2017年九年级数学上第二十二章二次函数导学案（人教版）.doc

2017年九年级数学上第二十二章二次函数导学案（人教版）221.1 二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系难点：理解二次函数的有关概念一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P2829，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空总结归纳：一般地，形如yax2bxc(a，b，c是常数，且a0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是yaxb(a，b为常数，且a0)、yax2bxc(a，b，c为常数，且a0)二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(5分钟)1下列函数中，是二次函数的有_A，B，C_Ay(x3)21By12x2Cy13(x2)(x2)Dy(x1)2x22二次函数yx22x中，二次项系数是_1_，一次项系数是_2_，常数项是_0_3半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为yx22Rx(x0)点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(10分钟)探究1 若y(b2)x24是二次函数，则_b2_探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x 50)，每月销售这种篮球获利y元(1)求y与x之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y10x21400x40000(50 x 100)(2)由题意得：10x21400x400008000，化简得x2140x48000，x160，x280.要吸引更多的顾客，售价应定为60元二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(8分钟)1如果函数y(k1)xk21是y关于x的二次函数，则k的值为多少？2设yy1y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是( A )A二次函数 B一次函数C正比例函数 D反比例函数3已知，函数y(m4)xm2m2x23x1是关于x的函数(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论4如图，在矩形ABCD中，AB2 cm，BC4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BPPQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BPx cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0x2和2x4时，y与x之间的函数关系式点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a0.2有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分(10分钟) 221.2 二次函数yax2的图象和性质1能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质2初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感重点：描点法作出函数的图象难点：根据图象认识和理解其性质一、自学指导(7分钟)自学：自学课本P3031“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空(1)画函数图象的一般步骤：取值描点连线；(2)在同一坐标系中画出函数yx2，y12x2和y2x2的图象；点拨精讲：根据y0，可得出y有最小值，此时x0，所以以(0，0)为对称点，对称取点(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：_(5)在同一坐标系中画出函数yx2，y12x2和y2x2的图象，找出图象的异同点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a 0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点a越大，抛物线的开口越小；当a 0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(5分钟)1教材P41习题22.1第3，4题一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13分钟)探究1 填空：(1)函数y(2x)2的图象形状是_，顶点坐标是_，对称轴是_，开口方向是_(2)函数yx2，y12x2和y2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式解：(1)抛物线，(0，0)，y轴，向上；(2)根据抛物线yax2中，a的值来判断，在x轴上方开口小的抛物线为yx2，开口大的为y12x2，在x轴下方的为y2x2.点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误抛物线yax2中，a 0时，开口向上；a 0时，开口向下；|a|越大，开口越小探究2 已知函数y(m2)xm2m4是关于x的二次函数(1)求满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？解：(1)由题意得m2m42，m20.解得m2或m3，m2.当m2或m3时，原函数为二次函数(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，m2 0，即m 2，只能取m2.这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，当x 0时，y随x的增大而增大(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，m2 0，即m 2，只能取m3.函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，m3时，函数有最大值为0.x 0时，y随x的增大而减小二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5分钟)1二次函数yax2与yax2的图象之间有何关系？2已知函数yax2经过点(1，3)(1)求a的值；(2)当x 0时，y的值随x值的增大而变化的情况3二次函数y2x2，当x1 x2 0，则y1与y2的关系是_y1y2_4二次函数yax2与一次函数yax(a0)在同一坐标系中的图象大致是( B )点拨精讲：1.二次函数yax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取57个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2抛物线yax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)221.3 二次函数ya(xh)2k的图象和性质(1)1会作函数yax2和yax2k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标2了解抛物线yax2上下平移规律重点：会作函数的图象难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P3233“例2”及两个思考，理解yax2k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空总结归纳：二次函数yax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向_下_当a 0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大抛物线有最_低_点，函数y有最_小_值当a 0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小抛物线有最_高_点，函数y有最_大_值抛物线yax2k可由抛物线yax2沿_y_轴方向平移_|k|_单位得到，当k 0时，向_上_平移；当k 0时，向_下_平移二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7分钟)1在抛物线yx22上的一个点是( C )A(4，4) B(1，4)C(2，2) D(0，4)2抛物线yx216与x轴交于B，C两点，顶点为A，则ABC的面积为_64_点拨精讲：与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标3画出二次函数yx21，yx2，yx21的图象，观察图象有哪些异同？点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(5分钟)探究1 抛物线yax2与yax2c有什么关系？解：(1)抛物线yax2c的形状与yax2的形状完全相同，只是位置不同；(2)抛物线yax2向上平移c个单位得到抛物线yax2c；抛物线yax2向下平移c个单位得到抛物线yax2c.探究2 已知抛物线yax2c向下平移2个单位后，所得抛物线为y2x24，试求a，c的值解：根据题意，得a2，c24，解得a2，c6.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(13分钟)1函数yax2a与yaxa(a0)在同一坐标系中的图象可能是( D )2二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )Ayx24By34x23Cy32(2x)2Dy32(x22)3二次函数yx24图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，4)，当x 0，y随x的增大而增大4抛物线yax2c与y3x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y3x25，它是由抛物线y3x2向_上_平移_5_个单位得到的5将抛物线y3x24绕顶点旋转180，所得抛物线的解析式为y3x246已知函数yax2c的图象与函数y5x21的图象关于x轴对称，则a_5_，c_1_点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律(可结合图象理解)2抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)221.3 二次函数ya(xh)2k的图象和性质(2)1进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数ya(xh)2的图象2能正确说出ya(xh)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标3掌握抛物线ya(xh)2的平移规律重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数ya(xh)2的图象难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线ya(xh)2的平移规律一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P3334“探究”与“思考”，掌握ya(xh)2与yax2之间的关系，理解并掌握ya(xh)2的相关性质，完成填空画函数y12x2、y12(x1)2和y12(x1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y12x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况总结归纳：二次函数ya(xh)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线xh当a 0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a 0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值抛物线yax2向左平移h个单位，即为抛物线ya(xh)2(h 0)；抛物线yax2向右平移h个单位，即为抛物线ya(xh)2(h 0)二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7分钟)1教材P35练习题；2抛物线y12(x1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y12x2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟)探究1在直角坐标系中画出函数y12(x3)2的图象(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y12x2的图象得到函数y12(x3)2的图象？解：(1)对称轴是直线x3，顶点坐标(3，0)；(2)当x 3时，y随x的增大而减小；当x 3时，y随x的的增大而增大；当x3时，y有最小值；(3)将函数y12x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y12(x3)2的图象点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点探究2 已知直线yx1与x轴交于点A，抛物线y2x2平移后的顶点与点A重合(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且12 x1 x2，试比较y1，y2的大小解：(1)yx1，令y0，则x1，A(1，0)，即抛物线l的顶点坐标为(1，0)，又抛物线l是由抛物线y2x2平移得到的，抛物线l的解析式为y2(x1)2.(2)由(1)可知，抛物线l的对称轴为x1，a2 0，当x 1时，y随x的增大而减小，又12 x1 x2，y1 y2.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10分钟)1不画图象，回答下列问题：(1)函数y3(x1)2的图象可以看成是由函数y3x2的图象作怎样的平移得到的？(2)说出函数y3(x1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标(3)函数有哪些性质？(4)若将函数y3(x1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？点拨精讲：性质从增减性、最值来说2与抛物线y2(x5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y2(x5)23对于函数y3(x1)2，当x 1时，函数y随x的增大而减小，当x1时，函数取得最大值，最大值y04二次函数yax2bxc的图象向左平移2个单位长度得到yx22x1的图象，则b6，c9点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)221.3 二次函数ya(xh)2k的图象和性质(3)1进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数ya(xh)2k的图象2能正确说出ya(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标3掌握抛物线ya(xh)2k的平移规律重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数ya(xh)2k的图象难点：能正确说出ya(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线ya(xh)2k的平移规律一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P3536“例3、例4”，掌握ya(xh)2k与yax2之间的关系，理解并掌握ya(xh)2k的相关性质，完成填空总结归纳：一般地，抛物线ya(xh)2k与yax2的形状相同，位置不同，把抛物线yax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线ya(xh)2k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定：当h 0时，表明将抛物线向右平移h个单位；当k 0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位抛物线ya(xh)2k的特点是：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；对称轴是直线xh；顶点坐标是(h，k)二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7分钟1教材P37练习题2函数y2(x3)25的图象是由函数y2x2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；3抛物线y2(x3)21的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，1)，对称轴是直线x3，当x 3时，函数值y随自变量x的值的增大而减小一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13分钟)探究1 填写下表：解析式开口方向对称轴顶点坐标y2x2向下y轴(0，0)y12x21向上y轴(0，1)y5(x2)2向下x2(2，0)y3(x1)24向上x1(1，4)点拨精讲：解这类型题要将不同形式的解析式统一为ya(xh)2k的形式，便于解答探究2 已知ya(xh)2k是由抛物线y12x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线(1)求出a，h，k的值；(2)在同一坐标系中，画出ya(xh)2k与y12x2的图象；(3)观察ya(xh)2k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察ya(xh)2k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？解：(1)抛物线y12x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y12(x1)22，a12，h1，k2；(2)函数y12(x1)22与y12x2的图象如图；(3)观察y12(x1)22的图象可知，当x 1时，y随x的增大而增大；x 1时，y随x的增大而减小；(4)由y12(x1)22的图象可知，对于一切x的值，y2.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5分钟)1将抛物线y2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y2(x3)22点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动2若直线y2xm经过第一、三、四象限，则抛物线y(xm)21的顶点必在第二象限点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别3把y2x21的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y2(x1)234已知A(1，y1)，B(2，y2)，C(2，y3)在函数ya(x1)2k(a 0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2 y3 y1点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数ya(xh)2k的图象画法及其性质的总结；平移的规律所用的思想方法：从特殊到一般学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)221.4 二次函数yax2bxc的图象和性质(1)1会画二次函数yax2bxc的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法2能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法3会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题重点：会画二次函数yax2bxc的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P3739“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空总结归纳：二次函数ya(xh)2k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是xh，当a 0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x h时，y随x的增大而增大，当x h时，y随x的增大而减小；当a 0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x h时，y随x的增大而增大，当x h时，y随x的增大而减小；用配方法将yax2bxc化成ya(xh)2k的形式，则hb2a，k4acb24a；则二次函数的图象的顶点坐标是(b2a，4acb24a)，对称轴是xb2a；当xb2a时，二次函数yax2bxc有最大(最小)值，当a 0时，函数y有最大值，当a 0时，函数y有最小值二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(5分钟)1求二次函数yx22x1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13分钟)探究1 将下列二次函数写成顶点式ya(xh)2k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴(1)y14x23x21；(2)y3x218x22.解：(1)y14x23x2114(x212x)2114(x212x3636)2114(x6)212此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x6.(2)y3x218x223(x26x)223(x26x99)223(x3)25此抛物线的开口向下，顶点坐标为(3，5)，对称轴是x3.点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解探究2 用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？(1)S与l有何函数关系？(2)举一例说明S随l的变化而变化？(3)怎样求S的最大值呢？解：Sl(30l)l230l(0l30)(l230l)(l15)2225画出此函数的图象，如图l15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5分钟)1y2x28x7的开口方向是向下，对称轴是x2，顶点坐标是(2，1)；当x2时，函数y有最大值，其值为y12已知二次函数yax22xc(a0)有最大值，且ac4，则二次函数的顶点在第四象限3抛物线yax2bxc，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b24ac0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(b2a，0)；当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是(bb24ac2a，0)；当b24ac 0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则yax2bxca(xx1)(xx2)点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x0时求y的值；与x轴交点即当y0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：ya(xx1)(xx2)，x1，x2为两交点的横坐标学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)221.4 二次函数yax2bxc的图象和性质(2)能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P3940，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为yax2bxc，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为ya(xh)2k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设函数的关系式为ya(xx1)(xx2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7分钟)1二次函数y4x2mx2，当x 2时，y随x的增大而减小；当x 2时，y随x的增大而增大，则当x1时，y的值为22点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值2抛物线yx26x2的顶点坐标是(3，11)3二次函数yax2bxc的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )Aa 0 Bb 0 Cc 0 Dac 0 第3题图 第4题图 第5题图4如图，抛物线yax2bxc(a 0)的对称轴是直线x1，且经过点P(3，0)，则abc的值为( A )A0 B1 C1 D2点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(1，0)，将此点代入解析式，即可求出abc的值5如图是二次函数yax23xa21的图象，a的值是1点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13分钟)探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，3)，C(0，3)，求函数的关系式和对称轴解：设函数解析式为yax2bxc，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，3)，C(0，3)，则有9a3bc0，4a2bc3，c3.解得a1，b2，c3.函数的解析式为yx22x3，其对称轴为x1.探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(1，0)，且经过点C(2，9)试求该抛物线的解析式及顶点坐标解：设解析式为ya(x3)(x1)，则有a(23)(21)9，a3，此函数的解析式为y3x26x9，其顶点坐标为(1，12)点拨精讲：因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单而顶点可根据顶点公式求出二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5分钟)1已知一个二次函数的图象的顶点是(2，4)，且过点(0，4)，求这个二次函数的解析式及与x轴交点的坐标2若二次函数yax2bxc的图象过点(1，0)，且关于直线x12对称，那么它的图象还必定经过原点3如图，已知二次函数y12x2bxc的图象经过A(2，0)，B(0，6)两点(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC的面积点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式yax2bxc；2.顶点式ya(xh)2k；3.交点式ya(xx1)(xx2)利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分(10分钟)222 二次函数与一元二次方程(1)1理解二次函数与一元二次方程的关系2会判断抛物线与x轴的交点个数3掌握方程与函数间的转化重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数难点：掌握方程与函数间的转化一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P4345.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空总结归纳：抛物线yax2bxc与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一个根二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b24ac 0时，抛物线与x轴有两个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac 0时，抛物线与x轴有0个交点这对应着一元二次方程ax2bxc0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(5分钟)1观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程x2x20的根是：x12，x21；方程x26x90的根是：x1x23；方程x2x10的根是：无实根2如图所示，你能直观看出哪些方程的根？点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数yx22x3中，y为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x值是方程x22x3m(m4，3，0)的根 ,第3题图)3已知抛物线yax2bxc的图象如图所示，则关于x的方程ax2bxc30的根是x1x21一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(6分钟)探究 已知二次函数y2x2(4k1)x2k21的图象与x轴交于两点求k的取值范围解：根据题意知b24ac 0，即(4k1)242(2k21) 0，解得k 98.点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(12分钟)1抛物线yax2bxc与x轴的公共点是(2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x1点拨精讲：根据对称性来求2画出函数yx22x3的图象，利用图象回答：(1)方程x22x30的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0?(3)x取什么值时，函数值小于0?点拨精讲：x22x30的解，即求二次函数yx22x3中函数值y0时自变量x的值3用函数的图象求下列方程的解(1)x23x10； (2)x26x90；(3)x2x20; (4)2xx20.点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数yax2bxc(a0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2bxcm的根2若抛物线yax2bxc与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2bxc0的根3有下列对应关系：二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的位置关系一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况b24ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b24ac 0只有一个公共点有两个相等的实数根b24ac0无公共点无实数根b24ac 0学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)222 二次函数与一元二次方程(2)1会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解2熟练掌握函数与方程的综合应用3能利用函数知识解决一些简单的实际问题重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空总结归纳：抛物线yax2bxc与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y0组成的方程组的解；抛物线yax2bxc与y轴的交点坐标实质上是x0，yax2bxc的解；抛物线yax2bxc与直线的交点坐标实质上是ykxb，yax2bxc的解二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7分钟)1若二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为( D )Ak4 Bk4Ck4且k3 Dk4且k32已知二次函数yx22ax(bc)2，其中a，b，c是ABC的边长，则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )A无交点 B有一个交点C有两个交点 D交点个数无法确定3若二次函数yx2mxm3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是( C )A23 B0C22 D无法确定一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13分钟)探究1 将抛物线yx22x4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2(4mn)x3m22n0的两根，求m，n的值解：(1)yx22x4(x1)25，由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y(x1)22x22x3；(2)该抛物线顶点坐标为(1，2)，设方程两根分别为x1，x2，则有x1x24mn1，x1 x23m22n2，即4mn1，3m22n2，解得m123，n153或m22，n27.点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法探究2 如图是抛物线yax2bxc的一部分，其对称轴为直线x1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2bxc0的解集是x3或x1二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(8分钟)1若二次函数yax2xc的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为( A )Aa0且4ac1 Ba0且4ac1Ca0且4ac1 Da0且4ac12若二次函数yx22xk的部分图象如图，关于x的一元二次方程x22xk0的一个解x13，则另一个解x21点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解3二次函数yx28x15的图象与x轴交于A，B两点，点C在该函数的图象上运动，若SABC2，求点C的坐标学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)223 实际问题与二次函数(1)1经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路2初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题重难点：用抛物线知识解决实际问题一、自学指导(10分钟)自学：自学课本P4950，自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义总结归纳：图象是抛物线的，可设其解析式为yax2bxc或ya(xh)2k，再寻找条件，利用二次函数的知识解决问题；实际问题中没有坐标系，应建立适当的坐标系，再根据图象和二次函数的知识解决实际问题二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7分钟)1用长16 m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是323_m22如图，点C是线段AB上的一个动点，AB1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )A当C是AB的中点时，S最小B当C是AB的中点时，S最大C当C为AB的三等分点时，S最小D当C是AB的三等分点时，S最大 第2题图 第3题图3如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120，两腰与下底的和为4 cm，当水渠深x为233时，横断面面积最大，最大面积是433点拨精讲：先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13分钟)探究1 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)解：由题意可知4y122x6x15，化简得y156xx4，设窗户的面积为S m2，则S12x22x156xx43x2152x，a3 0，S有最大值当x1.25 m时，S最大值4.69(m2)，即当x1.25 m时，窗户通过的光线最多此时，窗户的面积是4.69 m2.点拨精讲：中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内探究2 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a，设DEx，则AEax，那么两个正方形的面积和y为yx2(ax)22x22axa2，当x2a2212a时，y最小值2(12a)22a12aa212a2.即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小点拨精讲：此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5分钟)1如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米用含x的式子表示横向甬道的面积；当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？点拨精讲：想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形点拨精讲：解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式；4.利用抛物线解析式结合图象解决实际问题学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)223 实际问题与二次函数(2)能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力重点：用函数知识解决实际问题难点：如何建立二次函数模型一、自学指导(10分钟)1自学：自学课本P50，自学“探究2”，理解求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系，完成填空总结归纳：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值用二次函数的知识解决实际问题时，关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答在二次函数ya(xh)2k中，若a 0，当xh时，函数y有最小值，其值为yk；若a 0，当xh时，函数y有最大值，其值为yk点拨精讲：遇到一般式，可先化成顶点式，再求最值；自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7分钟)1已知二次函数yx24xm的最小值是2，那么m的值是62边长为10 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长是x cm的小正方形，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系是yx2100(0x10)3服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200x)件，若想获得最大利润，则x应定为150元一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟)探究 某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：