2016年第二十六届希望杯初二第1试(含参考答案).doc

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第1试试题 2015年3月15日 上午8:30至10：00一、 选择题（每小题4分，共40分）1.若a+b=10,ab=24,则a+b的值是（ ）(A) 48 (B)76 (C)58 (D)522.若一次函数y=x+5的图像经过点P(a，b)和Q(c,d),则ad+bc-ac-bd的值是（ ）(A) 9 (B)16 (C)25 (D)-253.已知-(1-2x)为x4+1-2x2的平方根，则满足此关系的x的值得个数是（ ）(A) 4 (B)3 (C)2 (D)14.Suppose a is an integer ,solutions to the equation ax+5=4x+1 are positive integers. Then the number of a is( ) (A) 2 (B)3 (C)4 (D)55.在菱形ABCD中，若DAB=60，AC=12，则菱形对角线交点到各边的距离之和是（ ）(A) 3 ( B)4 (C)43 (D)126.如图1所示，点M,N,P,Q分别是边长为1的正方形ABCD各边的中点，则阴影部分的面积是（ ）(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 157.如图2所示，字母A到G分别代表1到7中的一个自然数，若A+G+D,B+G+E,C+G+F分别被3除，都余1，则G是（ ）(A) 1或4 (B) 1或7 (C ) 4或7 (D) 1或4或78.下列说法：平行四边形包含矩形、菱形和正方形平行四边形是中心对称图形平行四边形的任一条角平分线可把平行四边形分成两个全等的三角形平行四边形两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形其中正确说法的序号是( )(A) (B) (C ) (D) 9.有一列数：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整数），若将这列数的平均数、中位数及众数依照大小次序排列，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可能取得值得和是（ ）(A) 3 (B)9 (C)17 (D)2010.对于自然数m，如果m能够整除12（m-1），那么称m为“公除数”，则4到20（包括4和20）的自然数中，“公除数”的个数是（ ）(A) 9 (B) 10 (C ) 11 (D) 12二、 A组填空题（每小题4分，共40分）11.若102.110.1,10.2013.1939,则1.0201_12.已知a，b都是有理数，且a+3ab+1=3b-23a,则a+b=_13.已知a+b+c=1.ab+c+ba+c+cb+a=3,则1b+c+1a+c+1b+a=_14.已知m，n是实数，且当x2015时，mx-2+nx+2=5x+2x2-4恒成立，则m2-n2=_15.设a,b,c都是正整数，且1ab0,则点(x,y)在直角坐标系中位于第_象限或第_象限22.已知2-x+1-y=0，且x-y=y-x,则x+y的值等于_或_23.如图5所示，C在线段AB上，在AB的同侧作等边ACM和BCN, 连接AN,BM.若MBN=38，则AMB=_度，ANC=_度24.下面是一个按某种规律排列的数阵： 1 第一行 2 3 2 第二行 5 6 7 22 3 第三行 10 11 12 13 14 15 4 第四行 根据数阵排列的规律，第5行从左向右第5个数位_，第n（n3,且n是整数）行从左向右第5个数是_(用含n的代数式表示)25.长为n,1+n+2,n+n(n+2)的三条线段可以构成三角形，则自然数n=_或_.答案详细解析 2015年3月15日 上午8:30至10：00三、 选择题（每小题4分，共40分）1.若a+b=10,ab=24,则a+b的值是（ ）(A) 48 (B)76 (C)58 (D)52解析：因为（a+b）=a+b+2ab，代入得 10=a+b+48，a+b=100-48=52这是完全平方公式 （a+b）=a+b+2ab 公式得变式应用，把a+b ,a+b,ab 看做一个整体，知道其中2个求第三个式子都可以，只要把其中2个值代入即可求得，这是数学的整体思想。 a+b=a+b+2ab-2ab=（a+b）-2ab 这一个过程将a+b不上一个中间项配凑成一个完全平方公式，这个过程叫做配方，配方在以后的求二次方程，二次函数的应用比较多。还有一种方法：韦达定理 a+b=10,ab=24，以a，b为解的方程是x-（a+b）x+ab=0即 x-10x+24=0的解。解得a=4，b=6或者a=6，b=4纯粹用方程的方法也可以，以a，b为未知数解这个方程组，求a，b。最简单的方法是 第一种整体思想，这个可以推广到另一个（a-b）=a+b-2ab也同样可以。例如已知 a+b=10，a-b=-4,求ab2.若一次函数y=x+5的图像经过点P(a，b)和Q(c,d),则ad+bc-ac-bd的值是（ ）(A) 9 (B)16 (C)25 (D)-25解析: 通法:把P,Q坐标代入函数表达式可得a+5=b ,c+5=d,则ad+bc-ac-bd=a(c+5)+(a+5)c-ac-(a+5)(c+5)=ac+5a+ac+5c-ac-ac-5(a+c)-25=-25特殊值法：由于a，b，c，d的值是不确定的，但只要满足表达式有y=x+5就可以，所以取2组特殊值。例取a=0,b=5，取c=1，d=6代入。因为这是选择题，无论a，b，c，d的值是多少，最终结果是一个定值，只要取值满足y=x+5就可以了。3.已知-(1-2x)为x4+1-2x2的平方根，则满足此关系的x的值得个数是（ ）(A) 4 (B)3 (C)2 (D)1解析: x4+1-2x2本身就是一个完全平方式子，可化简x4+1-2x2=(x2-1)2 ,注意一个正数的平方根有2个，所以x4+1-2x2得平方根为(x2-1)，所以-1-2x2=(x2-1)，展开得2个方程-1-2x2=(x2-1) 或-1-2x2=-(x2-1)，对于方程-1-2x2=(x2-1) 5x-4x=0 ，得x=0或4/5对于方程-1-2x2=-x2-1，3x-4x+2=0 用求根公式应有2个解x=2103 为什么答案是2个，求解答？我个人认为有四个值。4.Suppose a is an integer ,solutions to the equation ax+5=4x+1 are positive integers. Then the number of a is( ) (A) 2 (B)3 (C)4 (D)5解析：翻译结果为“ 若a是整数，方程ax+5=4x+1的解是正整数，则a的值有几个_(integer 整数，positive integers 正整数) 这个方程 化简为(a-4)x=-4, x=-4a-4,若x=-4a-4是正整数，则a-4=-1或-2或-4，所以有3个。5.在菱形ABCD中，若DAB=60，AC=12，则菱形对角线交点到各边的距离之和是（ ）(A) 3 ( B)4 (C)43 (D)12解析: 如右图，所求为OP的4倍，在RtOPC中，OCP=30，所以由30所对的直角边等于斜边的一半。直角边OP是斜边OC的一半，OP=3,所求12.6.如图1所示，点M,N,P,Q分别是边长为1的正方形ABCD各边的中点，则阴影部分的面积是（ ）(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15解析：图中所有的直角三角形为相似三角形。可证中间阴影部分图形为一个正方形。（证明略）只要求出其边长即可7.如图2所示，字母A到G分别代表1到7中的一个自然数，若A+G+D,B+G+E,C+G+F分别被3除，都余1，则G是（ ）(A) 1或4 (B) 1或7 (C ) 4或7 (D) 1或4或7解析:17被3除结果又3类，分为3组，1,4,7被3除余12,5被3除余2,3,6被3整除 G是1,4，7的其中一个，都是 被3除余1，则另外2个只要满足和能被3整除，8.下列说法：平行四边形包含矩形、菱形和正方形平行四边形是中心对称图形平行四边形的任一条角平分线可把平行四边形分成两个全等的三角形平行四边形两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形其中正确说法的序号是( )(A) (B) (C ) (D) 解析; 第三个 应为 任一条对角线才行。9.有一列数：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整数），若将这列数的平均数、中位数及众数依照大小次序排列，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可能取得值得和是（ ）(A) 3 (B)9 (C)17 (D)20解析：按从大到小排列为10,5,2,2,2,1 ，x未知，不插入排列，众数为2，无论x为多少，中位数仍为2，平均数为22+x7，无论x为何值，中间数为2， 22+x7=2，x=-8 与题目x是正整数相矛盾，无解？10.对于自然数m，如果m能够整除12（m-1），那么称m为“公除数”，则4到20（包括4和20）的自然数中，“公除数”的个数是（ ）(A) 9 (B) 10 (C ) 11 (D) 12解析：只要是不是质数，但4除外，都是公除数， 6,8,9，10,12,14,15,16,18,20都是四、 A组填空题（每小题4分，共40分）11.若102.110.1,10.2013.1939,则1.0201_解析; 1.0201=102.1100=102.1101.0112.已知a，b都是有理数，且a+3ab+1=3b-23a,则a+b=_解析：a+1=-23a-3ab+3b，a+1=3（-2a-ab+b）因为a，b是有理数，故左边(a+1)也是有理数，但右边是（-2a-ab+b）也是有理数，当-2a-ab+b0时，则3（-2a-ab+b）必为无理数，若等式成立，则-2a-ab+b=0，(a+1)=0 ，得到a=-1，b=-1,z则a+b=-213.已知a+b+c=1.ab+c+ba+c+cb+a=3,则1b+c+1a+c+1b+a=_解析：1b+c+1a+c+1b+a=a+b+cb+c+a+b+ca+c+a+b+cb+a=1+.ab+c+1+ba+c+1+cb+a=3+3=614.已知m，n是实数，且当x2015时，mx-2+nx+2=5x+2x2-4恒成立，则m2-n2=_解析 ：mx-2+nx+2=m+nx+2（m-n）x2-4=5x+2x2-4 恒成立，值与x无关，则m+n=5,2(m-n)=2则m2-n2=m+nm-n=5*1=515.设a,b,c都是正整数，且1abc,abc=2015,那么c-bb-a-c-ab=_解析:因为2015=1*5*13*31 ,分解因数有1,5,13,31，因为1ab0,则点(x,y)在直角坐标系中位于第_象限或第_象限22.已知2-x+1-y=0，且x-y=y-x,则x+y的值等于_或_解析; 2-x和1-y都是非负数，又和为零，即互为相反数，则,2-x=0，1-y=0，2-|x|=0,1-|y|=0，x=2，y=1，又因为x-y=y-x，x-y0 ,所以x=-2，y=1 或者x=-2，y=-1X+y=-1或-323.如图5所示，C在线段AB上，在AB的同侧作等边ACM和BCN, 连接AN,BM.若MBN=38，则AMB=_度，ANC=_度24.下面是一个按某种规律排列的数阵： 1 第一行 2 3 2 第二行 5 6 7 22 3 第三行 10 11 12 13 14 15 4 第四行 根据数阵排列的规律，第5行从左向右第5个数位_，第n（n3,且n是整数）行从左向右第5个数是_(用含n的代数式表示)解析每一行的最后一个数位1,2,3,4,5.所以第n-1行最后一个是n-1，所以下一个数是n-12+1第4行最后一个是4= 16 ，第5行开始是17