三.平稳随机过程.ppt

2020 3 19 1 平稳随机过程与各态历经过程 平稳随机过程的概念 平稳随机过程的主要特征 过程的统计特性不随时间改变 平稳随机过程分析方法简单 对于平稳随机过程已建立起了一套完整 有效 成熟的理论分析和实验研究方法 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下被近似看作平稳过程 或分段看作短时平稳过程 非平稳随机过程的理论分析相对复杂 相对不成熟 实际问题多为非平稳过程 为何单独要研究平稳过程 1 定义 如果对于任意的n和 随机过程X t 的n维概率密度满足 则称X t 为严平稳 或狭义 随机过程 严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 5 1平稳随机过程 5 1 1严平稳 2 一 二维概率密度及数学特征 严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关 严平稳随机过程的二维概率密度只与t1 t2的时间间隔有关 而与时间起点无关 按照严平稳的定义 判断一个随机过程是否为严平稳 需要知道其n维概率密度 可是求n维概率密度是比较困难的 不过 如果有一个反例 就可以判断某随机过程不是严平稳的 具体方法有两个 1 若X t 为严平稳 k为任意正整数 则与时间t无关 2 若X t 为严平稳 则对于任一时刻t0 X t0 具有相同的统计特性 3 严平稳的判断 若随机过程X t 满足 则称X t 为宽平稳或广义平稳随机过程 严平稳与宽平稳的关系 严平稳过程的均方值有界 则此过程为宽平稳的 反之不成立 对于正态过程 严平稳与宽平稳等价 5 1 2宽平稳随机过程 平稳性是随机信号的统计特性对参量 组 的移动不变性 即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号 严格平稳性因要求太 苛刻 更多地用于理论研究中 经验判据 如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变 那么通常可以认为此信号是平稳的 非平稳信号 当统计特性变化比较缓慢时 在一个较短的时段内 非平稳信号可近似为平稳信号来处理 如语音信号 人们普遍实施10 30ms的分帧 再采用平稳信号处理技术解决有关问题 例1 设随机过程Z t Xsint Ycost 其中X和Y是相互独立的二元随机变量 它们都分别以2 3和1 3的概率取 1和2 试求 Z t 的均值和自相关函数 证明Z t 是宽平稳的 但不是严平稳的 解 因此 Z t 是宽平稳的 因此 Z t 不是严平稳的 例2 设随机过程X t t2 Asint Bcost 其中A和B都是一元随机变量 且E A E B 0 D A D B 10 E AB 0 试分别讨论X t 和Y t X t mX t 的平稳性 解 X t 不是平稳过程 Y t 是平稳过程 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 3循环平稳性 5 1 4平稳随机过程相关函数的性质 1 实平稳过程X t 的自相关函数是偶函数 即 同理可得 证明 2 平稳过程的均方值就是自相关函数在时的值 3 平稳过程自相关函数的最大值在处 同理可得证明 4 周期为T的平稳过程 其自相关函数也是周期为T的函数5 不含任何周期分量的非周期平稳过程满足6 若平稳过程含有平均分量为mX 则自相关函数将含有固定分量mX2 即 7 自相关函数必须满足并对所有的 成立 即自相关函数在整个频率轴上是非负值的 限制了自相关函数图形不能有平顶 垂直边或幅度上的不连续 数学期望均方值方差协方差 例3 已知平稳随机过程X t 的自相关函数为RX 100e 10 100cos10 100求X t 的均值 均方值和方差 RX 100cos10 100e 10 100 RX1 RX2 所以有 解 严平稳随机过程 宽平稳随机过程 严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 一维概率密度与时间无关 均值 均方值 方差及与时间无关 二维概率密度仅与时间间隔有关 相关函数仅与时间间隔有关 均值与时间无关 相关函数仅与时间间隔有关 此值在 1 1 之间 相关系数 表示不相关 表示完全相关 表示正相关 即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大 5 1 5平稳过程的相关系数和相关时间 当相关系数中的时间间隔大于某个值 可以认为两个不同时刻起伏值不相关了 这个时间就称为相关时间 1 相关系数从最大值1下降至0 05时所经历的时间间隔 记做相关时间 即 2 用钜形 高为 底为的矩形 面积等于阴影面积 积分的一半 来定义相关时间 即 物理意义 相关时间越小 就意味着相关系数随增加而降落的越快 这表明随机过程随时间变化越剧烈 反之 越大 则表示随机过程随时间变化越慢 相关时间 解 1遍历性过程的定义 如果一个随机过程X t 它的各种时间平均 时间足够长 依概率1收敛于相应的统计平均 则称X t 具有严格遍历性 并称它为严遍历过程 严遍历性的定义 5 2遍历性或各态历经性 设X t 是一个平稳随机过程 且满足 则称X t 为宽 或广义 遍历过程 时间均值 均值遍历 时间相关函数 相关函数遍历 依概率1成立 宽遍历性的定义 2遍历过程的实际应用 一般随机过程的时间平均是随机变量 但遍历过程的时间平均为确定量 因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均 在实际工作中 时间T不可能无限长 只要足够长即可 3遍历过程和平稳过程的关系 遍历过程必须是平稳的 而平稳过程不一定是遍历的 遍历必定平稳由遍历定义即可知 解 X t 是平稳随机过程 1 2 X t 是宽遍历随机过程 解 X t 不是遍历性过程 均值遍历判别定理 平稳过程X t 的均值具有遍历性的充要条件 平稳过程X t 的自相关函数具有遍历性充要条件 自相关函数遍历判别定理 式中 遍历过程的两个判别定理 一两个随机过程的联合概率分布 设有两个随机过程和 它们的概率密度 分别为 定义这两个过程的 n m 维联合分布函数为 5 3联合平稳随机过程 定义这两个过程的 n m 维联合概率密度为 注 3 可以由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布 4 若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化 即与时间的起点无关 则称此二过程为联合严平稳或严平稳相依 2 若两个过程的n m维联合概率分布给定 则它们的全部统计特性也确定了 1 定义 联合宽平稳 2 互协方差与互相关系数 当两个随机过程联合平稳时 它们的互协方差 互相关系数 又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数 注 当时 随机变量和互不相关 3 联合宽平稳随机过程互相关函数的性质 1 证明 按定义即可证明 说明互相关函数既不是偶函数 也不是奇函数 互相关函数的影像关系 2 证明 展开得 所以 同理 3 证明 由性质 2 得 注意到 联合宽遍历 平稳随机过程X t 和Y t 的互相关函数为 故这两个随机过程是平稳相依的 故CXY 仅在时等于零 所以X t1 和Y t2 是相关的 因而它们不是统计独立的 解 必须首先判断随机过程X t 和Y t 的平稳性以及它们的联合平稳性 解 因此X t 是平稳的 因此Y t 是平稳的 因此X t 和Y t 是联合平稳的 因此X t 和Y t 是联合遍历的 1 复随机变量 1 定义 2 分布函数 即由X Y的联合概率分布描述 5 4复随机过程 3 数字特征 数学期望 方差 注 复随机过程的方差等于它的实部与虚部的方差之和 复随机过程的方差为非负的实数 相关矩 设Z1 Z2为两个复随机变量 则 互协方差 4 两个复随机变量的独立 不相关 正交 1 统计独立 2 不相关 3 正交 1 定义 设 为实随机过程 则定义 Z t X t jY t 为复随机过程 2 概率密度函数 Z t 的统计特性可由X t 和Y t 的2n维联合概率分布完整地描述 其概率密度为 复随机过程 3 数字特征 数学期望 方差 自相关函数 自协方差函数 4 平稳性 若复随机过程Z t 满足 则复随机过程为宽平稳过程 互相关函数 互协方差函数 5 两个复随机过程的联合平稳性 例3 设U和V是不相关的随机变量 并且均值都为0 方差都为1 问复随机过程Z t Ucost jVsint的平稳性 解 Z t 是宽平稳的 解 Z t 是宽平稳的 5 5随机序列 将连续随机过程X t 以ts为间隔进行等间隔抽样 即得到随机序列 表示为 对于固定的j Xj为一随机变量 N点随机序列可以看成一个N维的随机向量 即 若随机序列X n 的N个随机变量相互独立如果对任意的i 上式中的都相同 则称X n 是独立同分布的 记为i i d 均值向量自相关矩阵矩阵元素为 协方差矩阵易证若随机序列均值为零 则协方差阵与自相关阵相同 平稳序列 平稳序列的定义类似平稳过程 也分严平稳和宽平稳 对于宽平稳随机序列X n 统计均值和方差与时间无关自相关序列和协方差序列与时间起点无关 只与时间差有关 平稳序列 平稳序列的自相关阵和协方差阵是Toeplitz矩阵 即矩阵的每一条对角线上的元素是相同的 即 各态历经序列 将平稳过程的各态历经性用于平稳序列 时间均值定义和时间自相关序列分别为若X n 平稳且满足各态历经性 则 5 6随机过程的试验研究方法 统计实验分析的基础是随机过程的各态历经假设 即通过一个具体的实现来求出整个随机过程的有关统计参量将随机过程X t 某个实现转化成时间序列 经过抽样和量化 得到基本代表该过程的随机序列 均值估计 设是统计独立的高斯随机变量 均值未知 则其多维概率密度函数为求的极值可得最大似然估值该估计量为无偏一致估计量 均值估计 由于估计量依赖于观测结果 或说是观测结果的函数 取另外一组观测值时 估计量就会改变 因而估计量本身也是随机变量 也有均值和方差 若估计量的均值等于真值 称为无偏估计量 反之称为有偏估计量 若样本数时 估计量的方差趋近零 称该估计量为一致估计量 方差估计 仍假设待估计序列为独立高斯随机序列 方差的最大似然估值为其均值为 该估计量为渐进无