 1 PQ 最小 并求出最小值 解 设所求点为 则距离的平方和 为 M x y z 22 MPMQ 2 分 222 22 12221dxxyz 令 4 分 222 2 12221 1 F x y zxxyzxyz 解 2 1 2 2 0 40 4 1 0 1 x Fxx Fyy Fzz xyz 得驻点 6 分 1 1 1 2 2 4 由问题的实际意义 且驻点唯一 则最小值一定存在 故所求的点为 且最小值为 8 分 1 1 1 2 2 M 2 min2d 五 证明题 本大题 2 个小题 每小题 6 分 共 12 分 1919 试证 曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线 式中连续 zyfxz f 可导 证明 曲面在任一点处的切平面的法向量为 zyxM 3 分 1 1nff 定直线的方向向量若为 则L 1 1 1s 即0 snsn 则曲面上任一点的切平面平行于以为方向的定直线 6 分 1 1 1s 2020 试证 在点 0 0 处连续 偏导数存在 但是不可微分 xyz 证明 因为 故0 2 0 22 yx xy 0lim 0 0 xy yx 而 因此函数连续性得证 2 分 0 0 0 f 0 00 lim 0 0 0 lim 0 0 00 x x x fxf f xx x 类似地 有 可见两偏导数在 0 0 处都存在 4