2014年西安交大附中一中小升初奥数专题(四).doc

第十三讲 尾数规律【他山之石】自然数的个位数也叫做它的尾数。关于自然数的尾数有不少有趣的性质和一定的规律。我们有必要学习它。我们把aa记作a，叫做a的二次方（或a的平方）；aaa记作a，叫做a的三次方（或a的立方）；把aaaa记作a，叫做a的n次方。我们把a叫做底数，n叫指数。求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，它们的积也就是乘方的结果叫做幂。例如：2222记作2，叫做2的4次方。2叫做底数，4叫做指数，216，而16叫做幂。一、自然数a的尾数若a的底数相同，随着指数的不同，幂也不同。但是幂的尾数却有一定的规律。我们把他们的结果列表如下：a的尾数0123456789a的尾数0149656941a的尾数0187456329a的尾数0161656161a的尾数0123456789a的尾数0149656941a的尾数0187456329a的尾数0161656161a的尾数0123456789以上表我们可以总结出如下规律：1、 当a0，1，5，6时，a的尾数不变，仍是0，1，5，62、 当a4，9时，尾数每隔2次循环一次，即 4 n 为奇数时 4的尾数 6 n 为偶数时 9 n 为奇数时 9的尾数 1 n 为偶数时3、 当a2，3，7，8时,尾数每隔4次循环一次，一般a的尾数等于a的尾数；a的尾数a的尾数；a的尾数等于a的尾数；a的尾数等于a的尾数。二、尾数法则因为一个自然数的尾数等于这个自然数除以10所得的余数。因此我们可以推出以下四个结论：1、 两个自然数和的尾数等于这两个自然数尾数和的尾数。2、 两个自然数差的尾数等于这两个自然数的尾数差，尾数不够减时，被减数尾数向左借一位（即加上10）再相减。3、 两个自然数积的尾数等于这个自然数尾数之积的尾数。4、 一个自然数a的n次方的尾数等于这个自然数尾数n次方的尾数。例如：59763的尾数等于3的尾数，33，3的尾数是7，所以59763的尾数是7。为了方便起见，我们将上面的过程记为：597633337三、相邻自然数乘积的尾数我们把两个相邻自然数的乘积尾数列表如下：乘积12233445566778899101011112尾数26200262002不难发现，任意两个相邻自然数乘积的尾数只能是0，2，6三者之一。同理，我们将三个相邻自然数的乘积尾数列表如下：乘积12323434545656767878989109101191011尾数6400064000以上表可得，任意三个相邻自然数乘积的尾数只能是0，4，6三者之一。【例题精讲】例1 1999的个位数是多少？解：19999，2000是偶数，991答：1999的个位数是1。例2 说明无论n代表怎样的自然数，2（61）都不能分解成两个相邻的自然数的乘积。解：由尾数规律可知，无论n取什么值6的尾数都是6 2（61）2（61）4 又两个相邻自然数积的尾数是0、2、6三者之一 2（61）一定不是两个相邻自然数的乘积。例3 在12319992000的乘积中尾部有多少个连续的零？（2011年交大附中）点拨：抓住干，找“5”的因子，由于2510，即一个“2”因子配一个“5”因子积可产生一个“0”，我们已知2510，乘积的尾部有n个“0”，在12000这2000个因子比“5”因子多，只要我们找准共有多少个5的因子，问题即可解决。列举5，10，15，较繁琐，我们不妨用试除取整法（“”表示取整）解答。详解：因为20005400，即400个5，400580，即有80个5，80516，即有16个5，1653，即3个5。所以在12000个因数中，共有40080163499个“5”因子，配499个“2”因子，积的尾部有499个“0”。故12319992000的乘积中尾部有499个连续的零。例4 19971999200120031的个位数字是_。（2010年西工大附中）点拨：这类问题五大名校均考过多次。先抓关键作“大化小”的转化，即原题可变为：求79131的个位数字；再利用周期作“高化低”的转化。解：由于77，79，73，71，77，每4个循环一次；99，91，99，每两个循环一次；33，39，37，31，33，每4个循环一次。又知：19974余1，19992余1，20034余3。因此可“高化低”为：7931的个位数7931，112，应填2。记住个位数字09幂的循环规律。0，1，5，6周期为1；4，9周期为2；2，3，7，8周期为4。例5 如果今天是星期六，从今天起10天后的那一天是星期_。（2011年师大附中，2009年交大附中）点拨：我们知道每七天循环一次，推出107的余数问题即可解决。其思路有两种：其一是利用同余性质“高化低”，第二是列举找出循环周期。解1：因为7为质数，671，因此10与1除以7的余数相同，可简记为101（mod7），所以1010（10）10。即107余2，所以107余2。从而推出这一天是（627）1 星期一。解2：列举找循环周期：107余3，107余2，107余6，107余4，107余5，107余1，循环周期为6，20006余2。此时易推出107余2，即这天为星期一。也可利用乘法性质列举找循环周期：107余3，3107余2，2107余6，6107余4，4107余5，5107余1，循环周期为6，20006余2。此题易推出107余2，即这天为星期一。例6求8451940267的尾数。解：根据上面四个结论的第一个结论：两个自然数和的尾数等译这两个自然数尾数和的尾数。所以我们可以先分别求出845、1940、267的尾数，再把它们依次相加即可。8455；（一个自然数a的尾数是5时，它的n次方的尾数不变。仍是5）。19400；（一个自然数a的尾数是0时，它的n次方的尾数不变。仍是0）26777735038，所以8451940267的尾数是8。例7求56873214的尾数是多少？解：要注意“先乘除后加减”的运算法则。所以先求出56873的尾数，再求出214的尾数。最后再把它们相减就行了。56888827333321444442342。所以56873214的尾数是2。【习题精选】1、 27余_。 （2011年西安一中） 199119921993的个位数字是_。 （2009年西工大附中） 32的个位数字是_。 （2011年高新一中）2、12399100积的末尾有_个连续的零。 （2012年西大附中） 2222所得积的末位数字是_。 （2010年师大附中） 2008个2 下列数的个位数字是1的是（ ）。 （2009年铁一中）A 8947 B. 592 C. 7887 D. 2373、假如今天是星期六，再过2008天是星期_。 （2011年交大附中）4、20002001200220032004121123125127129的积的末尾有_个。（2010年交大附中）5、33333（2009个3相乘）的积的个位数字是_。（2010西工大附中）6、12233445的尾数是多少？7、求下列算式的尾数（1）1122 （2）260145895（3）（3824）56 （4）2561178、100个3的连乘积减去5，所得差的个位数是多少？9、有一列数2、9、8、2、从第三个数起，每个数都是它前面两个数乘积的个位数，这个数列的第100个数是多少？前100个数的积的个位数是多少？10、设n2222（1991个2），那么n的末两位数是几？ 第十四讲 和倍差倍年龄问题【他山之石】和倍问题：小学数学中有内容丰富多彩、形式各种各样的应用题，和倍问题就是其中之一。当知道了两个数的和，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数，这就是“和倍问题”。解答和倍问题，可以根据题目中所给的已知条件和问题画出线段图，进行认真分析，这样数量关系就可以一目了然。例如已知大、小二数的“和”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数是多少，可画出线段如图：从线段图知，“和”是小数的（倍数+1）倍。所以：小数 = 和（倍数+1） 大数 = 和小数 = 小数倍数差倍问题：与和倍应用题相似的是差倍应用题。已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少的问题称差倍问题。解差倍问题的关键是找准差量与关倍的对应关系，求出1倍量。差倍问题中的数量关系可用下面的线段表示：从线段图知，“差”是小数（即“1”倍数）的（倍数1）倍，所以小数 = 差（倍数1）大数 = 小数差 = 小数倍数年龄问题：年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，但二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”，“和倍问题”，“和差问题”进行求解。【例题精讲】例1 甲、乙、丙三数之和是1160，甲数是乙数的一半，乙数是丙数的2倍，甲、乙、丙三数各是多少？ （上海市数学竞赛题）解：由题知，“甲数是乙数的一半”，说明乙数是甲数的2倍，并且乙数是丙数的2倍，可见甲数和丙数相等，都是1倍数。关系如下：所以，1160（121）290， 2902580答：甲数是290，乙数是580，丙数是290。例2 甲班有56人，乙班有34人。甲、乙两班调走同样多人后，甲班人数是乙班人数的3倍。问：调动后两班各还有多少人？解：画示意图： 由图知，1倍量是乙班调动后剩下的人数；甲、乙两班调走的人数相同，所以，调前、调后，甲、乙两班人数之差不变仍为563422（人），22人对应的倍数差是312倍。因此1倍量为22211（人），即乙班调走后还有11人，甲班调走后还有11333（人）。综合式为（5634）（31）= 11（人）乙班 11333（人）或11（5634）33（人）甲班答：调动后甲班有33人，乙班有11人。例3 有黑白棋子一堆，黑子数是白子数的2倍，现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，取出若干次后，白子取尽，而黑子还剩16个，求这堆棋子有多少个？解：如果黑白子数相同，白子数应扩大2倍。每次取白子数为326（个），这样取若干次，白子取完黑子还剩16个。由于每取一次白子比黑子多取642（个），因此共取了1628次。棋子总数为：48163872（个）。综合算式：16（324）（43）16 162716 72（个）答：这堆棋子数共有72个。例4 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？解：今年爸爸和儿子年龄差为：4820 = 28（岁）。几年前，即与爸爸年龄是儿子的5倍时，两人的年龄差还是28岁，如图所示：这时儿子的年龄为：28（51）7（岁）。由20713（岁）推知，13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。答：13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。想一想：在例4题中，几年后爸爸的年龄是儿子的2倍？例5 小明问张老师今年多少岁，张老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出张老师今年多少岁吗？解：根据题意，画示意图：从图上可以看出，当张老师42岁时，正好比两人年龄差的3倍多3岁。所以，两人年龄差为：（423）313（岁），张老师今年的年龄为：421329（岁）。答：张老师今年29岁。例6 已知如图ABCD和AEFG是两个能完全重合的长方形，如果BG = 10厘米，DE =2厘米，求长方形ABCD的面积。 （2010年西安一中入学） 点拨：观察发现，长方形的长与宽的和为10厘米，差为2厘米，所以长：（10+2）2=6（厘米） 宽：（102）2 = 4（厘米）解：面积为64 = 24 （平方厘米）例7 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发10分钟，两人与十字路口的距离相等，出发后100分钟，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距离十字路口多少米？ （2009年西交大附中入学）点拨：第一次：把乙的方向改为由十字路口向南直行，变成了甲、乙相遇问题。第二次：把乙的方向改为由十字路口向北直行，变成了甲与乙追及问题。解：速度和：120010120（米/分） 速度差：120010012（米/分）：（120+12）2 = 66（米/分） ：（12012）2 = 54（米/分） 甲：6610012005400（米） 乙：541005400（米）例8：甲、乙两箱桔子，甲箱重180千克，乙箱重120千克，从乙箱拿出一些桔子放入甲箱，这时甲箱的句子是乙箱的2倍，则从乙箱拿了多少千克桔子放入甲箱。点拨：无论甲给乙还是乙给甲，两箱的总重量不会发生变化。解：利用 和（倍数+1）=小数，可以求出调整后乙箱的重量，之后利用乙箱原来与现在重量之差求出拿出的数量。（180 + 120）（2 + 1）= 100（千克）120100 = 20(千克)【习题精选】1、某校六年级有甲、乙、丙、丁四个班。不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人。已知乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人。甲班有（ ）人。 （2010西交大附中入学）A：46 B：其他都错 C:45 D：442、甲、乙、丙三个数的平均数是8.6，甲数是9.2，乙数比丙数少1，丙数是多少？（2011陕师大附中入学）3、甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米，若两船相向而行，则2小时相遇，若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为多少？ （2011西铁一中入学）4、两数相除，商3余4，如果被除数、除数、商及余数相加的和是243，则被除数是多少？（2010西高新一中入学）5、甲、乙两个数的和是136，甲数的小数点向左移动一位等于乙数的，则甲数是多少？（2011西铁一中入学）6、甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？ （2011西铁一中入学）7、老张问了小李的年龄后，小李问老张现在的年龄，老张说：等你到我现在的年龄时，咱们的年龄之和是72岁；在我是你现在的年龄时，你的年龄刚好是我现在的五分之一，问俩人现在各是多少岁？ （2012铁一中）8、王欣问张老师今年有多少岁，张老师说“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经45岁了。”请问张老师今年多少岁？9、今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？10、一位老人有三个孙子，长孙今年15岁，次孙12岁，小孙10岁。5年后，老人的年龄比三个孙子年龄之和的2倍还少20岁。老人今多少岁？第十五讲 数字 数位 页码【他山之石】我们知道，每一个十进制数都可以表示成若干个数的和，如23456 = 210310410 5106，将一个多位数分一分、合一合，往往会“分”“合”出解题的思路。常见的数位问题有：数字的数；数字和；变换数字位置（如）等。一个数的小数点每向右（或左）移一位，则这个数就变为原数的10倍（或），比原数增加9倍（或减少）。用方程解这类问题最简便。【例题精讲】例1 大、小两个数的差是49.23，将较小数的小数点向右移动一位就等于较大的数，那么这两个数的和为多少？（2012年西安中学、铁一中，2011年交大附中，2010年高新一中）点拨：“将较小数的小数点向右移动一位就等于较大的数”，说明较大数是较小数的10倍。它们相差：101=9倍，小数的9倍是49.23，它们的和为：10+1=11倍，求11倍是多少，易列出算式。详解1 49.23（101）（101）49.2391160.17。详解2 49.23（1）（11）49.2360.17。详解3 设较小数为x，则较大数为10x，得10xx = 49.23,解得x = 5.47，它们的和为5.47（1 + 10）60.17。例2 一个两位数，十位数字比个位数字大1，这个两位数除以十位数字与个位数字之和，商为6余数为2，那么这个两位数是多少？ （2012年高新一中，2010年交大附中）点拨：根据“十位数字比个位数字大1”，用字母表示出这个两位数，再利用第二个条件，将除法算式转化成乘法算式，列出方程解答。解：设这个两位数的个位数字为a，则十位数字为a + 1,这个两位数表示为10（a + 1）+ a，而这个两位数比两个数字之和的6倍多2，则有方程：10（a+1）+a = (a+1+a)6+210a+10+a = 12a + 8,解得a = 2，即个位数为2，十位数为2+1=3。所以这个两位数为32。例3 有一个三位数，它等于去掉它的首位数字之后剩下的两位数的7倍与66的和，则符合条件的三位数的十位数字是多少？ （2012年铁一中、西工大附中，2010年交大附中）A.3 B.8 C.6 D.9点拨：本题有明显的等量关系，要求解最好用不定方程。设所求的三位数为，由题意得766，分解变形100a = 60b + 6c + 66。详解1 设未知数见精析。50a = 30b + 3c + 33。因为30b,3c,33均为3的倍数，所以50a也为3的倍数（a是19中的一个数），由此可推出a = 3 或a = 6。当a = 3时，30b + 3c = 117 10b + c = 39 得b = 3，c = 9当a = 6时，30b + 3c = 267 10b + c = 89 得b =8，c = 9因此，本题有两种答案：339或689。即选A、B。详解2 可这样分合变形：766100a6（11）50a3（11）3989 故有两种339，389。例4 一个三位数，其中百位与个位交换后，所得的三位数与原三位数的差不为0，而且是4的倍数。那么这样的三位数有多少个。 （2012年铁一中、西工大附中）点拨：本题答案很多，尝试费时费力，且容易漏掉答案，我们用不定方程分析解答。详解：设原三位数为，根据题意得4k(k0、且为整数) 化简：100a 10bc100c10ba4k, 99(ac)4k。99与4互质。 所以ac4,c不为0，即c = 1 ，a = 5；c = 2,a = 6；c = 3,a = 7；c = 4, a = 8；c = 5, a = 9。又b可取09，有10种情况。因此，符合条件的数共有51050（个）。例5 在两位数的十位与个位中间插入09中的一个数字，这个两位数变成了三位数。在某些两位数中间插入数字后，得到的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数共有几个？ （2010年铁一中）点拨：本题难度大，失分率高，主要是遗漏答案，我们可设字母再分合变形，用不定方程推出所有答案。解：设原两位数为，中间插入的数字为x（x取09）。则有不定方程： 9（a = 19，x = 09，b = 09）变形：100a b10x = 90a 9b 10a 10x = 8b 5(a + x) = 4b利用整除性质分析：由于5与4互质，即b为5的倍数，b可取0，5（因为b在09之间）。当b=0时，a + x = 0,a = x = 0,不合题意。当b= 5时，a + x = 4,推出a=4,x=0；a=3,x=1；a= 2,x=2；a=1,x=3,所以这样的两位数共有4个，即45，35，25，15。例6 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7992，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是多少？ （2011年西工大附中）点拨：这是一道竞赛题，可以用A、B、C、D分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字。按题意列式推理。详解：设A、B、C、D分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字。依题意，可得： D C B A A B C D 7 9 9 2 很明显，从首位来看A只能是1或2，D是8或9。从末位来看，只有A = 1，D = 9才符合题意。被减数的十位数B，要被个位借去1，就有： B = CB最大能取9，则C也是9。因此，符合条件的原数中，最大的是1999。例7 印刷某一本书的页码时，所用数码的个数是975个（如第23页用2个数码，第100页用3个数码），那么这本书应有的页数是多少？ （2010西铁一中入学）点拨：第1页第9页，每页上面用一个数码，共用199（个），第10页第99页，每页上面用2个数码，共用290180（个），从第100页起，每页上面共用3个数码，所以3位数的页数共有（9759180）3262（页）。所以这本书共有的页数是：990262361（页）。例8 从0到100的自然数中数字2出现的次数为（ ） （2010西铁一中入学）A10 B.11 C.19 D.20 点拨：排列找规律： 观察发现，数字2在个位出现10次，十位也出现10次，总计出现10+10=20（次），选D。特别强调数字只有10个，而数有无穷尽个。本题问题是“数字”出现的次数，而不是数出现的次数。部分考生错误地算成201 = 19（次）。【习题精选】1、一个数的小数点向左移动两位后，所得的数比原数小11.88，则原数是_。（2012年西工大附中，2011年高新一中） 若三位数的个位数字之和等于10，则这样的三位数有_。（2011年交大附中） 一个两位数，个位数字和的5倍比原数大6，则这个两位数是_。（2012年师大附中，2011年高新一种）2、甲、乙两个数的和是162，甲数的小数点向左移动一位就等于乙数的80%，则甲数是_。（2011年铁一中）3、已知大、小两数的和是789，大数去掉个位数字后等于小数，则大数是_。（2011年西工大附中）4、一个数的小数点向左移动一位后，得到的数比原数小2.808，原数是_。（2011年高新一中，2009年交大附中）5、兰兰在做一道除法计算题时，误将被除数2001看成了1002，于是得到商是33，余数是12，则正确的余数为_。 （2011年高新一中，2009年交大附中）6、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有_个。 （2012年交大附中，2011年铁一中）7、有一个三位数，它等于去掉它首位数字之后剩下的两位数的8倍与77的和，符合条件的三位数是_。 （2012年西工大附中）8、甲、乙两个数的和是136，甲数的小数点向左移一位就等于乙数的，则甲数是_。（2011年铁一中）9、一套书上、下两册共有777个页码，并且上册比下册多7页，上册有（ ）页。（2009年西工大附中）10、一本书的页码是连续的自然数1，2，3，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果是1997，则这个被加了两次的页码是_。（2011年铁一中） 第十六讲 质数 合数 分解质因数【他山之石】1、 什么是质数，什么事合数？自然数可以按照不同的特征进行分类，例如，以能否被2整除分为奇数、偶数。自然数也可以按照约数的个数进行分类：一个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。例如：2、3、5、7、11都是质数。一个数如果除了1和它本身外还有别的约数，这样的数叫做合数。例如4、6、8、9、10、12都是合数。1既不是质数，也不是合数。100以内的质数表：（共有25个质数） 2、关于质数：（1）质数有无限多个；（2）最小的质数是2；（3）在质数中，只有2是偶数，其余的质数全是奇数；（4）每个质数只有两个约数：1和它本身。3、关于合数：（1）合数有无限多个；（2）最小的合数是4；（3）每个合数至少有3个约数：1、它本身、其他约数；4、判别质数的方法：（1）查表法：（100以内的质数差）（2）试除法：就是用有小到大的各个质数2、3、5、7、，依次去除所给的自然数，如果它能够被比它小的某个质数整除，它就是合数；如果除到商比除数小，但仍不能整除，它就是质数。（3）判别1000以内某数是否为质数的简便方法：判别100以内的数是是不是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，则这个数一定是质数。判别200以内的数是否为质数，只需用2、3、5、7、11、13试除。300以内用217的质数试除。500以内用223的质数试除。1000以内用237的质数试除。如：判断下列自然数是不是质数：（1）247（2）227点拨：（1）根据数的整除特征，容易知道2、3、5都不能整除247，经试除知道7、11也不能整除247，但13247，所以247不是质数，而是合数。（2）容易判断2到17的质数都不能整除227，并且22717136，商13小于除数17，所以227是质数。5、质因数、分解质因数（1）几个数相乘，这几个数都叫做积的因数。一个数的因数中是质数的数叫做这个数的质因数。例如：2、3是36的质因数，而4、6、12是36的因数，但不是质因数。把一个数表示成几个质数乘积的形式叫作分解质因数。例如：把42分解质因数，即是：42237。其中：2、3、7叫做42的质因数。注意：任何一个自然数都可以分解质因数。把一个质数分解质因数，就是它本身。如果不考虑因数的次序，那么一个数分解质因数的结果是唯一的。这个结论被称为“算术基本定理”。（2）分解质因数的方法：短除法。质因数连乘积中，相同的质因数一般写成乘方的形式。如：7222233236、约数的个数一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的指数加1的连乘积。如：求72的约数的个数。解：7223 72的约数的个数是：（3+1）（2+1）=43=12 72有12个约数。【例题精讲】例1 两个质数的和是39，这两个质数的积是多少？点拨：两个质数的和是39（奇数），说明这两个数是一奇一偶，而2是唯一的偶质数，故由39=2+37得出这两个质数分别是2、37，则其积为：237=74例2 有4个连续自然数，它们的乘积是11880，求这4个数。点拨：通过分解质因数，重新组合为四个连续的自然数。解：11880 = 23511 = 3（25）11（23）= 9101112 所以这四个连续自然数为：9，10，11，12。例3 将21、30、65、126、143、169、275分成两组，使两组数的积相等。点拨：把每个数分解质因数。分成两组时，使两组的质因数完全相同，则这两组的积就是相同的。解：（1）分解质因数：21 = 37；30 = 235；65 = 513；126 = 237；143 = 1113；169 = 1313；275 = 511；（2）统计：共有2个2； （3）分配：每组应有：1个2； 4个3； 2个3； 4个5； 2个5； 2个7； 1个7； 2个11； 1个11； 4个13； 2个13；所以，第一组若选 第二组有 21 = 37 126 = 237 30 = 235 169 = 1313 65 = 513 275 = 511 143 = 1113例4 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱。已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物有多重呢？（2012年西安一中，2011年西工大附中、交大附中、师大附中）点拨：本题一一列举或经繁琐计算能找到答案，但太费时间，也没有挖掘出本题隐藏的智力价值。我们活用整体想的策略，两人共买的总数是2+1=3的倍数。一个数除以3的余数只有0，1，2三种情况。这样列举余数，化大为小，很容易口算出结果。解：货物的质量数：15，16，18，19，20，31 除以3的余数：0，1，0，1，2，15个余数之和能被3整除的情况只有0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 3，可见，余2的20千克便是剩下的一箱货物的质量。例5 在3张卡片上分别写有3，5，7这3个数字中的一个，可以组成一位数、两位数和三位数，其中质数的个数是_个。 （2012年西大附中，2010年师大附中）点拨：本题考查质数的概念，只要同学熟记100以内的25个质数就可解答。解：一位数质数有3，5，7共三个，两位数质数有37，35，73共3个，因3 + 5 + 7 =15能被3整除，所以三位数无质数，总共有3 + 3 = 6个质数，填6 。例6 两个数的和107，它们的乘积是1992，这两个数分别是_和_。（2012年交大附中，2010年西工大附中）点拨：如果设两个数为x、y，易列出x + y = 107, xy = 1992,但不好解。不妨从分解1992入手。解：1992 = 2383，而23832483107，所以这两个数分别为24和83。例7 甲、乙两个数的最大公约数是75，最小公倍数是450，若它们的差最小，则两个数为_和 _。 （2012年西大附中，2011年铁一中、交大附中）点拨：设甲、乙两个数分别为a、b，先借助短除法作大化小的转化，再分解比较即可。解：因为75,即75a1b1 = 450,所以a1b1 = 4507561623 75 ba = 756751 = 4507575 ba = 753752 = 225150比较、得，应填150和225。例8 在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。 200888，那么，_。 （2012年铁一中）点拨：这道趣味数字题，从分解2008入手，搭配成两个三位数相乘。解：2008 = 222251，而200888 251512。即512。【习题精选】1、某民兵连在操场上列队，只知道人数在90110之间。排成三列无剩余，排成五列差二人，排成七列差四人。问共有民兵多少人？ （2012年交大附中，2011年西工大附中）2、一个三位数，既是2的倍数，又能被7整除，而且5又是它的因数，这个三位数最小是多少？（2012年师大附中，2010年西工大附中）3、小马在计算两位数乘两位数时，把第2个乘数中的5错看成8，求得的积是1872，那么正确的积是多少？ （2012年师大附中，2010年西工大附中）4、边长为正整数，面积为164的形状不同的长方形共有多少个？（2012年交大附中，2011年、2010年西工大附中）5、某商店把一些单价原为2元的铅笔降价后全部售出，共卖得25.3元。则降价后该转笔刀单价为多少？ （2010年交大附中）6、有三个数字能组成六个不同的三位数，这六个三位数的和是2886，则这六个三位数中最小的一个是多少？ （2012年西安一中，2010年师大附中、高新一中）7、391的约数个数有多少个，它们的和是多少？ （2010年西工大附中、师大附中）8、十几个小朋友围城一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数。如果报1和报109的是同一个人，那么共有多少人？ （2010年交大附中，2009年西工大附中）9、小明用216元去买一种北京奥运会纪念册，正好将钱用完，他想如果每本纪念册能便宜1元，那么他就可以多买3本，钱也正好用完，那么他所买的纪念册的单价是多少元？（2011年83中，2010年铁一中）10、有一个长方体，它的正面与上面的面积之和是77，如果这个长方体的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？ （2012年西工大附中） 第十七讲 最大公约数与最小公倍数【他山之石】 一、基本概念如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。一般用符号（a,b）表示a，b的最大公约数，例如（8，12）= 4，（4，6，10） = 2；几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫做这几个数的最小公倍数，一般用符号a,b表示，例如8,12=24,【2，6，5】=30。如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫互质数。二、最大公约数与最小公倍数的性质和关系1、若a与b互质，则a与b最大公约数是1；最小公倍数是ab。用式子表示：（a,b）=1，a,b = ab 条件：a、b互质；2、若a是b的整数倍，则a和b的最大公约数是b；最小公倍是a。用式子表示：（a,b）=b,a,b=a 条件：a是b的整数倍；3、两个自然数的最大公约数与它们最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。用式子表示：（a,b）a,b = ab a,b = ab(a,b) (a,b)= aba,b。三、最大公约数的求法1、分解质因数法如，求84、24、12的最大公约数。分析：根据最大公约数的定义，把三个数分别分解质因数，取出全部公共的质因数，每个公共的质因数取最低次数，把这些公共质因数的乘方相乘即得最大公约数。解：84 = 237，24 = 23，12 = 23所以（84，24，12）= 23 = 122、短除法分析：用三个数的大于1的公约数作除数，