初中数学两个斜率和截距互换的一次函数.doc

两个斜率和截距互换的一次函数湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中谷兴武张琴学习八年级数学（上）一次函数内容时经常遇到这样的习题：一次函数与的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）A. B. C. D.笔者调查了本校的部分数学教师，归纳有两种方法传授给学生，方法一：逐个去分析这四幅图，就其中一幅图而言，首先假定其中任意一条直线是，由该直线的位置可得与0的大小关系（即判断出的符号），再用已确定符号的，试一试是否适合另一条直线的位置（假定另一条直线是），若适合，选择该图。方法二：也是逐个分析每一幅图，任意假定其中一条直线是，得到一组的符号；再假定另一条直线是，也得到一组的符号，如果这两组的符号一致，说明此图正确。前不久笔者看到一本有关初中奥数的书中指出，直线与的交点是，交点的横坐标是定值1。本人当时就预感到自己和部分教师对“一次函数与的图象在同一直角坐标系内的大致位置”的认识欠深入，有必要再研究。一、从两直线的交点入手解一次函数与组成的方程组，但是在解的过程中，笔者发现：只有当时（即时），方程组才有唯一的一组解，即直线与在同一直角坐标系内交点才是唯一的，且为，可见，这个交点只在直线上(如图1)。容易看出，当时，一次函数与成同一条直线了，所以笔者认为文首题目的条件不严密，应添加：.二、从两直线所在的象限入手笔者分析，一次函数图像的大致位置是由直线的斜率和它在y轴上的截距的符号来决定的，由于直线与的斜率和在y轴上的截距是互相交换的，所以这两条直线的位置互相牵制。当同号时，直线与同时过相同的三个象限；当异号时，它们不能同时过相同的三个象限。笔者通过探究，可归为三类：1.当且时，两条直线都过一、二、三象限（如图2）说明一下，图形中的位置可以互换（下文的图3同），但是同时两直线的解析式也发生互换。2.当且时，两条直线都过二、三、四象限（如图3）3.当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限。当时，过一、二、四象限，过一、三、四象限。显然，第三类的两种情况可以合二为一：当异号时，若一条直线过一、三、四象限，则另一条直线必过一、二、四象限（如图4）。反之，亦然。总结 综上所述，归纳如下：情形 1 当同正且不相等时，一次函数与的图象在同一直角坐标系内都过一、二、三象限，这两条直线的交点一定在第一象限且在直线上.情形2 当同负且不相等时，这两条直线都过二、三、四象限，交点一定在第四象限且也在直线上.情形3 当异号时，它们其中一条直线过一、三、四象限，另一条直线过一、二、四象限，交点所在象限取决于的符号，若，交点在第一象限；若 ，交点在轴上（1，0）处；若 时，交点在第四象限。且交点必在直线上.三、应用举例例1现在，我们再回过头来解决文章开头的题目（最好加个条件），首先从交点上分析，一次函数与的图象在同一坐标系内的交点必在直线上，淘汰选项B、D；然后再从这两条直线所经过的象限来分析，只有上述总结的三种情形，从而在剩余的选项A、C中把A淘汰掉，选择C. 显然，此法优于文章第二段介绍的方法。例2设且，将一次函数与的图象画在同一直角坐标系内，则图中正确的是（）分析 首先根据条件，淘汰选项，再从这两条直线所经过的象限来分析，观察剩下的三个选项都符合前面总结的情形3，但是选项中两直线的交点所处的位置有所不同，