飞机横航向稳定性分析.docx

编号 毕业设计题 目飞机横航向稳定性分析学生姓名学 号学 院专 业班 级指导教师二一六年六月本科毕业设计（论文）诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）（题目：）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。尽本人所知，除了毕业设计（论文）中特别加以标注引用的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。作者签名： 年 月 日 （学号）： 飞机横航向稳定性分析摘 要飞机的稳定性是保证飞行安全的最基本要求，本文主要目的是对常规布局飞机的横航向稳定性进行分析，并利用Matlab编写程序来实现飞行器横航向稳定性分析；我们首先建立飞行器的运动学方程和动力学方程，得到飞行器正常飞行的力学模型，利用模型充分研究影响飞行器横航向稳定性的因素后，为了利用矩阵工具对方程进行求解，我们采用合理方法使飞行器运动方程线性化；线性化后我们发现飞机的横、纵向方程并不耦合，我们把飞机横向线性方程分离出来，并将其整理成矩阵形式，然后求出矩阵的特征值和特征向量，利用特征值与飞行模态的对应关系就可以确定飞机的稳定性关键词：稳定性，运动方程，建模，线性化Aircraft lateral and directional stability Analysis SystemAbstractThe stability of the aircraft is the most basic requirements to ensure flight safety, the main purpose of this article is lateral and directional stability of the general layout of the aircraft for analysis and programming using Matlab to achieve the aircraft lateral and directional stability analysis; we first establish the kinematics of the aircraft equation and dynamic equation, the mechanical model of aircraft normal flight, the full study using the model aircraft after the impact factors of stability cross course, in order to take advantage of tools matrix equation is solved, we have adopted a reasonable approach enables linear equations of motion of the aircraft; linearization we found that the aircrafts horizontal and vertical coupling equation does not, we separated the plane transverse linear equations, and organized into a matrix, and then find the eigenvalues and eigenvectors using the eigenvalues and the corresponding flight modes relations can determine the stability of the aircraftKey Words：Stability; Equations of motion; Modeling; Linearization目 录摘 要iAbstractii目 录iii第一章 引 言11.1 飞行器的稳定性的提出及定义11.1.1 飞行器的平衡和配平11.1.2 稳定性的提出11.1.3 稳定性的定义11.1.4 稳定性的影响因素21.2 飞行器的横航向稳定性定义及影响因素31.2.1 横航向稳定性的定义31.2.2 飞行器横向稳定性的影响因素41.3 论文的结构与主要内容41.3.1 稳定性研究的目的与意义41.3.2 论文的主要结构5第二章 刚性飞行器运动方程72.1常用坐标系及其转换72.1.1常用的坐标轴系72.1.3坐标转换矩阵72.1.2常用坐标系之间的关系102.2刚性飞行器动力学方程122.2.1飞行器质量中心移动的动力学方程122.2.2飞行器绕质量中心转动动力学方程162.3 刚性飞行器运动学方程202.3.1 飞行器质量中心运动学方程202.3.2 飞行器绕质量中心转动运动学方程202.4 方程组中的几何关系21第三章 运动方程线性化233.1 小扰动法233.1.1 基本概念233.1.2 基本假设233.2运动方程组线性化243.2.1线性化方法243.2.2 外力合外力矩的线性化253.2.3运动方程的线性化26第四章 横航向运动稳定性判断304.1横航向小扰动运动方程组304.1.1 横航向小扰动运动方程组矩阵化304.1.2 方程模态特性分析方法33第五章 飞机横航向稳定性分析实例355.1 某型飞机的稳定性判断355.1.1 程序的结构与框架355.1.2 某型飞机的计算实例35第六章 总结与展望39参考文献40致 谢41v 第一章 引 言1.1 飞行器的稳定性的提出及定义1.1.1 飞行器的平衡和配平飞行器在正常飞行时，飞行器的平衡状态是所有作用在飞行器上的外力、外力矩之和全为零的状态。最一般的情况，如果飞行器做等速直线运动我们可称其处于平衡状态。我们可以把飞行器的平衡分成三个模块的平衡：横方向平衡、纵方向平衡和航向平衡，这是按照书本上的机体坐标轴系定义来说的。航向平衡是飞行器作速度不变的直线飞行，而且不做绕立轴转动（偏航）的飞行状态。纵方向平衡是飞行器在垂直平面内作速度不变的直线飞行，并且不做绕横轴转动（俯仰）的飞行状态；横方向平衡是飞行器在水平面内作速度不变的直线飞行，并且不绕纵轴转动（滚转）的飞行状态。飞行器在正常飞行过程中，一般来说，它的平衡状态常常会因为各种各样因素（像收放起落架、燃油慢慢消耗、收放襟翼、发动机推力改变或投掷炸弹等等）的影响而遭到破坏，于是飞行器自身本来的运动平衡状态被打破。这个时候飞行器驾驶员必须要通过偏转相应的操纵面来使飞行器的平衡能继续保持，这个把飞行器从不平衡调整为平衡的过程我们称之为配平。1.1.2 稳定性的提出在飞行器的配平过程中，如果是由于飞机自身一些不可抗拒作用的因素（如单台发动机停车）造成的不平衡的力矩，驾驶员通过操纵面适当的偏舵就可以消除。但不仅仅是这些，飞行器在正常的飞行过程中，还常常会碰到例如垂直突风的扰动或者驾驶员偶尔不留神碰到驾驶杆或脚蹬等一些偶然的、突发的因素，这些无一例外也会使飞行器原本的平衡状态遭到破坏。并且由于在这种情况下飞行器运动参数会发生比较剧烈的变化，驾驶员难以完全控制，必然会影响到预定任务的完成和飞行的安全。因此为了飞行品质的考量，便对飞行器本身提出了稳定性的要求。1.1.3 稳定性的定义稳定性是指飞行器正常飞行中偶然受外力（突风、侧风）干扰后不需要驾驶员对舵面进行调整，飞机靠自身特性保持原来正常飞行状态的能力。飞行器的稳定性问题，和上述圆球在圆弧曲线上能否保持稳定的情况在实质上是相同的。如果在飞行过程中飞行器由于外界瞬时微小扰动而偏离了平衡状态，这时若在飞行器上能够产生稳定力矩，那么飞行器将具有自动恢复到原来平衡状态的能力，同时阻尼力矩在飞行器摆动过程将起到阻碍作用，使飞行器摆动幅度逐渐减小，那么飞行器将能像图 1.1(a)所示的圆球一样，不需要依靠驾驶员的额外介入就能依靠自身的阻尼作用自动地恢复到初始的平衡状态，因而它是稳定的，或者说飞行器具有稳定性；相反的，如果在飞行器受到外界扰动后偏离平衡状态后自身系统产生的力矩是不稳定力矩，那么飞行器将发散震荡、或者长时间震荡，受到震荡后越来越偏离自己原来处于的平衡位置，因而我们说它是没有稳定性。由上文可知，现代飞机设计中为了保证飞行安全和便于驾驶员方便操纵，现代设计的飞行器必须有严格的稳定性要求。1.2 飞行器的横航向稳定性定义及影响因素1.2.1 横航向稳定性的定义飞行器要正常飞行，不只要能产生足够的升力去平衡自身重力、发动机有足够的推力克服阻力以及良好的飞行性能，而且稳定性和操纵性必须比较好，这样才能在空中安全飞行。不然，飞行器的驾驶就会变得很困难，因为飞行器总是会偏离驾驶员预定的航向；或者当飞行器稍微受到比如突风、侧风、武器的发射等外界扰动，飞行器的平衡状态随即消失而又不能自动恢复，这种情况需要驾驶员花费很大的时间和精力去操纵机构改出不稳定状态。所以飞行器的稳定性系统分析，在现代飞行器设计阶段占愈来愈重要的作用。在飞行中，航向平衡状态由于飞行器受到微小扰动而使改变，在外界扰动消失时刻，不经驾驶员操纵飞行器，飞行器自身就有自动地把原来航向平衡状态恢复的趋势，则我们认为飞行器航向具有静稳定性。飞行器航向静稳定性的性质和风标对风的性质类似，所以我们也称航向静稳定性为风标静稳定性。垂直尾翼就是主要来保证飞行器的方向静稳定性的。我们所说的飞机稳定性一般包括飞机静稳定性和动稳定性两个方面。静稳定性对于飞机的安全飞行并无多大作用，所以我们这里讨论的飞机稳定性就是指飞机飞行中的动稳定性。飞行器作速度不变的直线飞行，并且飞机自身不滚转也不绕纵轴转动的飞行，称为横向平衡状态。飞行器正常飞行中由于偶然受外力（突风、侧风）干扰而使横向平衡状态遭到破坏，而且在扰动作用后消失的瞬间，飞行器不需要驾驶员对舵面进行调整操纵，飞机靠自身特性就具有保持原来正常飞行状态（恢复到原来横向平衡状态）的能力，我们则称该飞行器具有横向稳定性；反之，如果没有这种自动恢复能力，那么飞机就没有横向静稳定性。1.2.2 飞行器横向稳定性的影响因素 机翼的上反角、后掠角和垂直尾翼等是保证飞行器横向稳定性的主要部件。后掠角越大，其所起的横向静稳定作用越强。如果后掠角很大（如些超音速大后掠翼战斗机），就可能导致过分的横向静稳定性，一般用上反角替代使用；当飞行器向某一方向滚转时，向下方向的机翼更接近水平，产生额外升力；向上一侧的机翼更偏离水平，升力下降，升力差导致其产生稳定力矩。恢复水平位置。这相当于让机翼在水平投影上的面积改变了，机翼的气动效率等于与其在水平投影面积相同的机翼，同时也改变了机翼迎角，使其存在上下气流分量；当飞行器(不论何种原因)出现侧滑角时，在垂直尾翼上就会产生侧力Y，它不但能为航向提供恢复力矩，而且由于垂直尾翼一般都装在机身的上面，所以还有滚转力矩Mx，它是一个横向稳定力矩，所以垂尾也有增大航向稳定性的作用；机翼位置也对横向稳定型有影响。例如上单翼有利于提高横向稳定型。1.3 论文的结构与主要内容1.3.1 稳定性研究的目的与意义每架飞行器的稳定性是其复杂飞行性能评价中不可分割的一部分。飞行器的稳定性直接决定飞行器在空中的飞行安全。因此，我们最大的关注是在飞行器设计的早期阶段的稳定性的分析。保证飞行器飞行安全中极其重要的一个步骤就是分析关于飞行器的运动稳定性，国内和国外以前都发生过多起因为飞行器自身飞行运动不稳定或者飞行器进入受到扰动不稳定进而失速而导致失控的机毁人亡的事故。自从二十世纪飞行器问世以来，飞行器的飞行安全就一直是飞行器设计师们的最高准则，安全、稳定这项最高目标是飞行器的各项设计目标都必须要服从的指标，飞行器的横航向机动中的稳定性一直是飞行器飞行安全和战斗机安全高效完成任务的重要的影响因素。随着现代飞行器飞行速度越来越高，当飞行速度较高时，飞行器的气动力特性已表现出特别明显的非线性，难预料，留给驾驶员的反应时间越来越少，飞机操控难度显著提升，于是正常机动飞行过程中极易出现失速失控、自激震荡等等失去稳定性、不能控制的现象，从而引发严重的飞行事故。因此对飞行器的横向稳定性进行深入的研究是很有必要的。1.3.2 论文的主要结构这篇论文首先从飞行器的力学模型入手，在前面定义的四个坐标系中得到飞行器的动力学（转动、移动）方程和运动学方程，利用得到的方程关系研究飞行器的稳定性问题，但要首先研究飞行器运动方程线性化，线性化后的方程更便于仔细分析；然后研究飞行器横航向稳定性分析方法，从而对飞行器横航向运动建模。最后设计飞行器横航向稳定性分析系统。论文第一章从飞行器的平衡与配平开始，由圆弧轨道上的小球介绍了稳定性的由来以及稳定性分析在现代飞行器设计中的重要性，并对常规布局飞行器中对飞行稳定性影响比较大的部件进行总体阐述。本论文第二章一开始介绍了研究飞行器运动关系所必须需要的四种坐标系，并根据坐标系之间的定义关系推导出了各个坐标系之间的转换矩阵，这些准备工作完成后，本章先从飞行器的动力学方程开始，利用各种学习过的力学，物理知识推导出了飞行器质量中心移动，飞行器质量中心转动的相关动力学方程；然后接下来研究了飞行器的运动学方程，并根据力学知识推导出了飞行器质量中心运动学的方程、飞行器质量中心转动的运动学方程；以这些为基础，我们发现飞行器的质量中心运动是在航迹轴系上投影研究的，但绕质量中心转动的运动在机体轴系上投影研究得到相关方程的，故我们把得到的方程组称为航迹-机体体系运动方程组。论文的第三章则是着手为飞机飞行的模型简化做准备，由于我们在第二章中得到的飞行器运动学和动力学方程组是变系数，非线性化的，它的解析解是比较难得到的，只能自己用数值法按部就班求解。这样，就不容易找出带有普遍意义的一般规律。我们采用“小扰动法”对飞机的运动方程组进行合理的简化，推力、侧力、阻力、几何关系等等，都得到了合理的简化论文的第四章则是在第三章利用小扰动理论简化到的方程组的基础上，利用已经学习过的矩阵工具将方程组矩阵化，将飞行器稳定性问题分析转化为特征矩阵的求解分析，并对方程组的基本求解理论进行验证，并利用matlab软件中的数值分析工具进行了辅助工作。最后利用已经编写好的程序对某型号已经知道其气动数据的飞机稳定性进行分析了，得到了该程序应该的到的结果。第二章 刚性飞行器运动方程2.1常用坐标系及其转换在建立飞行器运动、转动方程时，为了方便的确定飞行器速度、相对位置、加速度和外力矢量的分量，我们选择在多种坐标轴系中建立方程，本文采用下面四种。2.1.1常用的坐标轴系1、地面坐标系地面坐标系是定义为固定在地球表面上的一种坐标系。原点可以选择为地面上任意选定的某个固定的点（例如飞行器起飞点、导弹发射点）；轴指向地平面某任意方向O轴铅垂向下；轴垂直平面，按右手定则确定。2、机体坐标系机体坐标系是定义为固联于飞行器机身并和飞行器一起运动的一种动坐标系。该坐标系原点O位于飞行器的质量中心；轴位于飞行器对称平面内，和机身轴线，或者机翼的平均气动弦线平行，指向前；轴和一样，也在对称平面内，并且垂直于轴，指向下；轴垂直与对称面，指向右。机体坐标系的三根坐标轴上定义了气动力矩沿三个轴的具体分量，有偏航力矩N、滚转力矩L和俯仰力矩M。3、气流坐标系气流坐标系又称为风轴系（）。该坐标系的原点O位于飞行器的质量中心；轴始终沿飞行器的空速方向；轴位于对称面内，垂直轴，指向下；轴垂直于平面，指向右。气动力的三个分量，即升力L、阻力D和侧力C是在气流坐标系中定义的。4、航迹坐标系航迹坐标系又称弹道固连坐标系。它的原点O 位于飞行器质量中心； 轴定义为始终沿飞行器的地速方向；对于轴则位于包含它自身的铅垂平面内，和 轴垂直并指向下；轴则垂直于平面，方向向右。由上面的定义可知，气流坐标系的轴与航迹坐标系的 轴，当风速0 时，两轴的方向是不重合的；只有当风速=0 时，两者方向重合。2.1.3坐标转换矩阵建立运动方程时，还需要知道各坐标轴系之间的相互投影关系，即坐标转换矩阵。下面推出坐标转换的一般法则。1、平面坐标系各轴间的转换设两平面坐标系和，当坐标系和顺时针转过角后，将与新坐标系重合。设某矢量r 在坐标系中可分别表示为()和 ( )。如已知矢量的坐标()，则可用下式求得坐标( )，即把上式写成矩阵形式=令则式中为从坐标系p到坐标系q的坐标转换矩阵转换矩阵具有如下两条性质：1. ,=,即和互为转置矩阵2. ,=(), 即和互为逆矩阵由此可得=()， =()，则和是正交矩阵2、三维坐标轴系各轴间的转换两个三维坐标轴系如果原点是重合的，那它们一定可以通过旋转重合在一起。若类似于平面坐标系仅仅通过绕其中一轴旋转两个坐标系即可重合，则坐标轴之间的关系类似于平面坐标系变换，变换矩阵与旋转转轴和对应的旋转角相关。转角按旋转方向的不同分为正负，当旋转角按右手法则确定的旋转方向和旋转轴的正方向一致时，定义为正，反之为负图2.1 三维坐标系的转换绕轴转过正角的两个坐标系之间相互转换关系可表示为：转换矩阵为：绕轴和轴转过正角的转换矩阵分别为：()=下，只需三个欧拉角 ， ，就可以确定两个原点重合的坐标系和的相对位置。它们之间的相互转换关系，可由 按顺序连续绕Oz 方向转动 角，再绕当时的Oz方向转动 角，最后绕当时的Ox 方向转动角，形成目标坐标系。利用绕单轴转换矩阵式( 1.20 )式( 1.22 )，并根据其转动过程，两坐标轴之间的转换关系应有=该转换矩阵同样具有二维坐标系转换矩阵的特性。2.1.2常用坐标系之间的关系1、地面坐标系与机体坐标系图2.2 地面坐标轴系与机体坐标轴系之间的关系偏航角：轴与机体轴在水平方向平面上的投影之间的夹角。我们规定飞行器向右偏行时形成的角度为正值。俯仰角：机体轴与水平方向平面之间的夹角。我们规定当飞行器头部上仰时形成的角度为正值。滚转角与飞行器对称平面之间的夹角。我们规定飞行器向右边滚转运动时形成的角度为正值。转换矩阵：2、机体坐标系与气流坐标系关系因这两个坐标系中和轴一同在飞行器纵向对称平面内，所以气流坐标系与机体坐标系间的相互关系仅需两个角度即可确定其相应位置。迎角：飞行空速矢量V在飞行器对称平面上的投影直线与机体轴之间形成的夹角。一般情况下，投影形成的直线在下方时定义为正。侧滑角：飞行器对称平面和飞行空速矢量V之间形成的夹角。速度矢量V在对称平面右方时定义为正。转换矩阵：3、地面坐标轴系与航迹坐标轴系图2.3地面坐标轴系与航迹坐标轴系的转换关系地面坐标系相对航迹坐标系的方位，根据两个坐标轴系的定义，其中与O均位于铅垂平面内，所以可以用两个欧拉角来表示其中关系。航迹偏航角：航迹偏航角又称为航向角，即是航迹轴在水平面上的投影与轴之间的夹角，也可以用表示。一般规定航迹向右偏转时为正。航迹倾斜角：又称为航迹爬升角，即航迹轴在水平面之间的夹角，也可用表示。一般规定航迹向上倾斜时为正。从图上可见，角度，决定了飞行器地速空间的方向。由到的转换矩阵可通过坐标按顺序绕轴转过角，再绕当时的y轴（即图中轴）转过角，就可以与坐标系重合。所以从地面坐标系到航迹坐标系的转换矩阵为2.2刚性飞行器动力学方程由理论力学知识可知，飞行器质量中心运动的描述可以用动量定理来:式中为飞行器飞行速度矢量，为飞行器质量，为作用于质量中心处合外力矢量。对于飞行高度、飞行器速度不很大的情况，我们可以忽略地球曲率和自转给运算带来的影响，平面地球坐标可近似作为惯性坐标系，并假设认为大气是静止的。2.2.1飞行器质量中心移动的动力学方程1、任意动系中的质量中心动力学方程我们在具体研究飞行器质量中心运动规律时，由于用矢量形式表示的方程使用不太方便，故用在某坐标投影的标量形式来表示。工程习惯上，通常建立投影在一动坐标系的标量方程取一动坐标系原点位于飞行器质量中心，它相对惯性坐标系有一转动角速度。质量中心的绝对速为V。在动坐标系上分别投影飞行速度和运动角速度，则有式中为动坐标系中定义的单位矢量。因为的存在，其方向将随时间变化而变化。速度的微分，也即质量中心的绝对加速度为其中上式为动坐标系角速度时的加速度，就相当于我们站在动坐标系中所看到的质量中心的加速度；为附带的加速度，它是由于存在角速度使相对于动坐标系方向发生变化而产生的；则为我们在地面坐标系中看飞机所得到的加速度，即质量中心的绝对加速度。将式(2.13)代入式(2.11)，得到在动坐标系中表示的质量中心动力学矢量形式为于是式(2.14)在动坐标系上投影的质量中心动力学标量形式如下：式中（，）为动系相对惯性系的转动角速度在动系上的投影分量；（）为作用在飞行器上外力的合力矢量在动系上的投影分量。2、质量中心动力学方程在航迹坐标系中的形式我们在推导航迹坐标系中质量中心动力学方程时，将角速度、速度及合外力在航迹坐标系中的投影代入式( 1.35 )即可。由航迹轴系定义，轴取飞行器质量中心运动方向，所以有：地面坐标系与航迹坐标系的相对位置的确定，我们可先将地面坐标系以确定角速度 绕Oz 轴旋转，再以角速度绕轴转动而得到的。所以航迹坐标系相对于地面坐标系的角速度可写为：通过在本章第一部分已经得到的转换矩阵，上面的式子投影在航迹轴系上可表达为：+作用在飞行器质量中心上的外力中，发动机产生的推力T 一般位于飞行器的对称平面内，但有的时候会与机体轴 构成安装角 。为此先将T 投影在机体轴系上（见图1.32），可表示为： 图2.4 发动机推力矢量随后把推力T通过转换矩阵运算后，得到推力T 在航迹坐标系上的投影分量：空气动力 A 我们一般定义在气流坐标系中，三个轴向分别是侧力C、阻力D和升力L，即类似的，气动力在航迹坐标系上的分量也可通过转换矩阵得到重力mg 的方向与地面坐标系中轴方向相同，把mg使用转换矩阵运算后可得在航迹坐标系上的投影将飞机飞行速度、转动角速度和各方向外力的投影式均代入式( 2.16 )后，最终可以得到在航迹坐标系中标量形式的飞行器质量中心动力学方程组3.机体轴系中的质量中心动力学方程和质量中心动力学方程在航迹轴系上的投影类似，先找出飞机飞行速度、转动角速度和各方向外力矢量在上的投影， 然后直接代入式(2.16)即成。速度V 的投影表示为:角速度 的投影表示为合外力矢量F投影的平面中，发动机推力T与轴构成安装角而且位于飞行器对称平面内，故类似的，气动力 A 在机体轴的投影可通过转换矩阵得出重力mg在的投影，可通过转换矩阵 得出，即将上述的投影表达式代入式(2.11)，最终得出的机体轴系中质量中心动力学方程组的标量形式为在探讨飞行器大迎角、大机动运动特性时，常将方程组式( 2.18 )中速度矢量投影通过转换矩阵，用（V，来表示，即相对地对时间的导数为2.2.2飞行器绕质量中心转动动力学方程根据所学知识，转动运动我们可以用动量矩定理来表示，描述飞行器绕质量中心的转动运动公式可表示为：式中飞行器对坐标原点的动量矩用表示；表示作用在飞行器上的合外力相对于原点的合力矩。按照动量矩的定义，飞行器上质量为的任意微元，对某个坐标系原点形成的动量矩（见图2.5）为：图2.5 对质心的动量矩 式中矢量为微元质量到坐标原点的矢径；为该微元质量的速度矢量，则 式中为坐标原点速度（如坐标原点取为飞行器质量中心，则为质量中心速度）；为坐标系转动角速度。于是飞行器的总动量矩可积分得出取坐标系原点为质量中心时，有飞行器的动量矩简化为上式表明，飞行器的动量矩只取决于转动产生的速度部分，而与质量中心运动速度无关。用投影分量在坐标系中表示矢径和角速度为简单整理下将得到的上述关系代入式2.15得到的式子式中，和分别为飞行器对轴，轴和轴的惯性矩，分别为而，和则为对轴与轴、轴与轴和轴与轴的惯性积，分别为1、绕质量中心转动动力学方程在固连于飞行器的任意动坐标系中的形式：矢量形式方程式2.10在具体研究飞行器绕质量中心转动的规律时使用肯定不太方便，为了建成方程的标量形式这里我们将其投影在一动坐标系上。此时， 由于动系在空中以转动，所以动量矩导数，可以表示为将上式代入式2.21，得到飞行器绕质量中心转动动力学方程在动坐标系中表示的形式：其中动量矩导数为动系角速度时得到的，我们称其为动量矩相对导数，其投影形式为：而称为动量矩的转换导数，它是由于存在动坐标系方向改变所引起的动量矩变化，可以表示为合外力矩在动系中的投影表示式为将上述的投影表示式代入式2.33，即得转动运动方程的标量形式为再将上面得到的动量矩关系式2.29代入上式，经过适当整理将力矩量整理到左边，最后得飞行器绕质量中心转动的动力学方程为2、绕质心转动动力学方程在机体轴系中的表示：对于一般的飞行器，平面常为对称面。由式2.31可知，此时。角速度在机体轴上投影常为。外力矩在机体轴上投影表示为于是式2.27可简化为对于轴对称的飞行器通常惯量矩也为零，将此结果代入到方程中得到转动动力学方程的最简形式为：2.3 刚性飞行器运动学方程2.3.1 飞行器质量中心运动学方程若质量中心的动力学方程是在航迹轴系中建立的，则我们可以得出质量中心速度变化表示为V,0,0 T，通过转换矩阵 可获得质量中心速度在地面轴系上的投影 Vx,Vy,Vzg再对各分速分别进行积分，得到质量中心位置在空间的变化规律，即运动轨迹。若我们建立了飞行器质量中心的运动学方程，则确定飞行器在空间的飞行轨迹也将很容易。首先将由式求得的飞行速度V 投影至地面坐标系接下来我们综合地面坐标轴系速度分量分别是质量中心的空间坐标的微分这一内在条件，并利用转换矩阵式可得：该方程组描述了质量中心空间位置随时间的变化规律。2.3.2 飞行器绕质量中心转动运动学方程一般意义上，我们可以通过飞机机体轴系相对于地面坐标轴系的三个欧拉角(,) 来标明飞行器在空间的姿态。飞行过程中飞机姿态肯定不是一成不变的，所以描述其空中姿态的欧拉角将随时间变化而变化。由飞行器运动形式我们了解到，欧拉角变化规律与飞行器自身各轴的旋转角速度 ( p,q, r) 具有密切关系。了解其中的关系后，我们可以通过找出飞机各轴旋转角速度之间的内在关系，代入以前建立的运动方程从而得出绕飞机质量中心转动的运动学方程，也即得到了可以描述飞行器姿态变化规律的方程。我了解到有两种方法可以建立飞行器转动运动学方程。欧拉角表示法，是直接导出欧拉姿态角变化规律的方程；第二种是四元数表示法，它是为了防止方程出现奇异解利用间接方法导出姿态角变化的方程。为了方便的直接表示出姿态角变化规律，我们在论文中采用欧拉角表示法从机体轴系的形成过程（见下图）可知， 角是由沿轴的角速度形成的；角是由沿y的角速度形成的，将其沿机体轴系投影为0,- T ； 角是由沿轴的角速度形成的。由此可以写出机体轴系中旋转角速度的分量：=+上面公式所得到的求解结果就是绕质量中心转动的运动学方程2.4 方程组中的几何关系由于我们运动方程的质量中心运动方程在这组方程其质量中心运动方程是在航迹轴系上投影得到的，而在机体轴系上的投影使我们得到绕质量中心转动的运动方程，所以我们把这组方程组称为航迹-机体体系运动方程组。方程组由式（2.17）、式( 2.38)（或式( 2.39 )）、式（2.41）和式( 2.43)共 12 个方程组成，其未知数计有(V, , )，( p,q, r)，(, , )， (， ) (, , )和(a ,r ,e ,T)共 19 个。未知数多于方程式个数。但由于引入了机体轴系和航迹坐标轴系，这其中有8 个角度(, , , , )是有联系的，相互并不独立。例如，飞行器相对气流的关系(, )以及飞行器在飞行过程中的姿态角(, , )一旦确定后，气流轴系中的相对空间方位角(, , )也就随之确定了。这说明了，这8 个角度中只有 5 个是相互独立的变量，另外 3 个变量可以通过坐标系之间的几何关系来确定。这里的关系，我们根据不同的需求，可以把它导成各种形式的几何关系。这里我们仅仅介绍常见的形式，由 ， ， ， ， 角度来求出 ， 和 的关系式。利用转换矩阵的传递特性，有式中=;、均有同样的性质;分别将在第二章已经求得的、带入上式，把上式展开，并令两边的第 3 行第 1 列元素相等，得到： (2.45)然后我们把上面得到的式子两边的第 2 行第 1 列元素化简，令其相等，得到： (2.46)同样的，有 =上式展开后，我们把上面得到的式子两边的第 2 列元素化简，令其相等，得到： (2.48)增加了 3 个几何关系式后，未知数仍比方程个数多 4 个，同样需要增加 4 个附加关系才能求解这组方程。第三章 运动方程线性化上一章中我们努力得到的运动方程组是非线性、变系数的方程组，它的解析解是比较难得到的，只能自己用数值法按部就班求解。这样，就不容易找出带有普遍意义的一般规律。为便于研究飞行器的稳定性和操纵性，最常用的方法是利用“小扰动”假设将微分方程线性化，通称为“小扰动法”。这样就可能用解析法求解或进行解析研究，并从中归纳出普遍规律，确定飞行品质指标，作为飞行器设计的指南。3.1 小扰动法3.1.1 基本概念研究飞行器的稳定性和操纵性问题时，一般把飞行器运动分为基准运动和扰动运动。基准运动（或称未扰动运动）是指在理想条件下，飞行器不受任何外界干扰，按预定规律进行的运动，如定直平飞。定常盘旋等。基准运动参数用下标“*”表示，如V ， 等。与基准运动差别甚小的扰动运动称为小扰动运动。“差别甚小”只能从相对的意义上理解，绝对量值的范围应视具体情况而定。根据已有的经验，对小扰动的限制往往不很严格。采用小扰动假定简化后的方程，在大多数情况下均能给出足够满意的结果。这是由于：在大多数飞行情况下，各主要气动参数的变化与扰动量成线性关系；飞行中即使遇到相当强烈的扰动，在有限的时间内飞行器的线速度和角速度也往往只有很小的飞行器飞行动力学变化量。所以小扰动法是有客观实践依据的。3.1.2 基本假设在小扰动假设条件下，一般情况就能将飞行器运动方程进行线性化。但为了便于将线性扰动运动方程组分离为彼此独立的两组，即纵向和横航向小扰动方程组，以减少方程组阶次而解析求解，还需要作下列假设：飞行器具有对称平面（气动外形和质量分布均对称），且略去机体内转动部件的陀螺力矩效应。在基准运动中，对称平面处于铅垂位置（即 = 0），且运动所在平面与飞行器对称平面相重合（即 = 0）。在满足上述条件下，可以推论出：纵向气动力和力矩对横航向参数在其基准运动状态下的导数均等于零。这从纵向气动力和力矩曲线可以得到解释。这些曲线不仅对纵轴对称（飞行器具有对称面假设），而且在基准状态处的一阶导数连续，这与实验结果是相符的。纵向气动力和力矩与横航向参数的示意关系横航向气动力和力矩对纵向参数在基准运动关系下的导数也均等于零。因为飞行器本身左右对称，当纵向扰动出现时，在不太大的迎角范围内，气流流动的对称性并不破坏，故通常不会产生横航向气动力和力矩。3.2运动方程组线性化3.2.1线性化方法一般情况下，飞行器的任何一个运动，转动方程都可以表示成如下式一样的一般形式式中变量可以是运动参数抑或是它们对应的导数。其中运动参数可以表示成其基准运动参数和偏离量之和于是方程式2.30可写成在我们选的基准点处可以展开成泰勒级数，并根据前文的小扰动假设，省略去影响较小的二阶及以上各阶小量，可以得到基准运动也应满足运动方程式3.1，即将式3.3减去3.4，得到上式是由非线性方程式3.1简化后所得到的一个线性化方程，我们称其为线性化小扰动方程。方程中为变量。为由基准运动状态确定的导数，一般是通过和实验的方法已经确定的物理量，如果基准运动是定常运动，则上述线性化小扰动方程是常系数的；但如果基准运动是非定常运动，则上述方程就是变系数的。3.2.2 外力合外力矩的线性化在线性化运动方程过程中，会遇到扰动运动相对基准运动的力和力矩附加偏量。这些偏量可根据其与飞行器运动参数的关系，在小扰动条件下，用线性关系来表示。设某个力或力矩A是若干变量的函数，即一般来说，A的偏量应为或写成式中的偏导数均由基准运动状态确定，即1.力和力矩线性表达式关于外力偏量的线性表达式，发动机推力T可表示成因此其偏量为式中代表油门杆位置，不同油门杆位置对应发动机的不同转速，故代表油门杆位置变化所引起的推理变化。实际上由油门杆位置变化到推力变化有时间延迟，此处暂未考虑。飞行器阻力D特性可表示为并利用前面假设，横航向扰动参数对纵向气动力的影响可以忽略，即，则其偏量为飞行器升力L特性，同样利用前面假设；为完整起见，还引入了迎角变化率和俯仰角速度q的影响因素。得出其偏量表达式为关于外力矩偏量的线性表达式，在了解影响各气动力矩后，并考虑了前面的假设，纵向扰动只影响纵向力矩，横航向扰动只影响横航向力矩，于是其偏量表达式可写成3.2.3运动方程的线性化按习惯研究飞行器的稳定性和操纵性所用的小扰动线性化方程常选用两种坐标系的方程形式。其中质量中心运动中的升力和阻力方程在风轴系上建立；而质量中心运动中侧力方程和绕质量中心运动中的力矩方程均在机体轴坐标系上建立。由于在两种坐标系中所得出的俯仰力矩方程是相同的，因此可以这样说，纵向小扰动运动方程是相对风轴系的。下面就具体线性化这些方程。1.质量中心运动方程的线性化首先对阻力方程，即式2.17中第一式进行线性化。按线性化的一般公式3.5处理并注意和是常数，则有 (3.16)利用小扰动法的假设，其基准状态，且把和表达式3.12、式3.14代入，得到用同样的方法对升力方程即式2.17中的三式进行线性化。利用假设考虑到，并将和表达式3.12、式3.15代入，最后得到 （3.18）对侧力方程线性化，即是对式( 4.1 )中第二式进行线性化，有+(+-p)=-D- (3.19)利用假设，=0,于是上式为:+( -p)=- (3.20)再利用关系式(4.2)和式（4.3），得到:并将的表达式（4.54）代入其中，最后得到2.绕质量中心转动动力学方程的线性化首先将倾斜力矩方程，即式2.18中的第一式进行线性化，注意到惯性矩， ， 和惯性积为常数，有则用假设，并将倾斜力矩增量 L的表达式即式( 4.55 )中第一式代入，最后得到同样，对偏航力矩方程线性化，即对式( 4.14 )中第三式线性化，并利用同样的假设，结果为3. 质量中心运动学方程的线性化首先对运动学方程式（2.41）中第二式线性化，有4. 绕质量中心运动的线性化 首先对运动学方程式中第一式线性化，并利用假设，最后得同样的对运动方程式中第二个、第三式线性化，结果为：5.有关几何方程的线性化首先对几何关系方程式( 2.45 )进行线性化，有： 假设条件有，可以改写成：由于，最后得到上式为：类似的，几何关系方程式（2.46）的线性化结果为:几何关系方程式（2.48）的线性化结果为:第四章 横航向运动稳定性判断4.1横航向小扰动运动方程组4.1.1 横航向小扰动运动方程组矩阵化由于我们所考虑的基准运动是对称运动，其中所有横航向变量，都等于零，因此其横航向扰动偏量为：，等等即扰动偏量就等于变量的全量，故以后使用时不再加前置符号 。类似于纵向扰动方程组的处理方法，先将方程划分为耦合和非耦合的两类；在耦合方程组中，按变量，p，r，a， r的顺序排列，并把输入量a， r放在等式右端，前面四个输出量 ，p ，r ， 放在等式左端。经过整理后的飞行器横航向小扰动方程如下：耦合的方程组（包含，p，r，a， r共六个变量） (4.1)非耦合的方程（包括 ， ， ， 四个变量） (4.2)横航向小扰动方程的矩阵形式由于惯性积的存在，横航向耦合运动方程组( 4.1 )不是一阶线性微分方程组的标准形式，因而不能直接写成矩阵形式。为此首先采用“修正导数法”，从形式上消去方程中的项。取原来的小扰动倾斜力矩方程式( 3.23 )和偏航力矩方程式( 3.24)，则 (4.3)由此可以解出： (4.4)然后将横航向力矩表达式( 3.15 )代入，并分别求导，得出修正的横航向动力学导数 (4.5)同时还引入侧向力方程中的动力学导数： (4.6)于是方程组式( 4.1 )可以表示成矩阵形式 (4.7)线性化的横航向动力学方程式可以重写为：上式中u=; 为飞机副翼偏角，为飞机方向舵偏角下表4.1列出了使用飞机的各项气动导数表示出的飞机横航向动力学导数关系式表4.1 横航向气动导数横航向气动导数单位横航向气动导数单位横航向气动导数单位,式( 4.8 )是典型的高阶线性常系数常微分方程组,描述了飞机偏离其对称定常直线平衡运动后,横向运动的偏离情况和文章前面说的一样,相应的基本问题有两类,即所谓稳定性和操纵性问题对于稳定性问题,讨论受到偏离平衡的初始扰动,但并不施加操纵（即u=0）时,飞机的运动情况对应的运动模型进一步表示为： = Ax, x(0) 0 (4.9)我们的基本问题就是求出上面方程的解, 此时,受扰后的稳定性取决于式( 4.8 )矩阵A的特征值和特征向量,其特征方程为: (4.10)式中，为特征多项式展开后相应的各次项系数4.1.2 方程模态特性分析方法由代数方程理论可知,式( 4.0 )为实系数一元四次代数方程,必有4个根,且若有复根则成对共轭出现亦即,式( 4.0 )可以分解为两个一元二次代数方程之积：式中均为实数,而扰动运动的特性取决于每个一元二次特征方程若原四阶微分系统稳定则对应的每一个二阶系统稳定由Routh Hurwitz稳定性准则不难得出将等价于二阶自由振动系统的运动是由两类简单的运动叠加而成,称之为典型模态运动,每一个实特征根或每一对共轭复根都代表了一个基本模态运动其中实特征根代表了非周期的指数型运动,而共轭复根代表了周期振荡运动视特征根实部符号情况,每一个模态运动或为发散的,或为收敛的,不发散也不收敛时则处于临界稳定状态图4.1 特征根代表的典型模态运动当系统振动运动为收敛的,则所有的模态为收敛的,亦即所有的特征根具有负实部或为负实根;当振动运动为发散的,则系统有一个或一个以上的模态为发散的,亦即有一个或一个以上的特征根具有正实部或为正实根;当有一个特征根为零或一对特征根为纯虚根,而其他根为收敛根,则振荡运动振幅既不收敛,也不发散第五章 飞机横航向稳定性分析实例5.1 某型飞机的稳定性判断5.1.1 程序的结构与框架在前面已经得到飞机运动方程组，因为在理想情况下飞机横向和纵向运动不干扰，我们分离出飞机横向运动的状态矩阵，从而利用该矩阵的特征根和特征向量对应的飞机模态判断飞机的横向稳定性，以及该模态对应的运动周期，该矩阵其中的元素都是可以利用已知飞机的气动数据来计算得到，所以我们利用Matlab程序实现输入飞机气动参数，并利用矩阵工具对状态矩阵进行特征值和特征向量运算，并对特征值对应的模态参数进行分析，从而判断出飞机的稳定性。5.1.2 某型飞机的计算实例首先我们给出飞机的基本参数：表5.1 飞机基本参数惯性力矩Ix=0.000