对称性、奇偶性和周期性的综合运用.docx

函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一函数的对称性（一）函数 的图象自身对称1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 图象关于直线对称.推论1： 的图象关于直线对称.推论2： 的图象关于直线对称.推论3： 的图象关于直线对称.求对称轴方法：2、中心对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 的图象关于点对称.推论： 的图象关于点对称.推论： 的图象关于点对称.推论： 的图象关于点对称.求对称中心方法：小结: 轴对称与中心对称的区别轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称1、函数与函数图象关于直线对称； 特别地，函数yf(ax)与yf(ax)关于直线x=0(y轴)轴对称；函数与函数图象关于y轴对称；求对称轴方法：令a+x=b-x,得 .2、函数yf(ax)+c与yf(bx)+d关于点中心对称；特别地，函数yf(ax)与yf(ax)关于点（0,0）（原点）中心对称.函数与函数图象关于原点对称函数. 求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得 ，纵坐标y=二 函数的奇偶性1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x) （f(x) f(x)0），那么函数f(x)叫做偶函数偶函数的图象关于y轴（x=0）对称 推论：若yf(xa)为偶函数，则f(xa)f(xa)，即yf(x)的图像关于直线xa轴对称.2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x) （f(x) +f(x)0），那么函数f(x)叫做奇函数奇函数的图象关于原点(0,0)对称.推论：若yf(xa)为奇函数，则f(xa)f(ax)，即yf(x) 的图像关于点（a，0）中心对称.三函数的周期性1. 定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.2. 推论：( ) 的周期为T. 的周期为 的周期为 的周期为 的周期为 的周期为 的周期为 的周期为 的周期为若若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|.推论：偶函数满足 周期若函数yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|.推论：奇函数满足周期有一条对称轴和一个对称中心的周期T4|ab|.小结：函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x”；对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；定义在上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在.题型分类1. 求函数值例1. 设是上的奇函数，当时，则等于（-0.5）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2.偶函数yf(x)满足条件f(x1)f(x1)，且当x1,0时，f(x)3x，则f()的值等于( ) A1 B. C. D1解：由于偶函数yf(x)满足条件f(x1)f(x1)，说明函数的周期为2，f(-x)=f(x) 当x1,0时，f(x)3x，则对于，f()=f(2+)=f(2- )=3=1故可知答案为D.2比较函数值大小例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、的大小.解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，3、求函数解析式例4. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=2x+1，求当时求f(x)的解析式.例5设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，4、判断（证明）函数性质例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周期为4，得，由得，故为偶函数.例7.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数解：设则 f(x)在-2，0上是减函数 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x) f(-x)=f(x) 故当时f(x)为增函数例9.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数例10.设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（C ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数例11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对任意xR都有f(2+x)=-f(x)，又当x-1,1时 f(x)=x3 ， 证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴； 当x1,5时，求函数f(x)的解析式判断函数的单调性5、确定函数零点个数例12.设函数对任意实数满足，且判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.6、求参数的值（范围）例13.若函数f(x)=|x+a|，且f(x)满足对xR都有f(3+x)=f(2-x)，则实数a=_若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对xR都有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=_例14.f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 例15设是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A B C D 7. 两个函数图像的对称性例16.函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于