2013各地备考试题分类汇编：推理与证明(理).doc

20132013 各地各地备考试题备考试题分类汇编分类汇编 推理与证明推理与证明 理 理 1 山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理 如下图所示将若干个点摆成三角形图案 每 条边 色括两个端点 有 n n l n N 个点 相应的图案中总的点数记为 an 则 23 9 a a 34 9 a a 45 9 a a 20122013 9 aa A B C D 2010 2011 2011 2012 2012 2013 2013 2012 答案 B 解析 由图案的点数可知 所以 所以 2345 3 6 9 12aaaa 33 2 n ann 所以 1 99111 3 1 3 1 1 nn a annn nnn 23 9 a a 34 9 a a 45 9 a a 20122013 9 aa 选 B 111112011 1 223201120122012 2 天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理 已知正项等比数列 n a满足 765 2aaa 若存在两项 mn aa使得 1 4 mn a aa 则 14 mn 的最小值为 A 3 2 B 5 3 C 25 6 D 不存在 答案 A 解析 因为 所以 即 解得 若 765 2aaa 2 555 2a qa qa 2 20qq 2q 存在两项 有 即 即 nm a a 1 4 mn a aa 2 1 16 mn a aa 222 11 16 m n a qa 2 216 m n 所以 即 所以24 6mnmn 1 6 mn 当且仅当 141414143 5 5 2 6662 mnmnmn mnmnnmnm 即取等号 此时 所以时取最小 4 mn nm 22 4 2nm nm 63mnm 2 4mn 值 所以最小值为 选 A 3 2 3 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理 在整数集中 被除所得余数为的所Z5k 有整数组成一个 类 记为 k 即 给出如下四个结论 5knk n Z0 1 2 3 4k 20133 22 01234Z 整数属于同一 类 的充要条件是 a b 0ab 其中 正确结论的个数为 A B C D 1234 答案 C 解析 因为 所以 正确 2013402 53 20133 21 53 所以 不正确 因为整数集中的数被 5 除的数可以且只可以分成五类所以正确 23 整数 a b 属于同一 类 因为整数 a b 被 5 除的余数相同 从而 a b 被 5 除的余数为 0 反之也成立 故 整数 a b 属于同一 类 的充要条件是 a b 0 故 正确 所 以正确的结论个数有 3 个 选 C 4 贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理 对于三次函数 定义 设是函数的导数 若方 32 f xaxbxcxd 0a fx yfx 程有实数解x0 则称点 x0 f x0 为函数的 拐点 有同学 0fx yf x 发现 任何一个三次函数都有 拐点 任何一个三次函数都有对称中心 且 拐 点 就是对称中心 请你将这一发现为条件 若函数 则 32 1151 3 1 3212 2 g xxxx x 12342010 20112011201120112011 ggggg A 2010 B 2011 C 2012 D 2013 答案 A 解析 令 则 g x h x 32 115 3 3212 h xxxx 12 1 21 2 m x x x m x 则 令 所以 h x 的对称中 2 3h xxx 21hxx 1 210 2 hxxx 心为 1 设点 p x0 y0 为曲线上任意一点 则点 P 关于 1 的对称点 P 1 x0 2 y0 也在曲线上 h 1 x0 2 y0 h x0 h 1 x0 y0 2 y0 2 h h h h h h h h h h h h h 1005 2 2010 由于函数 m x 的对称中心为 0 可得 m x0 m 1 x0 0 m m m m m m m m m m m m m 1005 0 0 g g g g g h h h h h m m m m m 2010 0 2010 选 A 5 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理 将整数填入如图所示的行1 2 3 25 5 列的表格中 使每一行的数字从左到右都成递增数列 则第三列各数之和的最小值为 5 最大值为 答案 4585 解析 因为第 3 列前面有两列 共有 10 个数分别小于第 3 列的数 因此 最 小为 3 6 9 12 15 45 因为第 3 列后面有两列 共有 10 个数分别大于第 3 列 的数 因此 最大为 23 20 17 14 11 85 6 北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理 在平面直角坐标系中 定义 为两点 之间的 折线距离 则 1212 d P Qxxyy 11 P x y 22 Q xy 到坐标原点的 折线距离 不超过 2 的点的集合所构成的平面图形面积是O 坐标原点与直线上任意一点的 折线距离 的最小值是O22 30 xy 答案 8 3 解析 根据定义可知 则图象的面积为 与两坐标 1 24 28 2 22 30 xy 轴的交点坐标为 设 则 所以 OP 的折 0 2 3 3 0 AB P x y22 3yx 线距离为 作出分段函数的图23dxyxx 32 3 0 2 3 03 32 3 3 xx xx xx 象如图 由函数的单调性可知当时 函数有最小值为 7 北京市东城区 20133x 届高三上学期期末理 定义映射 其中 fAB Am n m n RB R 已知对所有的有序正整数对满足下述条件 m n 若 1 1f m nm 0f m n 1 1 f mnn f m nf m n 则 2 2 f 2 f n 答案 222 n 解析 根据定义得 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 12fffff 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 622ffff 4 4 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 6 1 1422ffff 所以根据归纳推理 5 5 2 4 1 2 2 4 2 4 1 2 14 1 3022ffff 可知 2 22 n f n 8 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理 右表给出一个 三角形数阵 已知每一列 数成等差数列 从第三行起 每一行数成等比数列 而且每一行的公比都相等 记第 行i 第列的数为 则等于 j ij a Njiji 53 a 3 mn am 答案 5 16 1 2n m 解析 由题意可知第一列首项为 公差 第二列的首项为 公差 1 4 111 244 d 1 4 所以 所以第 5 行的公比为 311 848 d 51 115 4 444 a 52 115 3 488 a 所以 由题意知 52 51 1 2 a q a 5352 515 8216 aa q 1 11 1 444 m m am 所以第行的公比为 所以 2 11 2 488 m m am m 2 1 1 2 m m a q a 11 1 1 1 3 422 nn mnm n mm aa qm 9 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理 已知正方体的棱长为 1111 ABCDABC D 1 动点在正方体表面上运动 且 记点的轨迹的P 1111 ABCDABC D PAr 03r P 长度为 则 关于 的方程的解的个数可以为 f r 1 2 f r f rk 填上所有可能的值 答案 3 0 2 3 4 4 解析 由定义可知当 点 P 的轨迹是半径为的圆周长 此时点 P 分别在三个 1 2 PA 1 2 1 4 侧面上运动 所以 由正方体可知 当 点在三个面 1113 3 2 2424 f 01r P 上运动 此时递增 当时 递减 当时 递增 f r 5 1 2 r f r 5 2 2 r f r 当时 递减 如草图 所以方程的解的个数可能为 0 2 3 4 个 23r f r f rk 10 河北省衡水中学 2013 届高三第一次调研考试理 已知函数 的对称中心为 M 记函数的导函数 0 23 adcxbxaxxf 00 yx xf 为 的导函数为 则有 若函数 xf xf xf0 0 xf 32 3f xxx 则可求得 12 20122012 ff 4022 2012 f 4023 2012 f 答案 8046 解析 因为 所以 由 32 3f xxx 2 36fxxx 66fxx 得 所以 即对称中心为 即0 0 xf 0 660 x 0 1x 0 2y 1 2 则 所以 12 2xx 12 4f xf x 12 20122012 ff 4022 2012 f 4023 2012 f 2011 4 1 8046f 11 山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理 设函数 121 1 12 xx fxfxffx xx 当时 32 1 3 x fxffx x 2n 1nn fxffx 答案 1 n x fx n x 解析 由归纳推理可知 1 n x fx n x 12 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 四 理 我们把平面内与直线垂直的 非零向量称为直线的法向量 在平面直角坐标系中 利用求动点轨迹方程的方法 可以求 出过点 且法向量为的直线 点法式 方程为 3 4 A 1 2 n 化简得 类比以上方法 在空间直角坐标1 3 2 4 0 xy 2110 xy 系中 经过点 且法向量为的平面 点法式 方程为 1 2 3 A 1 2 1 n 答案 220 xyz 解析 设为平面内的任一点 由得 B x y z0AB n A 即 1 1 2 2 1 3 0 xyz 220 xyz 13 北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理 本小题满分 14 分 已知每项均是正整数的数列 其中等于 的项有个 设 123100 a a aa ii k 1 2 3 i jj kkkb 21 1 2 3 j 12 100 m g mbbbm 1 2 3 m 设数列 求 12 40 30 kk 345100 20 10 0kkkk 1 2 3 4 gggg 若中最大的项为 50 比较的大小 123100 a a aa 1 g m g m 若 求函数的最小值 12100 200aaa mg 答案 解 I 因为数列 12 40 30 kk 3 20 k 4 10k 所以 1234 40 70 90 100bbbb 所以 4 分 1 60 2 90 3 100 4 100gggg II 一方面 1 1 100 m g mg mb 根据的含义知 j b 1 100 m b 故 即 0 1 mgmg 1 mgmg 当且仅当时取等号 1 100 m b 因为中最大的项为 50 所以当时必有 123100 a a aa 50m 100 m b 所以 1 2 49 50 51 ggggg 即当时 有 当时 有 9 分 149m 1 g mg m 49m 1 g mg m III 设为中的最大值 M 12100 a aa 由 II 可以知道 的最小值为 g m g M 根据题意 123 100 MM bkkkk L 123123100 23 M kkkMkaaaa L 下面计算的值 g M 123 100 M g MbbbbM 1231 100 100 100 100 M bbbb 233445 MMMM kkkkkkkkkk 23 2 1 M kkMk 12312 23 MM kkkMkkkk 123100 M aaaab 123100 100aaaa 123100 200aaaa 100g M 最小值为 14 分 g m 100 14 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理 本小题满分 13 分 将正整数 任意排成行列的数表 对于某一个数表 计算各行和各列中的 2 1 2 3 4 n 2n nn 任意两个数 的比值 称这些比值中的最小值为这个数表的 特征值 a bab a b 当时 试写出排成的各个数表中所有可能的不同 特征值 2n 若表示某个行列数表中第 行第列的数 且满足 ij annij1in 1jn 请分别写出时数表的 特征值 并由此 1 1 ij ijinij a inijnij 3 4 5n 归纳此类数表的 特征值 不必证明 对于由正整数排成的行列的任意数表 记其 特征值 为 求 2 1 2 3 4 n nn 证 1n n 答案 证明 显然 交换任何两行或两列 特征值不变 可设 在第一行第一列 考虑与 同行或同列的两个数只有三种可能 或或112 32 4 3 4 得到数表的不同特征值是或 3 分 3 2 4 3 当时 数表为3n 此时 数表的 特征值 为 4 分 4 3 当时 数表为4n 此时 数表的 特征值 为 5 分 5 4 714 582 369 13159 101426 711153 481216 21161116 当时 数表为5n 此时 数表的 特征值 为 6 6 5 分 猜想 特征值 为 7 1n n 分 对于一个数表而言 这个较大的数中 要么至少有两 222 1 2 nnnnn n 个数在一个数表的同一行 或同一列 中 要么这个较大的数在这个数表的不同行 n 且不同列中 当这个较大的数 至少有两个数在数表的同一行 或同 222 1 2 nnnnn n 一列 中时 设 为该行 或列 中最大的两个数 则 a bab 2 2 1 an bnn 因为 233 222 1 1 1 0 1 1 1 nnnn nnnn nnn nn 所以 从而 10 分 2 2 1 1 nn nnn 1 n n 当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时 222 1 2 nnnnn n 当它们中的一个数与在同行 或列 中 设为与在同行 同列中的两 2 nn a 2 nn 个最大数中的较小的一个 则有 2 22 11ann nnnnn 综上可得 13 分 1n n 17222712 13182338 91419244 510152025 15 北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习 一 理 本小题满分 14 分 将所有平面向量组成的集合记作 2 R f是从 2 R到 2 R的映射 记作 xfy 或 2121 xxfyy 其中 2121 yyxx都是实数 定义映射f的模为 在1 x的条件 下y的最大值 记做f 若存在非零向量 2 Rx 及实数 使得xxf 则称 为 f的一个特征值 1 若 2 1 2121 xxxxf 求f 2 如果 212121 xxxxxxf 计算f的特征值 并求相应的x 3 若 2211221121 xbxbxaxaxxf 要使f有唯一的特征值 实数 2121 bbaa应满足什么条件 试找出一个映射f 满足以下两个条件 有唯一的特征值 f 并验证f满足这两个条件 答案 解 1 由于此时 2 2 2 1 2 2 2 1 4 1 xxyy 又因为是在1 2 2 2 1 xx的条件下 有 1 4 3 4 1 4 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 xxxyy 2 1x 时取最大值 所以此时有1 f 4 分 2 由 21212121 xxxxxxxxf 可得 121 122 xxx xxx 解此方程组可得 1 1 1 从而2 当2 时 解方程 121 122 2 2 xxx xxx 此时这两个方程是同一个方程 所以此时方程有无 穷多个解 为 1 12 mx 写出一个即可 其中Rm 且m0 当2 时 同理可得 相应的 1 21 mx 写出一个即可 其中Rm 且m0 9 分 3 解方程组 1 1221 111221 1 1222 0 a xa xx xabxab b xb xx 从而向量 11 ba 与 12 ba平行 从而有 2121 bbaa应满足 04 12 2 21 baba 当xxf 时 f有唯一的特征值 且 f 具体证明为 由f的定义可知 对任意的 12 xx x 有 212121 xxxxxxf 所以 为 特征值 此时 2121 0 0 bbaa 满足 04 12 2 21 baba 所以有唯一的特征值 在1 2 2 2 1 xx的条件下 22 2 2 1 xx 从而有 f 14 分 16 北京市通州区 2013 届高三上学期期末理 本小题满分 13 分 现有一组互不相同且从小到大排列的数据 012345 a a a a a a 其中 0 0a 记 012345 Taaaaaa 5 n n x 01 1 nn yaaa T 0 1 2 3 4 5n 作函数 yfx 使其图象为逐点依次连接点 0 1 2 3 4 5 nnn Pxyn 的折线 求 0f和 1f的值 设直线 1nn P P 的斜率为 1 2 3 4 5 n kn 判断 12345 k k k k k的大小关系 证明 当 0 1x 时 fxx 答案 解 0 012345 00 a f aaaaaa 2 分 012345 012345 11 aaaaaa f aaaaaa 4 分 解 1 1 5 nn nn nn yy ka xxT 1 2 3 4 5n 6 分 因为 012345 aaaaaa 所以 12345 kkkkk 8 分 证 由于 f x的图象是连接各点 0 1 2 3 4 5 nnn Pxyn 的折线 要证明 f xx 01x 只需证明 nn f xx 1 2 3 4n 9 分 事实上 当 1 nn xxx 时 1 11 1 nn nn nn fxfx fxxxfx xx 1 1 11 nn nn nnnn xxxx fxfx xxxx 1 1 11 nn nn nnnn xxxx xx xxxx x 下面证明 nn f xx 法一 对任何n 1 2 3 4n 1212 55 nn aaannaaa 10 分 1212 5 nn n aaanaaa 12 5 nn n aaan na 11 分 12 5 nn n aaan a 1215nn n aaaaanT 12 分 所以 12 5 n nn aaan fxx T 13 分 法二 对任何n 1 2 3 4n 当1 n k 时 10211nnn yyyyyyy 12 1 55 nn n kkkx 10 分 当1 n k 时 55nn yyyy 12154 1 nnnn yyyyyy 125 1 1 5 nn kkk 1 15 55 n n nx 综上 nn f xx 13 分 17 北京市西城区 2013 届高三上学期期末理 本小题满分 13 分 如图 设是由个实数组成的行列的数表 其中表示An n nn ij a 1 2 3 i jn 位于第 行第列的实数 且 记为所有这样的数表构成的集合 ij 1 1 ij a S n n 对于 记为的第 行各数之积 AS n n i r AAi 为的第列各数之积 令 j cAAj 11 nn ij ij l Ar AcA 请写出一个 使得 4 4 AS 0l A 是否存在 使得 说明理由 9 9 AS 0l A 给定正整数 对于所有的 求的取值集合 n AS n n l A 答案 解 答案不唯一 如图所示数表符合