2015年内蒙古自治区高中数学联赛预赛参考答案.doc

2015年内蒙古自治区高中数学联赛预赛参考答案一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） 1己知，则的值等于 【答案】解:由得, ,所以,所以2设是函数的图像上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 【答案】-3解: 设,易求,3一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为2，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= 解：相关题：(2009年陕西预赛)一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= 解：三个小球的球心构成边长为2的正三角形，则其外接圆半径为设半球的球心为，小球与半球底面相切于点A,如图6，经过点作半球的截面，半圆的半径于点,则在中，由，得4若对任意,都有，则的值是 【答案】-2解法1: ,又,所以, 解法2: 设,根据泰勒公式得，,，所以, 5若实数满足，则的值是 【答案】解: 由柯西不等式得：，显然由已知得上式等号成立，即6对于正整数，若，当最小时，则称为的“最佳分解”，规定关于有下列四个判断： ； ； 其中所有正确的序号是 【答案】 题源： (2014揭阳一模) 对于正整数，若，当最小时，则称为的“最佳分解”，规定关于有下列四个判断： ；其中正确的序号是_ 解析:对于，因为4=14=22，所以f（4）=1，故正确；对于，因为13=131；所以，故正确；对于，对于，因为24=124212=38=46所以，故不正确；对于，因为2013=20131=3671=11183=6133，所以，故不正确故答案为： 7（2013年陕西预赛）已知三个互不相等的整数x、y、z之和介于40与44之间，若x、y、z依次构成公差为d的的等差数列，x+y，y+z，z+x依次构成公比为q的等比数列，则dq的值是 解：42.由x=yd，z=y+d，得x+y=2y d，y+z=2y+d，z+x=2y.又由(x+y)(z+x)=(y+z)2 ，得 2y(2yd)=(2y+d)2 ，即 d(d+6y)=0.因为d0，所以d=-6y.又40x+y+z=3y44，所以 403y443.因为y为整数，所以 y=14.从而 d=-6y=-84.所以q=y+zx+y= 2y+d2y-d=12.故dq = 42.8（2007年福建预赛）数812934756 是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到达排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的，这样的九位数共有 个【答案】432解：在1，2，3，4，5，6中插入7，有6种放法，然后插入8和9，分别有8种和9种放法，所以，共有个满足性质的九位数三、解答题（本题满分 56 分）9（16分）椭圆，一顶点A (0, l) ，是否存在以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由 【提示】设三角形为ABC , AB :, AC: 与椭圆联立，可解得则,从而由椭圆的对称性，可知只存在一个满足要求的等腰直角三角形 题源：(2011-2012浙江温州中学高二(上)期末数学试卷(理科) 设椭圆的左、右焦点分别为 ，是椭圆上位于轴上方的动点 （）当取最小值时，求点的坐标；zxxk（）在（）的情形下，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由.解：（）设，则.因为在椭圆上，所以，.，当时，取最小值时，此时点的坐标为.（）设两个顶点为，显然直线斜率存在，不妨设的直线方程为，代入椭圆的方程中可得，解得（即点的横坐标），.由弦长公式得：.同理：zk.由，即，化解得：，即.考虑关于的方程，其判别式.（1）当时，其两根设为，由于，故两根必为正根，显然，故关于的方程有三解，相应地，这样的等腰直角三角形有三个.（2）当时，此时方程的解，故方程只有一解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个.（3）当时，显然方程只有这一个解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个.综上：当时，这样的等腰直角三角形有三个；当时，这样的等腰直角三角形只有一个.（2015年四川资阳二模）已知椭圆：的焦距为，且经过点()求椭圆的方程；()A是椭圆与轴正半轴的交点, 椭圆上是否存在两点M、N，使得AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.解析：()由题解得，所以椭圆的方程为()由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于轴，故可设AM所在直线的方程为，不妨设，则直线AM所在的方程为联立方程消去整理得，解得，将代入可得，故点.所以同理可得，由，得，所以，则，解得或 当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率 综上所述，符合条件的三角形有个.10(20分）设圆C的方程为，式中是实数，且,设都是区间（）内的实数，且为公差不为0的等差数列，当依次取值时，所对应的圆C的半径依次为，试问：能否成等比数列？为什么？提示将圆C方程配方，可得，若成等比数列，则，因为，所以，由，得即成等差数列，又是等比数列，所以，而，即，所