2011四川数学理科分析 精.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学（理科）试卷总分 150 试卷时间 120第卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5,15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5,23.5) 9 23.5,27.5) 1827.5,31.5) 11 31.5,35.5) 12 35.5,39.5) 7 39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在31.5,43.5)的概率约是( )A.B.C.D.解析】数据落在31.5,43.5)上的频数为12+7+322，样本容量为66，则落在该区间的概率约是，故选B.【错因分析】概念理解不清是本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查样本的频率分布，弄清数据的分组及各组频数的含义是解决本题的关键，属容易题.2.复数-i+( )A.-2iB.iC.0D.2iA【解析】-i+-i+-i-i-2i，故选A.【错因分析】基础知识掌握不牢或运算失误是导致该题失分的主要原因.【评析】本题主要考查复数的运算，属容易题.3.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A.l1l2，l2l3l1l3B.l1l2，l2l3l1l3C.l1l2l3l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面B【解析】A项，l1与l3还可能相交或成异面直线，故A错.B项，l2l3，l2、l3与l1成的角相等.又l1l2，l1l3，故B项正确.由三棱柱和三棱锥可知选项C、D错误.故选B.【错因分析】考虑空间的线面关系不全面，易错选C.评析】本题主要考查空间直线、线面的位置关系、数学符号语言，属容易题.4.如图，正六边形ABCDEF中，+( )A.0 B.C.D.D【解析】+.故选D.【错因分析】不能灵活地进行向量的基本运算.【评析】本题主要考查向量相等的概念及三角形法则等基本运算，利用进行转化是解题关键.5.函数f(x)在点xx0处有定义是f(x)在点xx0处连续的( )A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件B【解析】函数f(x)在xx0处有定义但不一定在xx0处连续，例如在x0处有定义但在x0处不连续，由函数连续的定义知f(x)在xx0处连续则必须f(x)在xx0处有定义，所以f(x)在xx0处有定义是f(x)在xx0处连续的必要而不充分条件，故选B.【错因分析】概念理解不清或考虑不全是造成失分的主要原因.【评析】本题主要考查函数连续性的概念，理解基本概念是解题关键，属容易题.6.在ABC中，sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C，则A的取值范围是( )A.B.C.D.C 【解析】由正弦定理得a2b2+c2-bc，则b2+c2-a2bc，cos A，又0A0时， f(x)x+1，则f(x)的反函数的图象大致是( )A.AB.BC.CD.DA【解析】解法一：令x0, f(-x)-x+12x+1，又f(-x)-f(x)，f(x)-(2x+1)(x0,1y2，所以反函数满足1x0，故选A.【错因分析】误区一：不能正确求出f-1(x)的解析式而造成失分.误区二：在画图象时，平移方向出错.析】本题主要考查反函数的概念及函数的图象，考查学生借助函数图象的直观性分析问题、解决问题的能力，属中等难度.8.数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan+1-an(nN*).若b3-2, b1012，则a8( )A.0B.3C.8D.11B【解析】bn为等差数列，公差d2，bnb3+2(n-3)2n-8，则an+1-an2n-8，所以a8a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a8-a7)3+(-6)+(-4)+63+3.故选B.【错因分析】误区一：bn是等差数列，由b3，b10即可求出bn的通项公式，由于学生对概念理解不透，不能求出bn的通项公式是思路受阻的一个原因.误区二：由an+1-an2n-8，不能熟练运用叠加法求a8是学生失分的又一个原因.【评析】本题主要考查等差数列的通项公式及叠加法求值.考查学生分析问题、解决问题的能力，属中等难度.9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z( )A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元C【解析】设派甲型卡车x辆、乙型卡车y辆，可得最大利润z450x+350y.由题意得画出可行域如图(阴影部分).当直线450x+350y-z0过点A(7,5)时，可得最大利润z4507+35054 900(元).故选C.错因分析】没有正确写出线性约束条件.【评析】本题主要考查简单的线性规划.正确得到线性约束条件和可行域是得分关键，属偏难题.10.在抛物线yx2+ax-5(a0)上取横坐标为x1-4，x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y236相切，则抛物线顶点的坐标为( )A.(-2，-9)B.(0，-5)C.(2，-9)D.(1，-6)A【解析】设A(-4,11-4a)，B(2,2a-1)，则直线AB的斜率k.设切线方程为y(a-2)x+b，由得x2+2x-(b+5)0.由判别式4b+240得b-6，从而切线方程为(a-2)x-y-60.由题意得解得a4或a0(舍去)，则抛物线的方程为yx2+4x-5，抛物线的顶点坐标为(-2，-9).故选A.【错因分析】不能正确处理抛物线和圆的切线问题.【评析】本题主要考查直线与圆、抛物线的位置关系.正确处理切线问题是解题关键.11.已知定义在0，+)上的函数f(x)满足f(x)3f(x+2)，当x0,2)时， f(x)-x2+2x.设f(x)在2n-2,2n)上的最大值为an(nN*)，且an的前n项和为Sn，则( )A.3 B. C.2 D.D【解析】当x0,2)时， f(x)-x2+2x-(x-1)2+1，此时f(x)在0,2)上的最大值a11；当x2,4)时，由f(x)3f(x+2)得f(x)f(x-2)，此时x-20,2)，解f(x) -(x-2-1)2+1- (x-3)2+，此时a2，同理x4,6)时， f(x)- (x-5)2+，此时a3，得an是首项为1，公比为的等比数列，故选D.【错因分析】错因一：不能灵活运用已知条件f(x)3f(x+2)求出f(x)在2n-2,2n)上的最大值an，从而无从下手，导致失分.错因二：an是无穷递缩等比数列，则，忘记公式导致失分.评析】本题主要考查抽象函数的概念、函数的解析式及性质，考查二次函数在特定区间上的最值问题，考查等比数列的概念及无穷递缩等比数列所有项之和，考查学生逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力，此题综合性较强，属难题.12.在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a，b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则( )A.B.C.D.B【解析】向量(a，b)共有236个，分别为(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)，从中任取两个向量为邻边作平行四边形的个数为n15，其中两个向量(2,1)与(2,3)、(2,3)与(2,5)、(2,1)与(4,1)、(2,1)与(4,3)、(2,3)与(4,5)为邻边作平行四边形面积不超过4，所以m5，则，故选B.【错因分析】寻找面积不超过4的平行四边形时，考虑问题不全面，导致漏解求出错误的m是失分的主要原因.【评析】本题主要考查组合、直线方程和三角形面积，用列举法不重不漏求出所有满足题意的情况是解题关键，考查学生逻辑思维能力，属难题.第卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.)13.计算_.【答案】-20【解析】原式【失分警示】计算错误或对数运算法则掌握不牢是导致学生失分的主要原因.【评析】本题主要考查幂及对数运算法则，考查学生“三基”知识及运算能力，属容易题.14.双曲线-1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是_.【答案】16【解析】设双曲线的左焦点F1(-10,0)、右焦点F2(10,0)，|PF2|4a+c18，点P在双曲线的右支上.|PF1|2a+|PF2|20.设P到左准线的距离为d，由e得d16.【失分警示】没有正确理解双曲线的定义，没有掌握“双曲线上的点到焦点的距离与到相应的准线的距离的比等于离心率”.【评析】本题主要考查双曲线的两个定义和标准方程.正确利用双曲线的两个定义解决焦点弦的问题是得分关键，属中等难度.15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_.【答案】2R2析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则r2+2R2，所以h2，所以圆锥的侧面积S2rh2r24.当r2R2-r2，rR时，S取得最大值.此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为4R2-2RR2R2.【失分警示】由函数Sf(r)求最大值时，把r的值计算错误，造成错解.【评析】本题主要考查球面和圆柱的侧面积及内接几何问题.利用函数Sf(r)求最大值是解题关键，本题对空间想象能力、计算能力和函数思想有较高的要求，属偏难题.16.函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)2x+1(xR)是单函数.下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.其中的真命题是_.(写出所有真命题的编号)【答案】【解析】对，f(x)x2，则f(-1)f(1)，此时-11，则f(x)x2不是单函数，错；对，当x1，x2A，f(x1)f(x2)时有x1x2与x1x2时，f(x1)f(x2)互为逆否命题，正确；对，令f(x)2x，ABR，f(x)为单函数，1B且f(0)1，1的原象只有0，而-1B，但-1没有原象，正确；对，f(x)x2在(0，+)上是单调递增函数，但f(x)x2在R上就不是单函数，综上可知正确.【失分警示】理解不清单函数的定义或审题不清导致失分.评析】本题主要考查函数、映射的定义及函数的单调性，在新的定义背景下，能够对基础知识灵活应用是解题关键，属中等难度.三、解答题17.(本小题满分12分)已知函数f(x)sin+cos，xR.()求f(x)的最小正周期和最小值；()已知cos(-)，cos(+)-，0.求证：f()2-20.【解析】()f(x)sin+sinsin+sin2sin.T2， f(x)的最小值为-2.(6分)()由已知得cos cos +sin sin ，cos cos -sin sin -，两式相加得2cos cos 0.0b0)，由已知得b1，c1，所以a，椭圆方程为+x21，直线l垂直于x轴时与题意不符.设直线l的方程为ykx+1，将其代入椭圆方程化简得(k2+2)x2+2kx-10.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2-，x1x2-.|CD|由已知得，解得k.所以直线l的方程为yx+1或y-x+1.(6分)()直线l与x轴垂直时与题意不符.设直线l的方程为ykx+1(k0且k1)，所以P点坐标为.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由()知x1+x2-，x1x2-，直线AC的方程为y (x+1)，直线BD的方程为y (x-1)，将两直线方程联立，消去y得因为-1x1，x21，所以与异号.又y1y2k2x1x2+k(x1+x2)+1，与y1y2异号，与同号，解得x-k.因此Q点坐标为(-k，y0).(-k，y0)1.【失分警示】(1)不能熟练地利用韦达定理进行整体运算，致使运算陷入困境.(2)忽视与异号，与y1y2异号，与同号这些细节，导致解题错误.(3)对证明定值问题的方法掌握不牢，解题思路不清，使解题“半途而废”.22.(本小题满分14分)已知函数f(x)x+，h(x).()设函数F(x)f(x)-h(x)，求F(x)的单调区间与极值；()设aR，解关于x的方程log4log2h(a-x)-log2h(4-x)；()试比较f(100)h(100)-与的大小.【解析】()由F(x)f(x)-h(x)x+- (x0)知，F(x)，令F(x)0，得x.当x时，F(x)0.故当x时，F(x)是减函数；当x时，F(x)是增函数.F(x)在x处有极小值且F.(3分) ()原方程可化为log4(x