数列与不等式.doc

数列与不等式一、求和与放缩1设数列满足且.求的通项公式；()设.2 已知数列满足， .猜想数列的单调性，并证明你的结论；()证明：。3设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。4在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：1【解析】()由题设,即是公差为1的等差数列.又,故.所以 5分# () 由()得 ,12分2证（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么 =即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，结论成立当时，易知 3（）当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是.3分（）由（）知=又当当 （）由（）知一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有恒成立事实上，对任意的正整数k，有 当n为偶数时，设则 当n为奇数时，设则0对任意nN*都成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 5设数列满足,(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数n,6已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（III）设证明：7设实数数列的前项和，满足 （）若成等比数列，示和； （）求证：对有1解:(1)因为,所以,.2分因为，所以，4分 (2)证明:当时,;当时,. 6分因此不管哪种情况,都有 7分所以数列是首项为，公比为的等比数列8分 (3)证明:由(2)可得 9分因为(),所以()，所以不成立，所以. 10分此时对于,都有,于是,所以11分.若,则，所以，所以，这与是满足()的最大整数相矛盾，因此是满足的最小整数. 12分,命题获证.14分2解：（1）由已知，（，）， 2分即（，），且数列是以为首项，公差为1的等差数列4分（2），要使恒成立，恒成立，恒成立，恒成立6分（）当为奇数时，即恒成立，7分当且仅当时，有最小值为1，9分（）当为偶数时，即恒成立，10分当且仅当时，有最大值，12分即，又为非零整数，则综上所述，存在，使得对任意，都有14分3解：（）当时，. 1分, . -得， 3分数列是首项为，公比为的等比数列 4分（）由（）得 5分令， 则 ， 7分 . 9分（）当时， ，, 11分00对任意nN*都成立，即对任意nN*都成立. 当n为正奇数时，由(*)式得，即，2n+110，对任意正奇数n都成立.当且仅当n=1时，有最小值1，0，对任意正奇数n都成立.当且仅当n=1时，有最小值1，0，对任意正偶数n都成立.当且仅当n=2时，有最小值1.5，0对任意nN*都成立，的取值范围是(，1). 14分5解（）法一：，得，设，则，（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，设，则，令，得，知是等比数列，又，法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，猜想显然成立；假设当时，则，所以当时，猜想成立，由知，（）（）当时， ，故时，命题成立；（）当时，以上n个式子相加得，故当时，命题成立；综上（）（）知命题成立6（I）解：由 可得又（II）证明：对任意，得将代入，可得即又因此是等比数列.（