问题探究结论应用——对两道高考试题的探究性学习.pdf

2 0 1 4 年第3 期中学数学研究 2 3 而命题者苦心经营 又最有话语权的好题 他们完全 可以不去理会或少有问津 这恐怕不是命题者的初 衷吧 反之 若拿掉问题3 问题2 的价值就会上升 一方面学生有机会得高分 另一方面对考生来说面 对一个l O 分的题是做还是不做 就成了一个二难 选择 基于以上理由 一份好的试题是要让每一个问 题都能发挥其应有的选拔功能 使其效率最大化 在 追求 在主干知识的交汇点设置试题 的同时 不要 拘泥子传统试题的命题模式 更不能像以往的 压 轴题 成为一个装饰 否则 只能将数学的该有的 1 5 0 分降低为1 4 0 分 削弱了数学在高考分值中的 权重 问题探究结论应用 对两道高考试题的探究性学习 福建省宁德市高级中学 3 5 2 1 0 0 林瀚 倡导学生自 主学习 自主探索 使学生学习的过程成为在教师引 导下的 再创造 过程 并指出 教师要创设适当的 问题情境 鼓励学生发现数学规律和问题解决的途 径 使他们经历知识形成的过程 高中数学课程 应力求通过各种不同的自主学习 探究活动 让学生 体验数学发现和创造的历程 发展他们的创新意 识 本文从两道高考试题出发 引导学生进行探究 性学习 让学生经历这种在教师引导下的 再创造 过程 一 试题呈现 例1 2 0 0 8 年同济大学自主招生试题 求满足方程组f 茹2 严 2 号 的实数戈 一8 石 6 一2 4 z 3 9 y z 的值 例2 2 0 1 2 年全国高考湖北卷试题 设口 6 c 石 Y z 是正数 且口2 b 2 C 2 1 0 茹2 广 4 0 似 b y 馏 2 0 则著篝 A B c 号A 手 以上两道关于x y z 的三元方程组的试题 大 多数学生可以解决 但仅仅会解是远远不够的 在教 学中 我引导学生对这两道试题进行观察 分析 提 出有意义的数学问题 研究其一般规律 通过演绎推 理得出数学结论 揭示问题的本质 寻求解决问题的 一般方法 二 提出问题 这两道试题方程的形式相近 都是有三个未知 元 却只有两个关于x y z 的方程 且都涉及到方程 组的解 可以引导学生观察 分析 启发 引导学生提 出一般性问题 问题关于实数毛 i 1 2 n 的n 元方程 组P1 屯 口一 砷 其中 口2 2 o 巧 茗 q 口 p q 为实常数 q 0 在什么情况下有解 解是什么或解的范围是什么 在什么情况下无解 三 探究结论 原方程组即 J 口l 黾十吻毛十 十嘶 1 毛 I q l X l l 十口 p 一吨毛 靖 重乙 1 q 一霉 记s 2 口 口 口1 2 由此及柯西不等式 得 s 2 一口2 q 一石2 口 口 口 l 口乙l 茹 宅 茹三l 茗乙1 茹2 口1 茹l 口2 屯 口i l 石 一1 口 1 茹 1 口 石 2 P 一口i 茹i 2 即 s 2 一口2 q 一茗2 P 一口 石 2 亦即 s 2 茹 一2 口i p 茹i p 2 一q s 2 一口2 0 其判别式 4 口2 p 2 4 s 2 p 2 一g s 2 一口i 2 4 p 2 a 一s 2 4 q s 2 s 2 一口2 i 4 s 2 一口2 q s 2 一P 2 4 s 2 一Z 记 q s 2 一p 2 于是 1 当 0 时 0 不等式 有唯一实数 解为 等 则原方程组有唯一组实数解 芋 竿 竿 s 2 S 2 万方数据 2 4 中学数学研究2 0 1 4 年第3 期 2 当 0 时 0 不等式 有无穷多个 实数解毛 且 满足型尘j 丛掣 石 型尘生笾掣 则原方程组有无穷多组实数解 戈l 石 且X i i 1 2 3 n 满足前述不 等式 3 由 1 2 知 0 j 原方程组有实数 解 反之 原方程组有实数解j 不等式 有实数解 j d 4 s 2 一口2 0 o A 0 4 a 0 O A 4 s 2 一口2 0 时 原方程组有无穷多组实数解 石 茹 茹 且X i 满足型尘 掣 瓤 堕型霉兰丝 i 1 2 n 原方程组有实数解的充要条件是 O 原方程组无实数解的充要条件是 O 记 q n P 2 则 1 当 0 时 原方程组有唯一组实数解 r 卫卫 卫 n 玷 n 2 当 0 时 原方程组有无穷多组实数解 互l X 2 茹 且瓤满足 p V 1 a 瓤 p n 1 A i 1 2 n 3 原方程组有实数解的充要条件是厶 0 4 原方程组无实数解的充要条件是 o 求证o 毛 警 1 9 8 8 年四川省高中数学竞赛 试题 筒证 口l 口z 口l 1 p 口 q 南 则厶 g n p 2 刍 n 一口2 l 一2 o 据推 妣脯 警飘 a N n l 丑a 2 即 毛 2 一t l 例6 设礼 X 2 毛ER 且满足 气 口 互省t 6 求证 1 了n 11 口2 2 6 o 0 时 据推论 2 a n 1 n 1 a 2 2 b n 茹 a n 1 n 1 a 2 2 一b n 由此即得 卜詈卜孚户一暑 i 2 n 当 0 时 据推论 1 得毛 詈 即气一詈 o 也 适合上式 综上 原不等式成立 评注 由 0 应用结论 或推论 2 或 3 使一类不等式巧妙获证 例7设茹 y z 是三个实数 且 f 专 亨22 则上 上 上的值是 7 7 2 21 A 一 B 妊 C 毛D 矗 1 9 9 1 年南昌市初中数学竞赛试题 筒析 n 3 口1 a 2 口3 1 P 2 q 1 则 q n P 2 1 3 2 2 0 据推论 4 原方程组 无实数解 即满足原方程组的 了1 了1 的值不存 在 故本题是一道错题 评注 以上结论及其推论象一面 照妖镜 使 错题 原形毕露 如果有以上结论及其推论 就不 会产生这样科学性的错误 因此 以上结论及其推论 可以作为命制此类试题的理论依振 例8 设口l a 2 a b 1 b 2 b 是两组实 数 且 口 1 b 1 i e A 2 1 一 2B 2 1 一 砖 埘 下1 1 一 a i b 求出一切A 的值 使得方程茹 J L 茹 一1 石3 能石2 他 1 0 仅有实数棍 1 9 9 6 年I M O 选拔赛试题 筒析 当茗 0 时 A 0 反之 当A 0 时 石 0 故A 0 使得原方程有实数根0 下面证明原方程 无零以外的实数棍髫 0 时 原方程两边同除以茗 成为A 上 A 衄 上 A 埘 上 4 A 土 柚 A 土 1 0 设原方程的玷个非零实根 为茹 屯 石 对方程 应用韦达定理 得 i 1 一仙 磊 玄 亩2 讹则荟虿1 t 圣玄 2 11 1 2 土 土 A 2 炉一2 w 由 得口 l 焉 X i菇 1 1 2 a 1 P 一A l l g A 2 矿一2 w 则 q n p 2 A 2 铲一2 w n A 2 炉 又由埘 1 一 a i b 2 得历 1 一 a i b 则1 一压 a i b t Zi 1L q 2 6 了1 口i 一1 b li 1 i 1i 1 1 1 1 一 A 2 B 2 1 一A B 从而A B 乞i g g A 2 铲一2 w 0 故 A 2 舻一2 w n A 2 铲 万方数据 2 6 中学数学研究2 0 1 4 年第3 期 0 据推论 4 由方程 组成的方程组无实 数解 即原方程无非零实数根 综上 仅有A 0 使 得原方程有实数根 评注 本题的关键和难点是确定原方程有无零 以外的实数根为此转化为判定由方程 组成 的方程组有无实数解问题 由 0 应用推论 4 使这一繁难的问题巧妙获解 以上通过对两道高考试题的探究性学习 使学 生经历了在教师引导下的 问题 探究 结论 应用 的 再创造 过程 获得了一般性的结论 揭示了问 题的本质和规律 得到了解决问题的一般方法 使一 系列有关问题得到了简捷解决 引导学生对一些高 考试题或典型的课本例 习题进行探究性学习 提出 有意义的数学问题 探究适当的结论或规律 给出解 释或证明 并应用所得结论解决有关问题 使学生初 步了解数学概念和结论产生的过程 尝试数学研究 的过程 亲身体验和品尝成功的喜悦 享受探索与发 现的乐趣 体会数学的美和魅力 体验创造的激情 这有助于激发学生的学习热情和兴趣 有助于培养 学生发现问题 提出问题 解决问题的能力 有助于 发展学生的创新意识和创造能力 参考文献 1 中华人民共和国教育部制定 普通高中数学课程标准 实验 s 人民教育出版社 2 0 0 3 当心 零向量 捣乱 2 0 1 3 安徽理科卷第1 3 题的错解分析及正解 安徽省阜阳教育科学研究所 2 3 6 0 3 1 王志刚 安徽省临泉第一中学 2 3 6 4 0 0 王峰 2 0 1 3 年安徽高考理科第1 3 题 巳知直线Y 口 交抛物线Y 茗2 于A 曰两点 若该抛物线上存在点 C 使得 A C B 为直角 则口的取值范围为 此题以抛物线为载体 以探究能力为考查目标 进行设置的 主要考查考生运用数学知识分析问题 和解决问题的能力 从考生的反馈情况来看 解答得 不理想 主要原因是将不等价转化过程视为等价转 化的过程而导致的错误 为此本文有必要对错解作 一简要分析与反思 一 错解呈现 此题按照常规思路分析 考生往往解答如下 解法1 设A 一石 矿 B 石 口2 C S 2 则葡 后 菇 一口2 赢 粕一石 髫 一口2 因为A c 上B c 所以A c B C S o 石 右一口2 一扛 茗 一口2 露一口 茗 一口 2 4 1 2 a x 口2 一口 0 令露 t t 0 则方程产 1 2 a t 口2 一口 0 在t 0 上有非负实数解 1 若方程 有一非负一 k 毕 d 一 C 屯 D 负解 则2 一口 0 解得0 口 1 2 若方程 有两个非负实数解 记g I 产 1 2 a t 2 一口 则 r 1 2 口 2 4 口2 一口 0 2 a 一1 0 解得口 1 g o 口2 一口 o 由 1 2 知口的取值范围为口 0 二 查找错因 本题正确答案是口 1 可是上述解法1 看似天 衣无缝 无懈可击 得到的结果为什么是错误的呢 对此现象 的确令不少师生感到困惑不解 但是 笔 者认为既然上述解法1 得到的结果比正确答案多 了 即0 口 l 是不符合要求的 这充分说明第 1 种情况是增解