结构力学第五章影响线.ppt

1 第五章影响线 5 1影响线的基本概念 5 2静力法作影响线 5 3机动法作影响线 5 4影响线的应用 5 5简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩 5 6超静定力的影响线 5 7连续梁的最不利荷载分布及内力包络图 2 5 1影响线的基本概念 一 移动荷载 例如 吊车在吊车梁上运行时 其轮压对吊车梁而言是移动荷载 又如汽车 火车在桥梁上行驶时 其轮压对桥梁来说也是移动荷载 荷载的大小 方向一定 但荷载位置连续变化的荷载就称为移动荷载 汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是 一组竖向集中力 可包括均布荷载 各集中力的大小 方向固定 相互间的位置也固定 作为整体在结构上移动 3 在移动载荷作用下 结构任意截面的内力 M FQ FN 和位移 及支座反力均随移动荷载在结构上的位置变化而变化 结构在移动荷载作用下 主要讨论下述问题 1 对于给定截面C 其位移或内力 例如Mc 当给定的移动荷载在什么位置时得到最大值 该问题是求移动荷载的最不利位置问题 4 2 对于给定的移动荷载组 简支梁AB上哪个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值 该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题 此外 还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图的画法等问题 为求解以上问题 首先要讨论结构影响线的求解 实际移动荷载是由若干集中力及均布荷载组成的 而且每个集中力的大小也不同 但我们首先要讨论的是具有共性的问题 即单个移动荷载FP 1在结构上移动时结构内力和位移的变化规律 5 y 现讨论图a 所示简支梁 当单个荷载FP 1在梁上移动时 支座A的反力FRA的变化规律 6 在影响线图形中 横坐标x表示单位移动荷载在梁上的位置 纵坐标y表示当单位荷载在该位置时 影响系数的大小 上式是反力影响系数与移动荷载位置参数x之间的函数关系 该函数图形就称为反力FRA的影响线 见上页图b 由上式可见 FRA与FP成正比 比例系数称为FRA的影响系数 用表示 即 7 若梁上作用有固定荷载 图c 则根据叠加原理 A支座的反力FRA为 8 当单位集中移动荷载FP 1在结构上移动时 表示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线 称为Z的影响线 量值Z可以是截面内力或位移 也可以是支座反力 影响系数是Z与FP的比例系数 即 二 影响线定义 与Z的量纲不同 它们相差一个荷载FP的量纲 9 5 2静力法作影响线 梁弯矩M的正负号 剪力FQ的正负号 轴力FN的正负号 一 内力和支座反力的正负号 竖向反力通常以向上为正 向下为负 10 二 简支梁的影响线 静力法作影响线 用静力平衡方程求出的函数关系 然后画出函数图形就求得了影响线 1 支座反力影响线 11 FRA影响线 FRB影响线 2 弯矩和剪力影响线 当FP 1在AC段 取CB段作隔离体 12 当FP 1在CB段 取AC段作隔离体 Mc影响线 截面C弯矩和剪力影响线如下图示 13 FQC影响线 14 下面讨论影响线与内力图的区别 x FP 1 A C a b l B 影响线 内力图 15 1 横坐标x 影响线图中 x是移动荷载的位置 内力图中 x是梁截面位置 2 纵坐标y 影响线图中 y是当FP 1在该位置时影响系数的值 内力图中 y是梁该截面的内力值 3 荷载位置 求影响线时 FP 1是移动荷载 内力图中 荷载位置固定 16 在FQC影响线图中 竖标是当FP 1作用于C截面时 FQC左的值 竖标则是FQC右的值 如图所示 FQC影响线 17 三 伸臂梁的影响线 作伸臂梁的影响线时 先画出简支梁的影响线 然后延伸至悬臂段 1 支座反力影响线 FRA及FRB的影响线如右图示 18 当FP 1在DC段时 取CE段作隔离体 图a 2 C截面弯矩及剪力影响线 当FP 1在CE段时 取DC段作隔离体 图b 19 MC影响线 FQC影响线 MC及FQC影响线如下图示 3 作FQA右及A左截面内力影响线 先作FQA右影响线 20 FQA右影响线如下图示 当FP 1在DA段 取AE段作隔离体 图a 当FP 1在AE段 取DA段作隔离体 图b 21 FQA右影响线 容易求得FQA左及MA左影响线见下图 小结 伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的影响线在AB段与简支梁相同 伸臂段图形则是简支段图形的延伸 22 四 结点荷载作用下的影响线 如图简支梁AB 荷载FP 1在上部纵梁上移动 纵梁支在横梁上 横梁由主梁支承 求主梁AB某截面内力Z的影响线 由下面的证明可以得出结论 在结点荷载作用下 主梁截面K某内力Z的影响线在相邻结点之间是一条直线 下面以MK为例加以证明 23 a 24 可见 是的一次函数 也是x的一次函数 所以 MK影响线 图b 在结点C D之间是一直线 证明 1 在直接移动荷载作用下 MK的影响线已经画出 如图a 所示 2 在结点荷载作用下 当FP 1在截面C或D时 可得 3 当移动荷载FP 1作用在C D截面之间时 根据叠加原理可得 图c 25 作结点荷载下影响线的步骤为 1 作截面K的某量值Z在直接移动荷载下的影响线 并确定与各结点对应的竖标 2 在两结点之间连以直线 就得到结点荷载作用下的影响线 FQK影响线如下图所示 FQK影响线 26 例5 2 1作图示梁在结点荷载作用下的影响线 解 27 28 五 静定平面桁架影响线 平面桁架只承受结点荷载 单位移动荷载FP 1通过纵梁 横梁 横梁放置在结点上 系统传给桁架结点 如同前面讨论的简支梁受结点荷载的情况一样 因此 桁架任一杆的轴力影响线在两结点之间是一直线 求桁架杆件轴力的影响线时 把单位移动荷载FP 1依次作用在各结点上 用结点法或截面法求出杆件的轴力即可 29 例5 2 2作图示桁架FN1 FN2的影响线 解 1 支座反力FRA FRB的影响线与跨度为5d的简 30 支梁相同 31 2 求FN1的影响线 上承 当FP 1在结点C左侧 取截面I I以右为隔离体 当FP 1在结点D右侧 取截面I I以左为隔离体 32 求FN1的影响线 下承 当FP 1在结点E左侧 取截面I I以右为隔离体 当FP 1在结点F右侧 取截面I I以左为隔离体 33 3 求FN2的影响线 上承 当FP 1在结点C左侧 取截面I I以右为隔离体 当FP 1在结点D右侧 取截面I I以左为隔离体 相应简支梁节间CD的剪力 34 求FN2的影响线 下承 当FP 1在结点E左侧 取截面I I以右为隔离体 35 当FP 1在结点F右侧 取截面I I以左为隔离体 相应简支梁节间EF的剪力 36 5 3机动法作影响线 机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何问题 对于单跨或多跨梁 由于刚体位移图很容易确定 所以影响线的求解十分简捷 现以下图所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影响线为例进行说明 37 1 撤去与相应的约束 代之以反力 原结构变成具有一个自由度的机构 2 令该机构产生刚体位移 使与Z方向一致 则虚功方程为 上式中 恒为正 与FP同向为正 反向为负 乘积的正负号由的正负号调整 38 可见 在图中 令 并将图反号 就求得Z的影响线 并且能确定影响线的正负号及竖标大小 3 由上式可得 令 得到 39 解 1 作MC的影响线 将C截面变为铰接 暴露出弯矩 令该机构产生刚体位移 使C左 右截面相对转角与同向 就得到图 见下页图 40 虚功方程为 41 令 则 上式表明 在图中 令并反号 就可求得MC影响线 2 作FQC的影响线 将C截面改为滑动连结 暴露出剪力 令该机构产生刚体位移 使C左 右截面位移方向与相同 就得到图 见下页图 42 虚功方程为 令 则 43 上式表明 在图中 令并反号 就可求得FQC影响线 44 例5 3 2用机动法作图示静定多跨梁的影响线 解 45 46 5 4影响线的应用 47 一 求各种固定荷载作用下的影响 若已求得指定截面某量值Z的影响线 根据叠加原理 就可以求得固定荷载作用下该量值Z的大小 梁截面C的弯矩MC的影响线已求得如右图示 求固定荷载作用下的MC值 48 一组集中荷载 均布荷载 二 最不利荷载位置 49 把单个集中移动荷载放在影响线的最大或最小竖标位置 就得到最不利荷载位置 进而求得Zmax或Zmin 使结构指定截面的某量值Z达到最大值Zmax或最小值Zmin时实际移动荷载的位置 称为最不利荷载位置 1 单个集中移动荷载 对于剪力FQC影响线 将集中力FP放在截面C 见右图 就得到 50 对于伸臂梁的MC影响线 见下图 将FP分别放在截面C和E 就得到 2 可任意布置的均布活荷载 可任意布置的均布活荷载通常指人群荷载 把影响线正号部分布满均布活载 可以求得Zmax 把影响线负号部分布满均布活载 可以求得Zmin 51 52 3 一组移动集中荷载 一组移动集中荷载 各集中力的大小 方向及相互间的距离均保持不变 作为整体在结构上移动 为了确定最不利荷载位置 原则上使排列密集 数值较大的集中力放在影响线竖标较大的部位 而且一定有一个集中力位于影响线的某个顶点上 为确定最不利荷载位置 通常分两步 1 求出使Z达到极值的荷载位置 这种荷载位置称为荷载的临界位置 而且可能不止一个 53 2 从Z的极大值中选出最大值 从Z的极小值中选出最小值 从而确定最不利荷载位置 下面以多边形影响线为例 说明临界荷载位置的特点及其判定方法 54 因为是x的一次函数 所以Z也是x的一次函数 若荷载右移动 x 则竖标的增量为 则Z的增量为 在影响线图中 1 0 2 0 3 0 由上面影响线图可得出 55 因为Z是x的一次函数 所以Z x图形是折线图形 于是 Z x是折线图形中各折线段的斜率 对于折线图形 极值发生在使 Z x变号的尖点处 若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值 则 当 x 0 即荷载稍向右移 当 x 0 即荷载稍向左移 56 若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值 则 当 x 0 即荷载稍向右移 当 x 0 即荷载稍向左移 总之 当荷载在Z的极值点位置稍向左 右移动时 必须变号 如何使变号 是常数 可以变化的只是FRi 为了使FRi变化 必须有一个集中力位于影响线的顶点 此荷载记作FPcr 当FPcr位于影响线的顶点以左或以右时 会引起FRi发生变化 如下图示 57 当移动荷载左右移动时 能使改变符号的荷载FPcr称为临界荷载 相应的移动荷载组的位置称为临界位置 58 在给定的移动荷载组中 能使变号的临界荷载可能不止一个 确定最不利荷载位置的步骤如下 1 选定一个集中力作为FPcr 使它位于影响线的一个顶点上 2 当FPcr稍作左右移动时 分别计算的值 若变号 则此FPcr即为一临界荷载 相应的荷载位置为临界位置 用同样的方法可以确定其它的FPcr及相应的荷载临界位置 3 对于每个荷载临界位置求出相应的Z值 比较各个Z值 可确定Zmax及Zmin 进而确定相应的最不利荷载位置 59 例5 4 1如下图多边形影响线及移动荷载组 试求荷载最不利位置和Z的最大值 已知q 37 8kN m FP1 FP2 FP3 FP4 FP5 90kN Z的影响线 60 1 将FP4放在影响线的最高点 移动荷载组的布置如下图示 2 试算 解 Z的影响线 61 若荷载稍向右移 各段荷载合力为 Z的影响线 62 若荷载稍向左移 各段荷载合力为 Z的影响线 63 因为变号 故FP4为临界荷载 相应的荷载位置为临界位置 3 计算Z值 容易确定只有FP4是临界荷载 所以相应的荷载位置就是最不利荷载位置 64 对于三角形影响线 确定荷载的临界位置比较简便 选一集中力放在Z的影响线顶点 使Z取得极大值的条件为 当荷载稍向右移时 当荷载稍向左移时 65 将tg c a及tg c b代入上两式 上式表明 荷载临界位置的特征是 有一集中荷载FPcr位于影响线的顶点 FPcr计入哪一边 哪一边荷载的平均集度就大 66 例5 4 2求反力FRB的最大值并确定最不利荷载位置 FP1 FP2 478 5kN FP3 FP4 324 5kN 解 1 FRB的影响线如上图示 2 将FP2当作FPcr放在影响线顶点 FRB的影响线 67 所以FP2是临界荷载 FRB的影响线 68 3 将FP3当作FPcr放在影响线顶点 FRB的影响线 69 所以 相应的荷载位置为最不利荷载位置 所以FP3也是临界荷载 FRB的影响线 70 例5 4 3求MC的最大值及相应的最不利荷载位置 已知q 92kN m FP1 FP2 FP3 FP4 FP5 220kN a 71 解 1 将FP5当作FPcr放在影响线顶点 如上页图a 所示 所以FP5不是临界荷载 2 将均布荷载跨越影响线顶点 使左右两边荷载平均值相等 见下页图b 72 b 荷载位置b 即为最不利荷载位置 73 例5 4 4求图a 所示均布移动荷载的最不利荷载位置 均布荷载段横跨影响线顶点 若荷载稍向右移动 则CD范围影响线面积增加了yDdx 影响面积减少了yCdx 解 74 所以 令 即 故 75 根据以上讨论 可以用作图法确定最不利荷载位置 如上页图b 所示 另外需要指出 对于剪力影响线 为了确定最不利荷载位置 通常用直观判断并试算即可确定 5 5简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩 76 一 简支梁内力包络图的概念 在给定的移动荷载作用下 用上一节讨论的方法可以求得指定截面某内力Z的最大值Zmax或最小值Zmin 在结构设计中 需要求出每个截面在给定移动荷载作用下内力的最大值和最小值 在给定移动荷载作用下 将各截面内力Z的最大值Zmax连成一条曲线 同样将最小值Zmin也连成一条曲线 这样的图形称为内力包络图 77 作简支梁内力包络图的步骤为 1 将梁分成若干等分 取等分截面作为求Zmax和Zmin的截面 2 作各等分截面内力Z的影响线 3 利用上一节的方法求各等分截面的Zmax和Zmin 然后把各截面的Zmax或Zmin分别连成曲线 即得简支梁的内力包络图 下面以求第三等分截面剪力的最大值和最小值为例进行说明 78 求剪力最大值的荷载位置 82 0 7 0 575 0 283 0 0083 127 07kN 剪力影响线 79 82 0 3 0 0083 25 28kN 求剪力最小值的荷载位置 剪力影响线 80 81 简支梁弯矩包络图 kN m 简支梁弯矩包络图如下图示 二 简支梁的绝对最大弯矩 82 简支梁弯矩包络图中的最大竖标称为绝对最大值 即梁各截面最大弯矩中的最大值 作简支梁弯矩包络图一般不能求得绝对最大弯矩 因为等分截面不可能正好选中绝对最大弯矩的截面 对于同一简支梁 给定不同的移动荷载就可以求得不同的绝对最大弯矩 与求指定截面的最不利荷载位置不同的是 绝对最大弯矩产生的截面位置并不知道 但可以肯定 绝对最大弯矩产生的截面一定有一集中荷载作用并靠近跨中截面 下面讨论如何求简支梁绝对最大弯矩 83 设移动荷载的合力FR在FPcr的右侧 考虑AD段平衡 b1 84 上式中Mcr为D截面左侧荷载对截面D力矩的代数和 令 得到 上式表明 当MD取得极值时 FPcr与FR之间的距离a被梁中点平分 荷载FPcr可以有不同的选择 实际上因为a较小 截面D靠近跨中截面C 故FPcr通常是使跨中截面的弯矩取得极大值的临界荷载 确定FPcr以后 按照FPcr与FR之间的距离a被梁中点平分的原则确定移动荷载在梁上的位置 进而求出弯矩的极值 85 或 当FR在FPcr左侧时 在公式中 a 0 现说明如下 86 如右图示梁 考虑AD段平衡 87 令 得到 如果只使用这一公式 则式中必有a 0 或 88 小结 1 确定FPcr 可选使跨中截面弯矩取得极大值的集中力为FPcr 2 求移动荷载的合力FR 并根据FR与FPcr之间的距离被梁中点平分的原则确定移动荷载在梁上的位置 有时可能有几个集中力移出或移到梁上 此时应重新计算合力确定移动荷载的位置 3 利用公式求 MD max 需要指出 上式求得的只是一个极大值 并不一定就是绝对最大弯矩 应求出可能的几个极大值 从中求得绝对最大弯矩 89 例5 5 1求图示简支梁的绝对最大弯矩 已知FP1 FP2 FP3 FP4 280kN 解 合力为 荷载位置如图示 FR在FPcr的右侧 选FP2为FPcr 90 当FP2在梁中点以右时 移动荷载在梁上的位置如图示 此时FP4已移到梁外 合力 合力相对位置 91 绝对最大弯矩为 此时FR在FPcr的左侧 故取 5 6超静定力的影响线 92 超静定力就是超静定结构的内力和支座反力 作超静定力的影响线有两种方法 1 根据平衡条件和变形协调条件用力法 位移法或力矩分配法等直接求出超静定力的影响系数 此法与静定力影响线的静力法相应 2 利用超静定力的影响线与挠度图之间的比拟关