化椭为圆巧解直线与椭圆问题.doc

化椭为圆巧解直线与椭圆问题甘肃省白银市第九中学 胡贵平 椭圆在伸缩变换下变成了圆，直线在伸缩变换下仍然变成直线，其斜率.用圆的性质来解决直线与椭圆问题，解法简便快捷.一、直线与椭圆的位置关系问题例1判定直线与椭圆的位置关系. 解：作坐标变换 则在新坐标系 中，椭圆变成单位圆，直线的方程变为.因为圆心到直线的距离（单位圆的半径），所以直线与单位圆相交，于是直线与椭圆相交评注:利用单位圆中圆心到直线的距离和半径的大小关系来判断椭圆和直线的位置关系. 设直线为，椭圆为，则直线与椭圆相交等价于,直线与椭圆相切等价于,直线与椭圆相离等价于.二、直线与椭圆的最值问题例2在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离.解：作坐标变换 则在新坐标系 中，椭圆变成单位圆，直线的方程变为.问题化为：在单位圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离.因为过圆心与直线垂直的直线为，它与单位圆的交点为，所以到直线的距离最小，于是椭圆上的点到直线的距离最小，最小距离为.评注:这是人教版4-4上的一道例题，常规解决是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，也可以用向量的方法求解.三、直线与椭圆的中点弦问题例3已知椭圆. (1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （2）过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程； （3）过点且被平分的弦所在直线的方程. 解：(1) 作坐标变换 则在新坐标系 中，椭圆变成单位圆，斜率为2的直线变为斜率为的直线.问题化为：在单位圆中求斜率为的平行弦的中点轨迹方程.设中点为.直线的斜率,即.所以所求轨迹方程为.（2）设过点的直线方程为.作坐标变换 则在新坐标系 中，椭圆变成单位圆，变为,直线l的方程变为.问题化为：过点的直线与单位圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程.设中点为.直线的斜率，被截得的弦的中点轨迹方程为，即.所以所求轨迹方程为（夹在椭圆内的部分）.（3）作坐标变换 则在新坐标系 中，椭圆变成单位圆，变成，问题化为：在单位圆中过点且被平分的弦所在直线的方程.直线的斜率,过点且被平分的弦所在直线的方程为，即.所以所求直线方程为.评注: 原来弦的中点，变换后仍然是弦的中点；过椭圆内一点引动弦的中点的轨迹方程为;设为椭圆为内一定点，过点且以点为中点的弦所在直线的方程为（当时）或（当时）.四、直线与椭圆的相交弦问题例4已知椭圆 直线： ，是上一点，射线交椭圆于R，又点在上且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：作坐标变换 则在新坐标系 中，椭圆变成单位圆，直线的方程变为.在原坐标系中有：.仍成立.设以轴为始边，为终边的角为.令， 则，则 而. .设则即 2+2可得的轨迹方程为：.把代入即得的轨迹方程为：，故点的轨迹是以为中心，长半轴长为，短半轴长为，且焦点在直线上的椭圆（除去原点）评注:上述给出的解法充分利用在新坐标系下“”，极大地简化了计算. 其实，点和点在在伸缩变换下变为点和点，则，其中为直线的斜率.五、直线与椭圆的相切问题例5设为椭圆上一点，求过点的切线的方程. 解：作坐标变换 则在新坐标系 中，椭圆变成单位圆，变成.单位圆过的切线的方程为. 于是椭圆过的切线的方程为. 评注:圆上一点，则经过点的切线方程为，利用该结论我们便可以轻松得到过椭圆上一点的切线方程.类似地还可以求出过椭圆外一点的椭圆的切线方程.解法既可以直接将圆变换为椭圆，也可以将椭圆转化为圆.例6已知点在椭圆上运动，求的最大值.解：作坐标变换 则在新坐标系 中，椭圆变成单位圆， .问题化为：是单位圆上的点，求的最大值.设，则即为直线的斜率.设过点的圆的切线为、，（、为切点）.当和重合时取最大值，此时 时.评注:本题的常规解决是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，或化为椭圆上的点和定点的连线的斜率的最值求解，但运算相对比较复杂一般情况下，解决直线与椭圆问题时，需要联立求解，用韦达定理求解出或者是，较为繁琐，把椭圆变成圆以后，我们就可以利用圆的一些几何性质来解决直线（直线伸缩变换后仍为直线）与椭圆的相交，相切问题.计算也会大大简化.值得注意的是伸缩变换后同一直