2013年天津市高考理科数学试卷含答案.doc

数 学 （理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第卷1至2页，第卷3至5页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知为虚数单位，则复数的虚部是AB1CD （2）“”是“直线和直线互相垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为A1 B2 C3 D4（4）设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于A.1 B. 2 C. 3 D. 4（5）二项式的展开式中常数项是 A28 B-7 C7 D-28（6）定义行列式运算=将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 A B C D （7）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为A B C1 D2（8）已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为 A.3 B. C. D.2第卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 _（10）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是 （11）已知集合，若，则的取值范围是 （12）已知直线（为参数）与圆（为参数），则直线的倾斜角及圆心的直角坐标分别是 （13）如图，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点.若，则= ， （用表示）. （14）以下命题：若，则；=（1，1）在=（3，4）方向上的投影为；若ABC中，a=5,b =8,c =7，则=20；若非零向量、满足，则其中所有真命题的标号是 三解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间 （16）（本小题满分13分）袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列及数学期望E.（17）（本小题满分13分）如图，在长方体，中，点在棱AB上移动.（1）证明：； （2）当为的中点时，求点到面的距离； （3）等于何值时，二面角的大小为.ABCDA1B1C1D1E（18）（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，数列中，点在直线上.（） 求数列的通项公式和；（） 设，求数列的前n项和.（19）（本小题满分14分）已知椭圆（ab0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B （1）求椭圆C的标准方程； （2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围（20）（本小题满分14分）设函数.（1）若,试求函数的单调区间；（2）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为1；（3）令，若函数在区间（0，1上是减函数，求的取值范围.参考答案：1.【答案】A【解析】原式=，则复数的虚部是.选A.2.【答案】C【解析】当时，直线为，此时两直线不垂直，所以，所以的斜率为，若直线垂直，则有，即，所以“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件，选C.3.【答案】C【解析】本程序为分段函数，当时，由得，所以.当时，由，得.所以满足条件的有3个，选C.4.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以，即，即，所以，选C.5.【答案】C【解析】展开式的通项公式为，由得，所以常数项为，选C.6.【答案】B【解析】根据行列式的定义可知，向左平移个单位得到，所以，所以是函数的一个对称中心，选B.7.【答案】C【解析】由函数是上的偶函数及时得 故选C.8.【答案】D【解析】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以的最小值为1，而，即的最小值为2，此时最小为圆心到直线的距离，此时，即，因为，所以，选D.9.【答案】20【解析】高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人.10.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为，所以圆锥的体积为，半球的体积为，所以几何体的总体积为.11.【答案】【解析】， ，因为，所以，所以，解得，即的取值范围是.12.【答案】【解析】直线消去参数得直线方程为，所以斜率，即倾斜角为.圆的标准方程为，圆心坐标为.13.【答案】； 【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，在直角三角形中，所以，由相交弦定理知，即，解得.14.【答案】【解析】由，所以，即或，所以，所以正确.在方向上的投影为，所以正确.，即.所以，所以错误.由得，即，若，则有，即，显然成立，所以正确.综上真命题的标号为.15.【答案】（）-1分-2分-3分-5分函数的最小正周期为 ，-6分函数的最大值为-8分（II）由 -10分得 -11分函数的 单调递增区间为-13分16. 【答案】解: （）摸出的2个小球为异色球的种数为 2分从8个球中摸出2个小球的种数为 4分故所求概率为 5 分（）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球， 共有种 6分一种是有2个红球，1个其它颜色球， 共有种， 7分 一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法， 故符合条件的不同摸法共有种. 9分由题意知，随机变量的取值为，.其分布列为：123 12分 13分17.【答案】解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则2分ABCDA1B1C1D1E（1）4分（2）因为为的中点，则，从而，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为8分（3）设平面的法向量，由 令，依题意（不合，舍去）， .时，二面角的大小为. 13分18.【答案】解：（）是与2的等差中项， 2分 由-得 4分再由 得 6分. 8分（） . -得：， 10分即：，. 13分19.【答案】解：（1）焦距为4， c=21分 又的离心率为 2分 ，a=，b=2 4分 标准方程为6分 （2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得7分 x1+x2=，x1x2= 由（1）知右焦点F坐标为（2，0）， 右焦点F在圆内部，09分 （x1 -2）（x2-2）+ y1y20 即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+10 10分 0 12分 k 13分经检验得k时，直线l与椭圆相交， 直线l的斜率k的范围为（-，）14分.20.【答案】解: （1）时, -1分 -3分 的减区间为,增区间 -5分（2）设切点为，切线的斜率，又切线过原点 -7分满足方程，由图像可知有唯一解，切点的横坐标为1； -8分或者设,且,方程有唯一解 -9分（3），