高等数学习题10答案(复旦大学出版社).doc

习题十6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：(1) ; (2) ;解：（1）相应二重保健的积分区域为D：如图10-6所示.图10-6D亦可表示为： 所以(2) 相应二重积分的积分区域D：如图10-7所示.图10-7D亦可表示为： 所以8. 计算下列二重积分：(1) (2) D由抛物线y2 = x,直线x=0与y=1所围；解：（1）(2) 积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：所示10. 在极坐标系下计算二重积分：(1) (3)D是由=4, =1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；解：(1)积分区域D如图10-16所示：图10-16D亦可采用极坐标表示为：r2, 02所以 (3)积分区域D如图10-17所示.图10-17D可用极坐标表示为：0, 1r2.所以：11. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：解：(3)积分区域D如图10-21所示.图10-21D也可用极坐标表示为：.于是：(4)积分区域D如图10-22所示.图10-22D可用极坐标表示为：于是:29. 在直角坐标系下计算三重积分：(1),其中是由曲面z = x y与平面y = x, x =1和z =0所围成的闭区域；(2)，其中为平面x = 0, y = 0, z = 0, x+y+z = 1所围成的四面体； (5),其中是由x2+z2-y2=1, y=0, y=2所围成；解：(1)积分区域如图10-42所示。图10-42可表示为：(2)积分区域如图10-43所示，可表示为：图10-43故 (5)积分区域如图10-46所示。图10-46在y轴上的投影区间为0,2，沿y轴的截面是半径为的圆，故28. 利用柱面坐标计算下列三重积分：(1) ,其中是由曲面及所围成的闭区域；(2) ,其中是由曲面及平面z=2所围成的闭区域.解：(1) 由及消去得,因而区域在xOy面上的投影区域为,如图10-48所示，在柱面坐标系下：可表示为：图10-48故 (2) 积分区域如图10-49所示，在柱面坐标系下，可表示为图10-49故 45. 计算下列对弧长的曲线积分：(2),其中L为连接（1,0）及（0，1）两点的直线段；(3),其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界；(7)，其中L为摆线的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)；(9)，其中为螺旋线，x = acost, y = asint, z=at (0t).解：(2)L的方程为y=1-x（0x1）.(3)L由曲线L1：y=x2(0x1),及L2：y=x(0x1)组成（如图10-66所示）。图10-66故 (7) (9)48. 计算曲面积分，其中为抛物面z = 2-(x2+y2)在xOy面上方的部分，f(x, y, z)分别如下：(1) f (x, y, z)=1; (2) f(x, y, z)=x2+y2; 解：抛物面z=2-(x2+y2)与xOy面的交线是xOy面上的圆x2+y2=2，因而曲面在xOy面上的投影区域Dxy: x2+y22,且ds=故(1)(2)50. 计算下列对面积的曲面积分：（1），其中为平面在第I卦限中的部分；（2），其中为平面2x