2016年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)(解析版).doc

2016年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=2，1，0，1，2，3，B=x|x22x30，则AB=（）A1，0B0，1，2C1，0，1D2，1，02设复数z满足=i，则z的虚部为（）A2B0C1D13为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样4等比数列an的前n项和为Sn，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（）ABC2D25设函数f（x）=，若f（a）1，则a的取值范围是（）A（，1）（2，+）B（0，+）C（2，+）D（，0）（2，+）6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB32CD7已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，2），且圆心C在直线l：xy+1=0上，则点C与坐标原点的距离为（）AB5C13D258执行如图所示的程序框图，若输入的x，y，k分别为1，2，3，则输出的N=（）ABCD9已知M是球O的直径CD上的一点，CM=MD，CD平面，M为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（）A3B9CD10已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）ABCD11如图，已知AB是圆O的直径，AB=2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记POB=x，将OPC和PCD的面积之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）取最大值时x的值为（）ABCD12定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x）且在0，2上为增函数，若方程f（x）=m（m0）在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为（）A8B8C0D4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设，是夹角为60的两个单位向量，若=+与=23垂直，则=14若，则目标函数z=x+2y的取值范围是15已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为5，则a=16已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan+1=4Sn1，则a10=三、解答题（共5小题，满分60分）17已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积的最大值18随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3020.10（30，3540.20（35，4050.25（40，45mfm（45，50nfn（1）确定样本频率分布表中m，n，fm和fn的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35的概率19如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=DAB=90，SA平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）（1）求C的方程；（2）在C上是否存在点P，使SPAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）若a=2，求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（2）求函数f（x）在1，e上的最小值及相应的x值；（3）若存在x1，e，使得f（x）（a+2）x成立，求实数a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC，CD若tanCED=，O的半径为3（1）证明：BC2=BDBE（2）求OA的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C：=2cos，直线l：（t是参数）（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为45的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|2|x+a|，a0（1）若a=1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积小于6，求a的取值范围2016年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=2，1，0，1，2，3，B=x|x22x30，则AB=（）A1，0B0，1，2C1，0，1D2，1，0【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即B=（1，3），A=2，1，0，1，2，3，AB=0，1，2，故选：B2设复数z满足=i，则z的虚部为（）A2B0C1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】设z=a+bi，a，bR，根据复数的运算法则，得到，解得即可【解答】解：设z=a+bi，a，bR，=i，1z=i+zi，1abi=i+aib，a=0，b=1，故选：C3为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样【考点】分层抽样方法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理故选：C4等比数列an的前n项和为Sn，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（）ABC2D2【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，S4=a2+a3+9a1，a5=32，a4=8a1即， =32，则a1=2=q故选：C5设函数f（x）=，若f（a）1，则a的取值范围是（）A（，1）（2，+）B（0，+）C（2，+）D（，0）（2，+）【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数的表达式，分别对a进行分类讨论即可得到结论【解答】解：若a1，由f（a）1得l0g2a1，即a2，此时a2，若a1，则由f（a）11得2a1，则a0，即a0，此时a0综上a2或a0，即a的取值范围是（，0）（2，+），故选：D6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB32CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，后底面与下面的侧面垂直【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，后底面与下面的侧面垂直该几何体的体积V=424=故选：D7已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，2），且圆心C在直线l：xy+1=0上，则点C与坐标原点的距离为（）AB5C13D25【考点】直线与圆的位置关系【分析】设圆心为C（a，b），由圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，2），且圆心C在直线l：xy+1=0上，列出方程组，求出C点坐标，由此能求出点C与坐标原点的距离【解答】解：设圆心为C（a，b），则，解得a=3，b=2，点C与坐标原点的距离为d=故选：A8执行如图所示的程序框图，若输入的x，y，k分别为1，2，3，则输出的N=（）ABCD【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的N，x，y，n的值，当n=4时不满足条件3n，退出循环，输出N的值为【解答】解：模拟执行程序，可得x=1，y=2，k=3，n=1满足条件3n，N=，x=2，y=，n=2满足条件3n，N=，x=，y=，n=3满足条件3n，N=，x=，y=，n=4不满足条件3n，退出循环，输出N的值为故答案为：B9已知M是球O的直径CD上的一点，CM=MD，CD平面，M为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（）A3B9CD【考点】球的体积和表面积【分析】设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，CM=MD，平面与球心的距离为R，截球O所得截面的面积为，d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，R2=球的表面积S=4R2=故选：C10已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，|PF2|ca，从而求得此双曲线的离心率e的最大值【解答】解：P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，|PF1|=4|PF2|，4|PF2|PF2|=2a，即|PF2|=a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|=aca，ac，即e，此双曲线的离心率e的最大值为，故选：C11如图，已知AB是圆O的直径，AB=2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记POB=x，将OPC和PCD的面积之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）取最大值时x的值为（）ABCD【考点】函数的最值及其几何意义【分析】由三角形面积公式可得SOPC=sinx，由余弦定理可得PC2=12+22212cosx=54cosx，从而求得SPCD=（54cosx），再利用三角恒等变换求最大值时的x的值【解答】解：SOPC=OPOCsinx=sinx，PC2=12+22212cosx=54cosx，SPCD=PC2sin=（54cosx），故f（x）=sinx+（54cosx），f（x）=sinxcosx+=2sin（x）+，故当x=，即x=时，有最大值；故选A12定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x）且在0，2上为增函数，若方程f（x）=m（m0）在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为（）A8B8C0D4【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用【分析】由条件“f（x4）=f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在0，2上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在0，2上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2（6），另两个交点的横坐标之和为22，所以x1+x2+x3+x4=8故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设，是夹角为60的两个单位向量，若=+与=23垂直，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据条件便可以得到，而根据与垂直，从而有，进行数量积的运算即可得出关于的方程，解方程便可得出的值【解答】解：根据题意，；=；解得故答案为：14若，则目标函数z=x+2y的取值范围是2，6【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+2y表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值与最小值即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示因为直线z=x+2y过可行域内B（2，2）的时候z最大，最大值为6；过点C（2，0）的时候z最小，最小值为2所以线性目标函数z=x+2y的取值范围是2，6故答案为：2，615已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为5，则a=【考点】二项式系数的性质【分析】根据（1+x）5展开式的各项特征，得出（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数是a+，由此列出方程求a的值【解答】解：（1+x）5=1+x+x2+x3+，（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为a+=5，即10a+10=5，解得a=故答案为：16已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan+1=4Sn1，则a10=19【考点】数列递推式【分析】利用递推关系可得：an+1an1=4，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：anan+1=4Sn1，a2=3，当n2时，an1an=4Sn11，化为anan+1an1an=4an，又an0，an+1an1=4，数列a2k（kN*）为等差数列，公差为4，a10=3+4（51）=19，故答案为：19三、解答题（共5小题，满分60分）17已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由条件利用正弦定理可得b2+c2bc=4再由余弦定理可得A=（2）利用基本不等式可得bc4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，ABC为等边三角形，从而求得面积的最大值【解答】解：（1）ABC中，a=2，且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，利用正弦定理可得（2+b）（ab）=（cb）c，即 b2+c2bc=4，即b2+c24=bc，cosA=，A=（2）再由b2+c2bc=4，利用基本不等式可得 42bcbc=bc，bc4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=22=，故ABC的面积的最大值为：18随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3020.10（30，3540.20（35，4050.25（40，45mfm（45，50nfn（1）确定样本频率分布表中m，n，fm和fn的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）利用频数定义能求出m，n，利用频率计算公式能求出fm，fn（2）由频率分布直方图，能画出频率分布列图（3）根据题意B（3，0.2），由此能求出至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35的概率【解答】解：（1）20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36（40，50区间内的频数m=6，（45，50区间内的频数n=3，fm=0.3，fn=0.15（2）由频率分布直方图，画出频率分布列如下图：（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35的频率为0.2，设所取的3人中，日加工零件数落在区间（30，35的人数为，则B（3，0.2），P（1）=1P（=0）=1（10.2）3=0.488至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35的概率为0.48819如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=DAB=90，SA平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平行投影及平行投影作图法【分析】（1）取SC中点N，连结MN，DN，AM，则作出截面MADN，截面MADN是平行四边形（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD与平面MADN所成角的正弦值【解答】解：（1）M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N，N是SC中点，即取SC中点N，连结MN，DN，AM，则作出截面MADN理由如下：M是SB中点，N是SC中点，MNBC，且MN=BC，底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=DAB=90，SA平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，ADBC，且AD=，MNAD，M、A、D、N四点共线，截面MADN是平行四边形（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，C（2，2，0），D（1，0，0），B（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），A（0，0，0），=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），设平面MADN的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），设直线CD与平面MADN所成角为，则sin=直线CD与平面MADN所成角的正弦值为20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）（1）求C的方程；（2）在C上是否存在点P，使SPAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由已知直线方程求得c值，再由“点差法”结合已知得到a2=2b2，结合隐含条件求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）求出过F1与直线x+y=0平行的直线方程，与椭圆方程联立求得使SPAB=S的点P的坐标，在验证直线x+y=0的右上侧椭圆上不存在满足条件的P得答案【解答】解：（1）由直线x+y=0过F2，取y=0，得x=，即c=设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式作差可得：，化为，则，联立，解得a2=6，b2=3椭圆C的方程为：；（2）如图，由（1）可得，F1（），过F1且与直线x+y=0平行的直线方程为y=1（x+），即y=x，联立，解得或椭圆上的两点P（0，）、（）满足SPAB=S；再设与直线x+y=0平行的直线方程为x+y=m，联立，可得3x24mx+2m26=0，由=16m212（2m26）=728m2=0，解得m=3，当m=3时，直线x+y=3与直线x+y=0的距离为，而直线x+y+与直线x+y=0的距离为，直线x+y=0的右上侧，椭圆上不存在点P，满足SPAB=S综上，椭圆上的两点P（0，）、（）满足SPAB=S21已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）若a=2，求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（2）求函数f（x）在1，e上的最小值及相应的x值；（3）若存在x1，e，使得f（x）（a+2）x成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）当a=2时故函数 在（1，+）上是增函数（2），当x1，e，2x2+aa+2，a+2e2若a2，f（x）在1，e上非负，故函数f（x）在1，e上是增函数若2e2a2，当时f（x）=0，当时，f（x）0，此时f（x）是减函数； 当时，f（x）0，此时f（x）是增函数所以此时有最值若a2e2，f（x）在1，e上非正，所以f（x）min=f（e）=a+e2（3）由题意可化简得（x1，e），令（x1，e），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=1【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x22lnx，当x（1，+），（2），当x1，e，2x2+aa+2，a+2e2若a2，f（x）在1，e上非负（仅当a=2，x=1时，f（x）=0），故函数f（x）在1，e上是增函数，此时f（x）min=f（1）=1若2e2a2，当时，f（x）=0；当时，f（x）0，此时f（x）是减函数； 当时，f（x）0，此时f（x）是增函数故f（x）min=若a2e2，f（x）在1，e上非正（仅当a=2e2，x=e时，f（x）=0），故函数f（x）在1，e上是减函数，此时f（x）min=f（e）=a+e2综上可知，当a2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当2e2a2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e（3）不等式f（x）（a+2）x，可化为a（xlnx）x22xx1，e，lnx1x且等号不能同时取，所以lnxx，即xlnx0，因而（x1，e）令（x1，e），又，当x1，e时，x10，lnx1，x+22lnx0，从而g（x）0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在1，e上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=1，所以a的取值范围是1，+）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC，CD若tanCED=，O的半径为3（1）证明：BC2=BDBE（2）求OA的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由等腰三角形的三线合一，连接OC，可得ACO=90，由圆的切割线定理即可得到；（2）先由三角形相似的判定定理可知BCDBEC，得BD与BC的比例关系，再由切割线定理列出方程，求出OA的长【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，由OA=OB，CA=CB，即有OCA