高中数学学习提要.doc

“怎样解题”表美G.波利亚 弄清问题第一 你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图,引入适当的符号.把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来?. 拟定计划你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题.第二.找出已知数和未知数之间的联系.如果找不出直接联系,你可能不得不考虑辅助问题.你应该最终得出一个求解的计划.你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了利用它,你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去.如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分,这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其它数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划第三实行你的计划.实现你的求解计划,检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确?回顾第四 验算所得到的解你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其它的问题?高中数学学习提要数学是理论，经验和技能。正如在游泳中才能学会游泳一样，数学要在解题中才能学会解题，掌握数学。但常常听得同学说：“我也做了不少题，还是感觉水平提高不大，遇上新题还是觉得无从下手。”我们说，做题只重视量大运动量，重复训练，是远远不够的，在做题中更要有质的追求。美国数学家波利亚在他的名著怎样解题一书中把数学解题分成四个步骤：弄清题意，制订计划，执行计划，回顾。这就好比一年四季中的春夏秋冬，春种，夏管，秋收，冬藏。同学们的问题主要出在第四步，好多同学做数学题的时候结果一做出来就万事大吉，不回顾，少反思。长此以往，只能是做题不少，收获不大。在第四步回顾中，波利亚对我们的建议是：“你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其它的问题?”这些建议意味深长，不仅是指我们现在常说的一题多解和多题一解，还提醒我们要不断反思自己的解题活动，改变看问题的角度，追求更本质，更深刻的解法。最后，能不能把这一结果或方法用于其它的问题，不仅是指方法和结论能不能推广，更体现了数学家的追求，追求“更简单，更美，更一般，更有价值”（张孝达语）。英国 数学家梅森认为，特殊化与一般化正是数学思维的核心，同时也是怎样解题的关键所在。一般化是数学创造的基本形式，数学认识的根本目的就是要揭示更为普遍，更为深刻的事实或规律。有鉴于此，我们对高中数学常见习题进行了一般化处理和整理，以期对同学们的数学学习有所帮助和启迪。这些结论或见于课本例习题，或见于报刊资料，许多结论深刻，简洁，优美。我们想说的是，如果说这些结论象金子一样闪闪发光，那么发现这些结论的方法，证明这些结论的过程才是点金术。还需要说明的是，我们所做的工作只能是抛砖引玉，同学们在学习数学过程中一定会有许多新的发现，一定会总结出更精彩的结论，去不断丰富自己的数学宝藏，不断提高自己的数学能力。1、集合与简易逻辑：一双基点击：1集合的有关概念（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。（2）集合与元素的关系用符号，表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如：；（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。2集合间的关系及其运算（1）； （2）对于任意集合，则：； ； ； ； ； ； ；（3）若为偶数，则 ；若为奇数，则 ；若被3除余0，则 ；若被3除余1，则 ；若被3除余2，则 ；3集合中元素的个数的计算： （1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是 。（2）中元素的个数的计算公式为： ；（3）韦恩图的运用：4 满足条件，满足条件，若 ；则是的充分非必要条件；若 ；则是的必要非充分条件；若 ；则是的充要条件；若 ；则是的既非充分又非必要条件；5原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；注意：“若，则”在解题中的运用，6当证明“若，则”感到困难时，可改证它的等价命题“若则”成立， 反证法步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定二题海导航设A=则A的子集的个数为: 2、函数一双基点击：1映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。函数的图象与直线交点的个数为 个。2函数的三要素： ， ， 。相同函数的判断方法： ； (两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：定义法：换元法：待定系数法：赋值法： （2）函数定义域的求法：，则 ； 则 ；，则 ； 如：，则 ；含参问题的定义域要分类讨论；对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。（3）函数值域的求法：配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角代换法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。3函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：注意单调性是相对与某个具体的区间而言。判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法.复合函数法和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。奇偶性：注意定义域是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(xa),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。4图像变换：函数图像变换：重点掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）平移变换y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b注意：（）有系数，要先提取系数。如：把函数()经过得到函数(1)的图象。（）会结合向量的平移，理解按照向量（，）平移的意义。对称变换y=f(x)y=f(x),关于轴对称y=f(x)y=f(x) ,关于轴对称y=f(x)y=|f(x)|把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称y=f(x)y=f(|x|),把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具体参照三角函数的图象变换。一个重要结论：若f(ax)f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；xOyy=f(x)(2,0)(0,-1)）0)如：的图象如图，作出下列函数图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。5反函数：（1）定义：（2）函数存在反函数的条件： （3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；（4）求反函数的步骤：将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域（即的值域）。（5）互为反函数的图象间的关系： ；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。如：求下列函数的反函数：；6常用的初等函数：（1）一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；（2）二次函数：一般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；一元二次函数的单调性： 当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，、若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。如：(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数（3）反比例函数：图像为等轴双曲线（4）指数函数：指数运算法则： ； ； 。指数函数：y= (ao,a1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a1和0ao,a1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a1和0a0)有一 根大于k,一根小于kf(k)0)两根都在区间(m,n)内f(m)0,f(n)0,.解题思路:对称轴,判别式,区间端点函数值.5.a0,a;(5)y=;(6)y=;(a0,a(7)y=(8)y=9.图象变换(1)平移变换 水平平移_y=f(x+a)的图象可将y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)或向右(0)或向下(b1)或缩短(0ab0,m06.n17.恒成立5、数列一双基点击：1、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。2、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列anbn、仍为等比数列。3、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。4、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。5、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d6、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)7、 在等差数列中：（1）若项数为，则 （2）若项数为则， ， 8. 在等比数列中：（1） 若项数为，则 （2）若数为则，9、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 （1）错位相减法求和：如an=(2n-1)2n(2)裂项法求和：如an=1/n(n+1)(3)、倒序相加法求和：如an=10、求数列an的最大、最小项的方法： an+1-an 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=27、在等差数列中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当0,d0时，满足 的项数m使得取最大值.(2)当0时，满足 的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。二题海导航1. . 2.等差数列(1) 等差. (2). (3)m+n=p+q.(4),仍成等差数列.(5)数列(c0,c是等比数列.3等比数列(1)是等比.(2).(3)(4),仍成等比数列.(5)数列(c0,c是等差数列.4.设为等差数列,为等比数列,公比为q, ，求方法为倍差法:. 5.数列:的通项公式为；其前n项和公式为.6. .7. 6三角函数一双基点击1、 以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，则sin=，cos=，tan=，cot=，sec=，csc=。2、同角三角函数的关系中，平方关系是：，；倒数关系是：，；相除关系是：，。3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：，=，。4、 函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。5、 三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。6、 7、二倍角公式是：sin2=cos2=tan2=。8、三倍角公式是：sin3= cos3=9、半角公式是：sin= cos=tan=。10、升幂公式是： 。11、降幂公式是： 。12、万能公式：sin= cos= tan=13、sin()sin()=，cos()cos()=。14、=； =； =。15、=。16、sin180=。17、特殊角的三角函数值： 0sin010cos100tg01不存在0不存在ctg不存在10不存在018、弧长公式,扇形面积公式=.19.(20.若0c,c+ab,b+ca; (3)正弦定理 (4) 余弦定理 (5) 射影定理acosB+bcosA=cccosA+acosC=bbcosC+ccosB=a(6) 在斜中,tanA+tanB+tanC=tan AtanBtanC.（7）A26.三角变换规律: 消元降次,和差化积,积化和差,切割化弦,化角为边,化边为角,因果联系,差异分析.27、在ABC 中： 28，积化和差公式：，。29、和差化积公式：，。二、 反三角函数1、的定义域是-1，1，值域是，奇函数，增函数； 的定义域是-1，1，值域是，非奇非偶，减函数； 的定义域是R，值域是，奇函数，增函数； 的定义域是R，值域是，非奇非偶，减函数。2、当； 对任意的，有： 当。3、最简三角方程的解集：7、平面向量一双基点击：1加法与减法的代数运算：(1)(2)若a=（）,b=（）则ab=（）向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=,=且有+向量加法有如下规律：=(交换律); +(+)=(+ )+ （结合律）; +0= ()=0.2实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。(1)=;(2) 当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当=0时，=0 (3)若=（），则=（）3两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得=(2) 若=（）, =（）则 4平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得=e1+ e25P分有向线段所成的比：设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时，0；当点P在线段或的延长线上时，0；分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则 （1）， 中点坐标公式：6 向量的数量积：（1）向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角。（2）两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则 =cos其中cos称为向量在方向上的投影（3）向量的数量积的性质：若=（）, =（）则=cos (为单位向量); =0（，为非零向量）;=;cos=(4) 向量的数量积的运算律： =;()=()=();() =+二题海导航1. +. 特别地.2.若向量是模相等的非零向量,且0,则是正三角形.3.b/a4.设a与b均是非零向量，a=则a5.点P(x,y)按向量a=(h,k)平移到,则其中a=(h,k)叫做平移向量. 实质上a=.6将曲线C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后,得到的曲线的方程是f(x-h,y-k)0。7几何意义:平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和. 8点O是ABC所在平面上的一点。（1）若，则点O是ABC的外心。(2)若，则点O是ABC的外心。(3)若=，则点O是ABC的重心。(4)若，则点O是ABC的垂心。（5）若则点O是ABC的垂心。（6）若其中，则点O是ABC的内心。9 设O是ABC的重心，点P是ABC所在平面上的一点。则10 设点O是ABC所在平面上的一点，且，则O是ABC的内心。11，已知ABC的外心为o，垂心为H，求证：。8、立体几何一双基点击：1计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角 范围：090 方法：平移法；补形法.直线与平面所成的角 范围：090 方法：关键是作垂线，找射影.二面角 方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法. 射影面积公式S=Scos（2）空间距离(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.2平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变3在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想： 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.补体法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.平行转化垂直转化二题海导航1.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.2.点P是所在平面外一点,PO面ABC于O,(1) 若PA=PB=PC,则O是的外心，(2) 若PA则O是的垂心.3.余弦公式PO,PA 分别是平面的斜线,垂线,O,A分别是斜足,垂足,OB平面则推广：a是平面的斜线，是a在平面的射影，b,a与所成角为，与b所成角为，a与b所成角为，则4.正弦公式二面角大小为,A与平面所成角为,则sin=sinsin.5.二面角内两点距离公式 二面角大小为于A,DB于B,AC=m,BD=n,AB=d,则(1) CD=.(2) AB与CD所成角为,则tan;(3) AB与CD的距离是;(4)6.二面角大小为于A,PB于B,PA=m,PB=n,则的外接圆半径为R=.7.四棱柱有两个侧面互相平行,面积分别为,距离为d,则V=8.在四面体ABCD中,AB=m,CD=n,AB,CD之间的距离是d,所成角则V=9.三棱锥P-ABC中,PA=a,PB=b,PC=c,侧棱PA,PB,PC上分别有三点,且,则10.如果11正四面体的棱长为a，外接球与内切球半径分别 为R,r,高为h,则R=12. 1正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积：S全=a2；(2)体积：V=a3；(3)对棱中点连线段的长：d=a；(4)内切球半径：r=a；(5)外接球半径 R=a；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半径 R=；内切球半径 r=研究正四面体，正八面体与正方体的关系以及它们的内切球、棱切球、外接球问题。13.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，则四点P、A、B、C是共面14. 空间两个向量的夹角公式 cosa，b=（a，b）.15.直线与平面所成角(为平面的法向量). 16.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.9平面解析几何一双基点击： 直线的倾斜角的范围是0，) 直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角的增大而增大。当是钝角时，k与同增减。 截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 两直线的到角公式：L1到L2的角为，tan= 夹角为，tan=|注意夹角和到角的区别 点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。 有关对称的一些结论 点（，）关于轴、轴、原点、直线y=x的对称点分别是（，），（，），（，），（，） 如何求点（，）关于直线Ax+By+C=0的对称点？ 直线Ax+By+C=0关于轴、轴、原点、直线y= x，点（，）对称的直线方程分别是什么？ 如何处理与光的反射问题？曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：（）点(a.b)（）轴（）轴（）原点（）直线y=x（）直线y=x（）直线x（8）直线y=b_点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。点P(x0,y0)