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院、系 班级 姓名 学号 密 封 线 以 上 不 准 答 题- 线性代数试题一、填空（本题共5小题，每小题3分，共15分）1 设，则-。2 若，则-。3 阶矩阵的第一行与第一列的元素均为1，其余元素全为0，则-。4 已知三阶方阵的特征值分别为，则-。5 线性方程组的基础解系中元素个数为-。二、单项选择（本题共5小题，每小题3分，共15分）1 行列式中的代数余子式为-。（A） ； （B） ； （C） ；（D） 。2设为同阶可逆方阵，则的逆为-。（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。3若向量，线性相关，则-。（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。4设矩阵，则的属于特征值的特征向量为-。（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。5二次型是-。（A）正定二次型 ；（B）负定二次型 ；（C）半正定二次型 ；（D）不定二次型。得 分 三、计算（本题共6小题，每小题6分，共36分）1求行列式的值。 2求行列式的值。3设，且，为三阶矩阵，求。4求矩阵的特征值，并求绝对值最小的特征值所对应的全部特征向量。5设，求矩阵的秩。6设向量，用施密特正交化方法，求一个规范正交基。四、证明（本题共3小题，每小题7分，共21分）1设为非齐次线性方程组的一个解，为对应齐次线性方程组的基础解系，证明向量组线性无关。2若阶方阵满足，证明。3若都是阶可逆矩阵，且相似，则与也相似。五、综合（本题共1小题，共13分）取何值时，方程组有唯一解、无穷解、无解，有解时求出解。线性代数试卷参考答案及评分标准一、 填空（每小题3分，共15分）124；2 ；32 ；4；54。二、 单项选择（每小题3分，共15分）1（A）；2（C）；3（A）；4（B）；5（A）。三、 计算（每小题6分，共36分）1解：原式 （5） 。 （6）2解：原式 （4）。 （6） 3解： ，。 （4） 故 。 （6）4解： ，特征值为 。 （3）当特征值为0时，有 ，同解方程组为 ，通解为 。 （6）5解： （4） ，秩为4。 （6）6解：正交化：， 。 （4） 单位化： ，。 （6） 四、证明（每小题7分，共21分）1证明，反证，若线性相关，即存在不全为零的数，使得 （2）则，否则由于为基础解系，将导致 ，与假设矛盾；若成立，又有成立，即为的解，与已知矛盾。 （7）2证明：设，由 有，即为方程组的解。 （4）设 ，则的基础解系中向量个数为，即 ，从而 。 （7）3证明：若 相似，存在可逆矩阵，使得 。 （3）故 ，即与相似。 （7）五、综合（共1小题，13分）解：系数行列式 。1）当时，该方程组有唯一解，且解为 。 （7） 2）当时，系数矩阵与增广
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