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2018年单招考试辅导资料一解答题（共8小题）1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC平面PBD（1）求证：PB=PD；（2）若M为PD的中点，AM平面PCD，求三棱锥DACM的体积22017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会（简称党的“十九大”）在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在75，100内，按成绩分成5组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习（1）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；（3）若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率3已知函数f（x）=sinxcosxcos2x+a的最大值为（1）求a的值；（2）求f（x）0使成立的x的集合4已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值5设数列an满足a1+2a2+4a3+2n1an=n（）求数列an的通项公式；（）求数列an+log2an的前n项和6已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程是x=，（1）求抛物线的方程；（2）设直线y=k（x2）（k0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OMON7直线y=a与函数f（x）=x33x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围8某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀区间75，80）80，85）85，90）90，95）95，100人数3611424415650（）现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（）在（）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望2018年单招考试辅导资料参考答案与试题解析一解答题（共8小题）1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC平面PBD（1）求证：PB=PD；（2）若M为PD的中点，AM平面PCD，求三棱锥DACM的体积【分析】（1）设ACBD=O，连接PO，过O做OQPC于Q点推导出OQBD，从而BDPO，由此能证明PB=PD（2）过M作MNAD于N，AMPD，PA=AD=2，MN=1，由此能求出三棱锥DACM的体积【解答】证明：（1）设ACBD=O，连接PO，过O做OQPC于Q点，则有OQ平面PBDOQBD又BDACBD平面PACBDPO又O为BD中点PB=PD解：（2）过M作MNAD于NAM平面PDC，AMPD又M为PD中点PA=AD=2，AM=MD=，MN=1故三棱锥DACM的体积V=【点评】本题考查线线相等的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题22017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会（简称党的“十九大”）在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在75，100内，按成绩分成5组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习（1）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；（3）若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率【解答】（本小题满分12分）解：（1）这100人的平均得分为：（3分）（2）第3组的人数为0.065100=30，第4组的人数为0.045100=20，第5组的人数为0.025100=10，故共有60人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1 （7分）（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（甲、戊）、（甲、己）、（乙、丙）、（乙、丁）、（乙、戊）、（乙、己 ）、（丙、丁）、（丙、戊）、（丙、己）、（丁、戊）、（丁、己 ）、（戊、己）共15种情况，（9分）其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为 （12分）【点评】本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3已知函数f（x）=sinxcosxcos2x+a的最大值为（1）求a的值；（2）求f（x）0使成立的x的集合【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简，结合函数f（x）=sinxcosxcos2x+a的最大值为即可求得a值；（2）求解三角不等式即可得到使f（x）0成立的x的集合【解答】解：（1）f（x）=sinxcosxcos2x+a=，=，a=；（2）由（1）知，f（x）=，由f（x）0，得0，即，kZ，kZf（x）0成立的x的集合为，kZ【点评】本题考查三角函数的最值及其求法，考查y=Asin（x+）型函数的图象和性质，是中档题4已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程（2）直接利用单调性求出结果【解答】解：（1），令：，解得：函数f（x）的最小正周期为，对称轴方程为：（2），因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，f（x）取最大值1又，当时，f（x）取最小值【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用5设数列an满足a1+2a2+4a3+2n1an=n（）求数列an的通项公式；（）求数列an+log2an的前n项和【分析】（）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（）利用数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解：（）数列an满足当n2时，（2分）当n2时，2n1an=1，即（4分）当n=1时，an=1满足上式数列an的通项公式（6分）（）由（）知，（7分）（a1+log2a1）+（a2+log2a2）+（a3+log2a3）+（an+log2an），=（9分）=（12分）【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用6已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程是x=，（1）求抛物线的方程；（2）设直线y=k（x2）（k0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OMON【分析】（1）根据抛物线的性质，即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）将直线方程代入抛物线方程，利于韦达定理即可x1x2=4，由（y1y2）2=4x1x2，即可求得y1y2=4，利用向量的坐标运算，即可求得【解答】解：（1）由抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，则=，则p=1，抛物线方程为：y2=2x；（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得k2x22（2k2+1）x+4k2=0，x1x2=4，由y12=2x1，y22=2x2，两式相乘，得（y1y2）2=4x1x2，注意到y1，y2异号，所以y1y2=4，则=x1x2+y1y2=0，OMON，【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题7直线y=a与函数f（x）=x33x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围【分析】首先根据函数的导数求出函数的单调区间，然后画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况【解答】解：先求函数f（x）的单调区间，由f（x）=3x23=0，解得x=1，当x1或x1时，f（x）0，当1x1时，f（x）0，在（，1）和（1，+）上，f（x）=x33x是增函数，在（1，1）上，f（x）=x33x是减函数，由此可以作出f（x）=x33x的草图（如图）由图可知，当且仅当2a2时，直线y=a与函数f（x）=x33x的图象有三个互不相同的公共点【点评】掌握由导数求函数单调性的方法8某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀区间75，80）80，85）85，90）90，95）95，100人数3611424415650（）现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（）在（）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望【分析】（I）根据频数=频率样本容量，通过抽样比，可求出优秀的学生人数；（）X的取值为0，1，2，然后利用排列组合的知识求出相应的概