高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线.doc

2010 年高考数学选择试题分类汇编年高考数学选择试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 2010 湖南文数 湖南文数 5 设抛物线上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线焦 2 8yx 点的距离是 A 4 B 6 C 8 D 12 2010 浙江理数 浙江理数 8 设 分别为双曲线的左 右焦点 若 1 F 2 F 22 22 1 0 0 xy ab ab 在双曲线右支上存在点 满足 且到直线的距离等于双曲线的实轴P 212 PFFF 2 F 1 PF 长 则该双曲线的渐近线方程为 A B C D 340 xy 350 xy 430 xy 540 xy 解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系 得出 a 与 b 之间的等量关系 可知答案选 C 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点 突出了对计算能力和综合运用 知识能力的考察 属中档题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦 点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB1垂直于 l A1 B 为垂足 过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E 由第二定义得 由 得 即 k 故选 B 20102010 陕西文数 陕西文数 9 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则 p的值为 C A B 1 C 2 D 4 1 2 解析 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一 抛物线y2 2px p 0 的准线方程为 因为抛物线y2 2px p 0 的准线 2 p x 与圆 x 3 2 y2 16 相切 所以2 4 2 3 p p 法二 作图可知 抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切与点 1 0 所以2 1 2 p p 20102010 辽宁文数 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线与FBFB 该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 23 31 2 51 2 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在轴上 设其方程为 x 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 F cBb 一条渐近线斜率为 直线的斜率为 b a FB b c 1 bb ac 2 bac 解得 22 0caac 51 2 c e a 20102010 辽宁文数 辽宁文数 7 设抛物线的焦点为 准线为 为抛物线上一点 2 8yx FlP 为垂足 如果直线斜率为 那么PAl AAF3 PF A B 8 C D 164 38 3 解析 选 B 利用抛物线定义 易证为正三角形 则PAF 4 8 sin30 PF 2010 辽宁理数 辽宁理数 9 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐 近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 23 31 2 51 2 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的焦点 虚轴 渐近线 离心率 考查了两条直线垂 直的条件 考查了方程思想 解析 设双曲线方程为 则 F c 0 B 0 b 22 22 1 0 0 xy ab ab 直线 FB bx cy bc 0 与渐近线 y 垂直 所以 即 b2 ac b x a 1 b b c a A 所以 c2 a2 ac 即 e2 e 1 0 所以或 舍去 15 2 e 15 2 e 2010 辽宁理数 辽宁理数 7 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为 垂足 如果直线 AF 的斜率为 那么 PF 3 A B 8 C D 164 38 3 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的定义 抛物线的焦点与准线 直线与抛物线的位置关系 考查了等价转化的思想 解析 抛物线的焦点 F 2 0 直线 AF 的方程为 所以点3 2 yx 从而 PF 6 2 8 2 4 3 A 6 4 3 P 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 12 已知椭圆 C a b 0 的离心率为 过右焦 22 22 1 xy ab 3 2 点 F 且斜率为 k k 0 的直线于 C 相交于 A B 两点 若 则 k 3AFFB A 1 B C D 223 解析解析 B 设设 1122 A x yB xy 3AFFB 12 3yy 3 2 e 2 3at ct 直 直线线 AB 方程方程为为 代入消去 代入消去 bt 222 440 xyt 3xsyt x 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 解得 解得 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 2 1 2 s 2k 2010 浙江文数 浙江文数 10 设 O 为坐标原点 是双曲线 a 0 b 0 的 1 F 2 F 22 22 xy 1 ab 焦点 若在双曲线上存在点 P 满足 P 60 OP 则该双曲线的渐近线方 1 F 2 F7a 程为 A x y 0 B x y 033 C x 0 D y 02y2x 解析 选 D 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 2010 重庆理数 重庆理数 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 2010 山东文数 山东文数 9 已知抛物线 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物 2 2 0 ypx p 线与 两点 若线段的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为ABAB A B 1x 1x C D 2x 2x 答案 B 2010 四川理数 四川理数 9 椭圆的右焦点 其右准线与轴的交点 22 22 1 xy ab ab Fx 为 A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 则椭圆离心率的取值范围是F w w w k s 5 u c o m A B C D 2 0 2 1 0 2 2 1 1 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等w w w k s5 u c o m 而 FA w w w k s 5 u c o m 22 ab c cc PF a c a c 于是 a c a c 2 b c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc w w w k s 5 u c o m 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 20102010 天津理数 天津理数 5 已知双曲线的一条渐近线方程是 y 22 22 1 0 0 xy ab ab 3x 它的一个焦点在抛物线的准线上 则双曲线的方程为 2 24yx A B 22 1 36108 xy 22 1 927 xy C D 22 1 10836 xy 22 1 279 xy 答案 B 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程 属于容易题 依题意知 所以双曲线的方程为 22 222 3 69 27 b a cab ca b 22 1 927 xy 温馨提示 选择 填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质 这部 分内容也是高考的热点内容之一 在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现 2010 广广东东文数 文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心 率是 A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 20102010 福建文数 福建文数 11 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点 点 P 为椭 22 1 43 xy 圆上的任意一点 则的最大值为OP FP A A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 则有 解得 00 xy 22 00 1 43 xy 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 所以 00 1 FPxy 00 OPxy 2 000 1 OP FPx xy 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 00 1 OP FPx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 因为 所以当时 取得最大值 选 0 2x 0 22x 0 2x OP FP 2 2 236 4 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数 的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算 能力 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 8 已知 为双曲线 C 的左 右焦点 点 P 在 C 1 F 2 F 22 1xy 上 则 1 FP 2 F 0 60 12 PFPF A A 2 B 4 C 6 D 8 8 B 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos P 1 F 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 4 12 PFPF A 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 4 12 PFPF A 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 9 已知 为双曲线 C 的左 右焦点 点P在 C 1 F 2 F 22 1xy 上 P 则P到x轴的距离为 1 F 2 F 0 60 A B C D 3 2 6 2 36 2010 四川文数 四川文数 10 椭圆的右焦点为 F 其右准线与轴 22 22 10 xy a ab b x 的交点为 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值A 范围是 A 0 B 0 C 1 D 1 2 2 1 2 21 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 w w w k s5 u c o mF 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 a c a c 2 b c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 2010 四川文数 四川文数 3 抛物线的焦点到准线的距离是 2 8yx A 1 B 2 C 4 D 8 解析 由 y2 2px 8x 知 p 4w w w k s5 u c o m 又交点到准线的距离就是 p 答案 C 2010 湖北文数 湖北文数 9 若直线与曲线有公共点 则 b 的取值范围yxb 2 34yxx 是 A B 3 1 2 2 12 2 12 C 1 D 3 12 2 1 2 2 20102010 山东理数 山东理数 7 由曲线 y y 围成的封闭图形面积为 来源 W 2 x 3 x A B C D 1 12 1 4 1 3 7 12 答案 A 解析 由题意得 所求封闭图形的面积为 故选 A 123 0 x x dx 111 1 1 3412 命题意图 本题考查定积分的基础知识 由定积分求曲线围成封闭图形的面积 2010 安徽理数 5 双曲线方程为 则它的右焦点坐标为 22 21xy A B C D 2 0 2 5 0 2 6 0 2 3 0 5 C 解析 双曲线的 所以右焦点为 22 1 1 2 ab 2 3 2 c 6 2 c 6 0 2 误区警示 本题考查双曲线的交点 把双曲线方程先转化为标准方程 然后利用 求出 c 即可得出交点坐标 但因方程不是标准形式 很多学生会误认为 222 cab 或 从而得出错误结论 2 1b 2 2b 2010 湖北理数 9 若直线 y x b 与曲线有公共点 则 b 的取值范围是 2 34yxx A 1 12 2 B 1 2 2 12 2 C 1 2 2 3 D 12 3 9 答案 C 解析 曲线方程可化简为 即表示圆心为 2 3 半径 22 2 3 4 13 xyy 为 2 的半圆 依据数形结合 当直线与此半圆相切时须满足圆心yxb 2 3 到直线 y x b 距离等于 2 解得 因为是下半12 212 2bb 或 圆故可得 舍 当直线过 0 3 时 解得 b 3 故12 2b 所以 C 正确 12 23 b 20102010 福建理数 福建理数 A B C D 答案 C 解析 经分析容易得出 正确 故选 C 命题意图 本题属新题型 考查函数的相关知识 20102010 福建理数 福建理数 7 若点 O 和点分别是双曲线的中心和左焦 2 0 F 2 2 2 1 a 0 a x y 点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则的取值范围为 OP FP A B C D 3 2 3 32 3 7 4 7 4 答案 B 解析 因为是已知双曲线的左焦点 所以 即 所以双曲线 2 0 F 2 14a 2 3a 方程为 设点 P 则有 解得 2 2 1 3 x y 00 xy 2 2 0 00 1 3 3 x yx 因为 所以 2 2 0 00 1 3 3 x yx 00 2 FPxy 00 OPxy 此二次函数对应的抛 2 000 2 OP FPx xy 00 2 x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x 物线的对称轴为 因为 所以当时 取得最小值 0 3 4 x 0 3x 0 3x OP FP 故的取值范围是 选 B 4 32 31 3 32 3 OP FP 32 3 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线方程 考查平面向量的数量积的坐标运算 二 次函数的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 20102010 福建理数 福建理数 2 以抛物线的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 2 4yx A B C D 22 x y 2x 0 22 x y x 0 22 x y x 0 22 x y 2x 0 答案 D 解析 因为已知抛物线的焦点坐标为 1 0 即所求圆的圆心 又圆过原点 所以 圆的半径为 故所求圆的方程为 即 选 D r 1 22 x 1 y 1 22 x 2x y 0 命题意图 本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法 属基础题 2010 上海文数 上海文数 8 动点到点的距离与它到直线的距离相等 则的P 2 0 F20 x P 轨迹方程为 y2 8x 解析 考查抛物线定义及标准方程 定义知的轨迹是以为焦点的抛物线 p 2 所以其方程为 y2 8xP 2 0 F 2010 浙江理数 浙江理数 13 设抛物线的焦点为 点 2 2 0 ypx p F 若线段的中点在抛物线上 则到该抛物线准线的距离为 0 2 AFABB 解析 利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 B 点坐标为 所21 4 2 以点 B 到抛物线准线的距离为 本题主要考察抛物线的定义及几何性质 属容易 3 2 4 题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 15 已知抛物线 2 2 0 C ypx p 的准线为l 过 1 0 M且斜 率为3的直线与l相交于点A 与C的一个交点为B 若AMMB 则p 答案 2 命题意图 本题主要考查抛物线的定义与性质 解析 过 B 作 BE 垂直于准线l于 E AMMB M 为中点 1 BMAB 2 又 斜率为3 0 BAE30 1 BEAB 2 BMBE M 为抛物线的焦点 p 2 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 15 已知抛物线 C y2 2px p 0 的准线 l 过 M 1 0 且斜率为 的直线与 l 相交于 A 与 C 的一个交点为 B 若 则 p 解析解析 2 本 本题题考考查查了抛物了抛物线线的几何性的几何性质质 设设直直线线 AB 代入 代入得得 又 又 33yx 2 2ypx 2 3 62 30 xp x 解得 解得 解得 解得 舍去 舍去 AMMB 1 2 2 xp 2 4120pP 2 6pp 20102010 江西理数 江西理数 15 点在双曲线的右支上 若点 A 到右焦点的距 00 A xy 22 1 432 xy 离等于 则 0 2x 0 x 答案 2 解析 考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化 读取 a 2 c 6 r e d 3rd 2 000 23 2 a xxx c 2010 安徽文数 安徽文数 12 抛物线的焦点坐标是 2 8yx 答案 2 0 解析 抛物线 所以 所以焦点 2 8yx 4p 2 0 误区警示 本题考查抛物线的交点 部分学生因不会求 或求出后 误认为焦点pp 还有没有弄清楚焦点位置 从而得出错误结论 0 p 2010 重庆文数 13 已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于 两 2 4yx FAB 点 则 2AF BF 解析 由抛物线的定义可知 1 2AFAAKF 故2ABx 轴AF BF 2010 重庆理数 重庆理数 14 已知以 F 为焦点的抛物线上的两点 A B 满足 2 4yx 3AFFB 则弦 AB 的中点到准线的距离为 解析 设 BF m 由抛物线的定义知 mBBmAA 11 3 中 AC 2m AB 4m ABC 3 AB k 直线 AB 方程为 1 3 xy 与抛物线方程联立消 y 得03103 2 xx 所以 AB 中点到准线距离为 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 20102010 北京文数 北京文数 13 已知双曲线的离心率为 2 焦点与椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 22 1 259 xy 答案 4 0 30 xy 20102010 北京理数 北京理数 13 已知双曲线的离心率为 2 焦点与椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 22 1 259 答案 答案 0 4 30 xy 20102010 天津文数 天津文数 13 已知双曲线的一条渐近线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 它的一个焦点与抛物线的焦点相同 则双曲线的方程为 3yx 2 16yx 答案 22 1 412 xy 解析 本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程 属于容易题 由渐近线方程可知 3 b a 因为抛物线的焦点为 4 0 所以 c 4 又 222 cab 联立 解得 所以双曲线的方程为 22 4 12ab 22 1 412 xy 温馨提示 求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解 注意双曲线中 c 最大 20102010 福建文数 福建文数 13 若双曲线 1 b 0 的渐近线方程式为 y 则 等于 2 x 4 2 2 y b 1 x 2 答案 1 解析 由题意知 解得 b 1 1 22 b 命题意图 本小题考查双曲线的几何性质 待定系数法 属基础题 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 16 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段FCB 的延长线交于点 且 则的离心率为 BFCDBF2FD uu ruur C 16 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程 3 3 与几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数 形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化 问题的捷径 解析 1 如图 22 BFbca 作轴于点 D1 则由 得 1 DDy BF2FD uu ruur 所以 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc xO y B F 1 D D 即 由椭圆的第二定义得 3 2 D c x 22 33 22 acc FDea ca 又由 得 2 BFFD 2 3 2 c aa a 3 3 e 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 设 F 分 BD 所成的比为 22 22 1 xy ab 22 D xy 2 代入 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 2010 湖北文数 湖北文数 15 已知椭圆的两焦点为 点满足 2 2 1 2 x cy 12 F F 00 P xy 则 的取值范围为 直线与椭圆 C 的公 2 2 0 0 01 2 x y 1 PF 2 PF 0 0 1 2 x x y y 共点个数 答案 2 2 2 0 解析 依题意知 点 P 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 P 在原点处时 12max 2 PFPF 当 P 在椭圆顶点处时 取到 12max PFPF 为 21 21 2 2 故范围为 2 2 2 因为 00 xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部 则直 线 0 0 1 2 x x y y 上的点 x y 均在椭圆外 故此直线与椭圆不可能有交点 故交点数为 0 个 3 2010 江苏卷 江苏卷 6 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线上一点 M 点 M 的1 124 22 yx 横坐标是 3 则 M 到双曲线右焦点的距离是 解析 考查双曲线的定义 为点 M 到右准线的距离 4 2 2 MF e d d1x 2 MF 4 d 2010 年高考数学年高考数学试题试题分分类汇编类汇编 圆锥圆锥曲曲线线 2010 上海文数 上海文数 2323 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小小 题满分题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 已知椭圆的方程为 和为的三个顶 22 22 1 0 xy ab ab 0 Ab 0 Bb 0 Q a 点 1 若点满足 求点的坐标 M 1 2 AMAQAB M 2 设直线交椭圆于 两点 交直线于点 若 11 lyk xp CD 22 lyk x E 证明 为的中点 2 12 2 b kk a ECD 3 设点在椭圆内且不在轴上 如何构作过中点的直线 使得 与椭圆P xPQFll 的两个交点 满足 令 点的 1 P 2 P 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ 10a 5b P 坐标是 8 1 若椭圆上的点 满足 求点 的坐标 1 P 2 P 12 PPPPPQ 1 P 2 P 解析 1 22 ab M 2 由方程组 消 y 得方程 1 22 22 1 yk xp xy ab 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线交椭圆于 两点 11 lyk xp CD 所以 0 即 2222 1 0a kbp 设 C x1 y1 D x2 y2 CD 中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 消 y 得方程 k2 k1 x p 1 2 yk xp yk x 又因为 所以 2 2 2 1 b k a k 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故 E 为 CD 的中点 3 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上 所以点 F 在椭圆 内 可以求得直线 OF 的斜率 k2 由知 F 为 P1P2的中点 根据 2 可得直线 l 的斜率 从而得直 12 PPPPPQ 2 1 2 2 b k a k 线 l 的方程 直线 OF 的斜率 直线 l 的斜率 1 1 2 F 2 1 2 k 2 1 2 2 1 2 b k a k 解方程组 消 y x2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P2 8 3 22 1 1 2 1 10025 yx xy 2010 湖南文数 湖南文数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A B 两点各建一个考察 基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系 图 4 考察范围到 A B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域 I 求考察区域边界曲线的方程 II 如图 4 所示 设线段 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融 12 PP 化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以 后每年移动的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 A 恰好在冰川边界 线上 2010 浙江理数 浙江理数 21 本题满分 15 分 已知 m 1 直线 椭圆 2 0 2 m l xmy 分别为椭圆的左 右焦点 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F FC 当直线 过右焦点时 求直线 的方程 l 2 Fl 设直线 与椭圆交于两点 lC A B 12 AFFV 的重心分别为 若原点在以线段为直径的圆 12 BFFV G HOGH 内 求实数的取值范围 m 解析 本题主要考察椭圆的几何性质 直线与椭圆 点与圆的位置关系等基础知识 同时 考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力 解 因为直线经过 所以 l 2 0 2 m xmy 2 2 1 0 Fm 2 2 1 2 m m 得 2 2m 又因为 所以 1m 2m 故直线 的方程为 l 2 2 20 2 xy 解 设 1122 A x yB xy 由 消去得 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m x 2 2 210 4 m ymy 则由 知 2 22 8 1 80 4 m mm 2 8m 且有 2 1212 1 282 mm yyy y A 由于 12 0 0 FcF c 故为的中点 O 12 FF 由 2 2AGGO BHHO 可知 1121 3333 xyxy Gh 22 2 1212 99 xxyy GH 设是的中点 则 MGH 1212 66 xxyy M 由题意可知2 MOGH 即 22 22 12121212 4 6699 xxyyxxyy 即 1212 0 x xy y 而 22 12121212 22 mm x xy ymymyy y 2 2 1 1 82 m m 所以 2 1 0 82 m 即 2 4m 又因为且1m 0 所以 12m 所以的取值范围是 m 1 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 21 本小题满分 12 分 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C 22 22 100 xy ab ab 相交于B D两点 且 BD的中点为 1 3M 求C的离心率 设C的右顶点为A 右焦点为F 17DF BF A 证明 过A B D三点的圆 与x轴相切 命题意图 本题主要考查双曲线的方程及性质 考查直线与圆的关系 既考查考生的基 础知识掌握情况 又可以考查综合推理的能力 参考答案 点评 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目 命题者将好多考点以圆锥曲线 为背景来考查 如向量问题 三角形问题 函数问题等等 试题的难度相对比较稳定 20102010 陕西文数 陕西文数 20 本小题满分 13 分 求椭圆 C 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 P 与椭圆相交 于 A B 两点的直线 立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 若不存在 请说明理由 20102010 辽宁文数 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 分别为椭圆的左 右焦点 过的直线 与椭 1 F 2 F 22 22 1 xy C ab 0 ab 2 Fl 圆 相交于 两点 直线 的倾斜角为 到直线 的距离为 CA Bl60 1 Fl2 3 求椭圆的焦距 C 如果 求椭圆的方程 22 2AFF B C 解 设焦距为 由已知可得到直线 l 的距离2c 1 F32 3 2 cc 故 所以椭圆的焦距为 4 C 设直线 的方程为 112212 0 0 A x yB xyyy 由题意知l3 2 yx 联立 22224 22 22 3 2 3 4 330 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3 22 3 22 33 baba yy abab 因为 2212 2 2 AFF Byy 所以 即 22 2222 3 22 3 22 2 33 baba abab 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆的方程为C 22 1 95 xy 2010 辽宁理数 辽宁理数 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 22 22 1 0 xy ab ab A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 求椭圆 C 的方程 15 4 解 设 由题意知 0 0 1122 A x yB xy 1 y 2 y 直线 l 的方程为 其中 3 yxc 22 cab 联立得 22 22 3 1 yxc xy ab 22224 3 2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3 2 3 2 33 b cab ca yy abab 因为 所以 2AFFB 12 2yy 即 22 2222 3 2 3 2 2 33 b cab ca abab 得离心率 6 分 2 3 c e a 因为 所以 21 1 1 3 AByy 2 22 24 315 343 ab ab 由得 所以 得 a 3 2 3 c a 5 3 ba 515 44 a 5b 椭圆 C 的方程为 12 分 22 1 95 xy 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C 相交于 B D 两点 且 BD 的 22 22 1 0 0 xy ab ab 中点为 M 1 3 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D 三点的圆 与 x 轴相切 解析解析 本本题题考考查查了了圆锥圆锥曲曲线线 直 直线线与与圆圆的知的知识识 考 考查查学生运用所学知学生运用所学知识识解决解决问题问题的能力 的能力 1 由直 由直线过线过点 点 1 3 及斜率可得直 及斜率可得直线线方程 直方程 直线线与双曲与双曲线线交于交于 BD 两点的中点两点的中点为为 1 3 可 可 利用直利用直线线与双曲与双曲线线消元后根据中点坐消元后根据中点坐标标公式找出公式找出 A B 的关系式即求得离心率 的关系式即求得离心率 2 利用离心率将条件 利用离心率将条件 FA FB 17 用含 用含 A 的代数式表示 即可求得的代数式表示 即可求得 A 则则 A 点坐点坐标标可得可得 1 0 由于 由于 A 在在 X 轴轴上所以 只要上所以 只要证证明明 2AM BD 即即证证得 得 20102010 江西理数 江西理数 21 本小题满分 12 分 设椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 抛物线 22 2 Cxbyb 1 若经过的两个焦点 求的离心率 2 C 1 C 1 C 2 设 A 0 b 又 M N 为与不在 y 轴上的两个交点 若 AMN 5 3 3 4 Q 1 C 2 C 的垂心为 且 QMN 的重心在上 求椭圆和抛物线的方程 3 4 Bb 0 2 C 1 C 2 C 解析 考查椭圆和抛物线的定义 基本量 通过交点三角形来确认方程 1 由已知椭圆焦点 c 0 在抛物线上 可得 由 22 cb 2 2222 2 12 2 22 c abcce a 有 2 由题设可知 M N 关于 y 轴对称 设 由的垂心为 B 有 11111 0 Mx yN x yx AMN 2 111 3 0 0 4 BM ANxyb yb 由点在抛物线上 解得 11 N x y 22 11 xbyb 11 4 b yyb 或舍去 故 得重心坐标 1 555 22424 bb xb MbNb QMN 3 4 b 由重心在抛物线上得 又因为 2 2 3 2 4 b bb 所以 11 5 5 22 MN M N 在椭圆上得 椭圆方程为 抛物线方程为 2 16 3 a 22 16 3 1 4 xy 2 24xy 2010 安徽文数 安徽文数 17 本小题满分 12 分 椭圆E经过点 2 3A 对称轴为坐标轴 焦点 12 F F在x轴上 离心率 1 2 e 求椭圆E的方程 求 12 F AF 的角平分线所在直线的方程 17 命题意图 本题考查椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 直线的点斜式方 程与一般方程 点到直线的距离公式等基础知识 考查解析几何的基本思想 综合运算能 力 解题指导 1 设椭圆方程为 把点代入椭圆方程 把离心率 22 22 1 xy ab 2 3A 用表示 再根据 求出 得椭圆方程 2 可以设直线 l 上 1 2 e a c 222 abc 22 a b 任一点坐标为 根据角平分线上的点到角两边距离相等得 x y 346 2 5 xy x 解 设椭圆 E 的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1 11 3 1 2243 13 1 2 1 1612 3 2 0 2 0 2 4 3460 2 xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将 2 3 代入 有解得 椭圆的方程为 由 知F所以直线的方程为y 即直线的方程为由椭圆的图形知 F的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510 280 xy AFx xyxxy AF 数 设P x y 为F的角平分线所在直线上任一点 则有 若得其斜率为负 不合题意 舍去 于是3x 4y 6 5x 10 即2x y 1 0 所以 F的角平分线所在直线的方程为2x y 1 0 规律总结 对于椭圆解答题 一般都是设椭圆方程为 根据题目满足的条件 22 22 1 xy ab 求出 得椭圆方程 这一问通常比较简单 2 对于角平分线问题 利用角平分线 22 a b 的几何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 2010 重庆文数 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知以原点为中心 为右焦点的双曲线的离心率 O 5 0 FC 5 2 e 求双曲线的标准方程及其渐近线方程 C 如题 21 图 已知过点的直线 与过点 11 M x y 1 l 11 44x xy y 其中 的直线 的交点在双曲线上 直线 22 N xy 21 xx 2 l 22 44x xy y EC 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点 求的值 MNGHOG OH A 2010 浙江文数 浙江文数 22 本题满分 15 分 已知 m 是非零实数 抛物线 p 0 2 2Cyps 的焦点 F 在直线上 2 0 2 m l xmy I 若 m 2 求抛物线 C 的方程 II 设直线 与抛物线 C 交于 A B Al 的重心分别为 G H 2 A F 1 BB F 求证 对任意非零实数 m 抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外 2010 重庆理数 重庆理数 20 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 已知以原点 O 为中心 为右焦点 5 0F 的双曲线 C 的离心率 5 2 e I 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 II 如题 20 图 已知过点的直线与过点 11 M x y 111 44lx xy y 其中 的直线的交点 E 在双曲线 C 上 22 N xy 2 xx 222 44lx xy y 直线 MN 与两条渐近线分别交与 G H 两点 求的面积 OGH 2010 山东文数 山东文数 22 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆过点 22 22 1 0 xy ab ab 离心率为 左 右焦点分别为 2 1 2 2 2 1 F 点为直线上且不在轴上的任意 2 FP 2l xy x 一点 直线和与椭圆的交点分别为 1 PF 2 PFAB 和 为坐标原点 CDO I 求椭圆的标准方程 II 设直线 的斜线分别为 1 PF 2 PF 1 k 2 k i 证明 12 13 2 kk ii 问直线 上是否存在点 使得直线 的斜率 lPOAOBOCOD OA k 满足 若存在 求出所有满足条件的点的坐 OB k OC k OD k0 OAOBOCOD kkkk P 标 若不存在 说明理由 20102010 北京文数 北京文数 19 本小题共 14 分 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 离心率是 直线 y t 椭 2 0 2 0 6 3 圆 C 交与不同的两点 M N 以线段为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与 x 轴相切 求圆心 P 的坐标 设 Q x y 是圆 P 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 且 所以 6 3 c a 2c 22 3 1abac 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y 由题意知 0 11 ptt 由 得 2 2 1 3 yt x y 2 3 1 xt 所以圆 P 的半径为 2 3 1 t 解得 所以点 P 的坐标是 0 3 2 t 3 2 由 知 圆 P 的方程 因为点在圆 P 上 所以 222 3 1 xytt Q x y 222 3 1 3 1 yttxtt 设 则cos 0 t 2 3 1 cos3sin2sin 6 tt 当 即 且 取最大值 2 3 1 2 t 0 x y 20102010 北京理数北京理数 19 本小题共 14 分 www ks 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 I 解 因为点 B 与 A关于原点对称 所以点得坐标为 1 1 OB 1 1 设点的坐标为P x y 由题意得 111 113 yy xx A 化简得 22 34 1 xyx 故动点的轨迹方程为P 22 34 1 xyx II 解法一 设点的坐标为 点 得坐标分别为 P 00 xyMN 3 M y 3 N y 则直线的方程为 直线的方程为AP 0 0 1 1 1 1 y yx x BP 0 0 1 1 1 1 y yx x 令得 3x 00 0 43 1 M yx y x 00 0 23 1 N yx y x 于是得面积PMNA 2 000 0 2 0 3 1 3 2 1 PMNMN xyx Syyx x A 又直线的方程为 AB0 xy 2 2AB 点到直线的距离 PAB 00 2 xy d 于是的面积PABA 00 1 2 PAB SAB dxy A A 当时 得 PABPMN SS AA 2 000 00 2 0 3 1 xyx xy x 又 00 0 xy 所以 解得 2 0 3 x 2 0 1 x 0 5 3 x 因为 所以 22 00 34xy 0 33 9 y 故存在点使得与的面积相等 此时点的坐标为 PPABAPMNAP 533 39 解法二 若存在点使得与的面积相等 设点的坐标为PPABAPMNAP 00 xy 则 11 sin sin 22 PAPBAPBPMPNMPN AA 因为 sinsinAPBMPN 所以 PAPN PMPB 所以 00 0 1 3 3 1 xx xx 即 解得 22 00 3 1 xx 0 x 5 3 因为 所以 22 00 34xy 0 33 9 y 故存在点S 使得与的面积相等 此时点的坐标为PPABAPMNAP 533 39 2010 四川理数 四川理数 20 本小题满分 12 分 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是 1 2 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 w w w k s5 u c o m 本小题主要考察直线 轨迹方程 双曲线等基础知识 考察平面机袭击和的思想方法及推 理运算能力 解 1 设 P x y 则 22 1 2 2 2 xyx 化简得 x2 1 y 0 4 分 2 3 y 2 当直线 BC 与 x 轴不垂直时 设 BC 的方程为 y k x 2 k 0 与双曲线 x2 1 联立消去 y 得w w w k s5 u c o m 2 3 y 3 k 2x2 4k2x 4k2 3 0 由题意知 3 k2 0 且 0 设 B x1 y1 C x2 y2 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 k2 4 22 22 438 33 kk kk w w w k s5 u c o m 2 2 9 3 k k 因为 x1 x2 1 所以直线 AB 的方程为 y x 1 1 1 1 y x 因此 M 点的坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 同理可得w w w k s5 u c o m 1 1 33 2 2 1 y FM x 2 2 33 2 2 1 y FN x 因此 2 12 12 93 22 1 1 y y FM FN xx A 2 2 22 22 81 4 3 4349 4 1 33 k k kk kk 0 当直线 BC 与 x 轴垂直时 起方程为 x 2 则 B 2 3 C 2 3 AB 的方程为 y x 1 因此 M 点的坐标为 1 3 2 2 3 3 2 2 FM 同理可得 33 22 FN 因此 0w w w k s5 u c o m 2 333 222 FM FN A 综上 0 即 FM FNFM FN A 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F 12 分 20102010 天津文数 天津文数 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 a b 0 的离心率 e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 22 22 1 xy ab 3 2 为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 求直线 l 的倾斜角 4 2 AB 5 ii 若点 Q在线段 AB 的垂直平分线上 且 求的值 y0 0 QA QB 4 Ay0 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间