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第十二章投资组合理论 金融风险的定义与种类投资收益与风险的衡量证券组合与分散风险风险偏好与无差异曲线有效集和最优投资组合无风险借贷对有效集的影响 从一则故事说起 从前 一老妪膝下生有二女 长女嫁至城东染布店作妇 小女许与城西雨伞店为媳 遇天雨 老妇就愁眉不展 逢天晴 老妇也唉声叹气 全年到头未尝舒心开颜 人怪之 或问其故 对曰 阴天染布不得晒 晴天伞具无从卖 悲乎吾二女 苦哉老身命 故事本意劝人换个角度看问题 但其中也蕴含多元化减低风险的道理 风险定义金融市场的风险是指金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能性及其幅度 知识点回顾 一 金融风险的定义与种类二 投资收益与风险的衡量 一 金融风险的种类 一 按风险来源分类 1 货币风险 外汇风险 2 利率风险3 流动性风险4 信用风险5 市场风险6 操作风险 二 按能否分散1 系统性风险 不可分散风险2 非系统性风险 可分散风险 第一节金融风险的定义与分类 穆迪下调希腊评级至垃圾 2010年6月14日 国际三大评级机构之一的穆迪投资者服务公司将希腊主权信用连降4级 由A3级降至Ba1 即 垃圾级 2011年10月7日 穆迪下调了下调了英国12家金融机构的信用评级 同日 下调了葡萄牙9家金融机构的信用评级 商业银行 圣精银行 投资银行的评级下调两档 分别降至B1 Ba3和Ba2 其他三家银行的评级被下调一档 储蓄总行的评级被下调至Ba2 桑坦德银行的子行托塔银行的评级从Baa3被下调至Ba1 蒙特皮奥银行的评级从Ba2被下调至Ba3 二 投资收益与风险的衡量 一 单证券的收益与风险的衡量 1 单证券的收益来源 股利 利息 资本利得 损失 例如 某投资者购买价格100元 股的股票 投资1年后 股价上涨到106元 股 且获得7元 股的现金股利 则投资收益率 即 单个证券投资的单期收益率为 事后公式 由于风险证券的收益不能事先确定 投资者只能估计各种可能发生的结果 及每种结果发生的可能性 因而 风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来表示 预期收益率 单项资产预期收益率的计算 pi 1 染布店和雨伞店的预期收益率 例 债券的支付是确定的 但有两类风险可能出现 1是推迟支付 推迟支付的可能性越大 债券现值越小 2是部分或全部违约 而不支付利息或到期不还本 假设考虑的债券成本15 承诺1年后支付15 两年后再支付8 承诺的到期收益率是使得支付总现值为15 的利率 年38 51 但分析师觉得实际获得这个收益的可能性仅为0 04 期望的到期收益率 15 09 2 风险 风险的度量是以某种方式估计实际结果与期望结果之间可能的偏离程度 通常用统计学中的标准差或方差来表示 单项资产收益率的方差 标准差计算 染布店和雨伞店收益率的方差 标准差 标准差相等 风险相同 染布店和雨伞店单项投资的收益与风险 缺点 不适合比较不同预期报酬率的单项资产 3 变化系数 CV CoefficientofVariation 二 双证券组合的收益与风险的衡量 假设某投资者将其资产分别投资于风险证券A B 比重为XA XB XA XB 1 单个证券的预期收益率分别为 两种风险证券的协方差 AB和各自的方差 A2 B2 2 双证券组合的风险 切忌惯性思维 资产组合的风险非单个资产风险的加权 正如我们已看到 该组合不存在风险 故而组合的方差 标准差应该为0 正确的计算方法仍可从方差的定义出发 第二节投资收益与风险的衡量 2 双证券组合的风险 染布店和雨伞店组合的预期收益率 染布店和雨伞店组合收益率的方差与标准差计算 1时 相关系数总是介于 1和 1之间 其符号取决于协方差的符号 例 染布店和雨伞店收益率的相关系数 AB 1 两种资产的收益率完全正相关 极罕见 AB 0 正相关 最常见 AB 0 无关 极罕见 AB 0 负相关 罕见 AB 1 完全负相关 极罕见 例题 课本P292 294课后题目1 4 单项资产的收益与风险vs 资产组合的收益与风险 从收益与风险看多元化 其得失如何 图示染布店和雨伞店投资权重与组合的标准差 1时 1 0 3 续 图示染布店和雨伞店组合收益 风险与相关系数的关系 AB取不同值时A股票与B股票投资组合收益与风险 问题 图中各条颜色的线代表什么含义 每条线上的点意味着什么 第二节投资收益与风险的衡量 三 三个证券组合的收益和风险的衡量 四 N个证券组合的收益与风险的衡量 其中 i j N种资产组合方差 协方差的矩阵计算表 组合中的方差与协方差项数与构成组合的资产种数之间的关系 方差 协方差矩阵的几个特征 1 矩阵是方阵 对N种证券其元素个数是N2个2 证券的方差出现再矩阵的对角线上 左上角到右下角3 矩阵是对称的 随着组合中N的增加 协方差 N2 N 的作用越来越大 而方差 N个 的作用越来越小 第三节证券组合与分散风险 不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里 1981年诺贝尔经济学奖公布后 记者要求获奖人 耶鲁大学的JamesTobin教授尽可能简单 通俗地概括他的研究成果 教授即回答了这句话 第三节证券组合与分散风险 问题 如何进行证券组合 即 1 将鸡蛋放在多少个篮子里 2 这些篮子有什么特点 一个特殊的资产组合 假设表中 1 每种资产具有相同的方差 Var 2 每对资产的协方差相同 Cov 3 每种资产占组合比例相同 1 N 特殊资产组合的方差 将上表的各项相加 得到该特殊资产组合的方差为 不断增加组合中资产的种数 N 图 特殊组合方差与组合中资产种数之间的关系 组合的风险 组合中资产的种数 1 2 3 4 不可化解风险 组合风险 市场风险 或系统性风险 可化解风险 特有风险 或非系统性风险 思考 如何规避系统性风险和非系统性风险 从特殊资产组合的方差看多元化效应 当组合中资产种数增加时 组合的方差逐步下降 这就是组合的多元化效应 可推广至协方差 标准差不相等的一般情形 各种资产的方差会因组合被分散消失 但各对资产的协方差不因组合而被分散消失 组合的方差成为组合中各对资产的平均协方差投资组合能分散和化解部分风险 但不能分散和化解全部风险 上述结论对于现实证券投资的指导意义是 多元化效应的启示 投资者可以通过增加证券品种 构建投资组合以化解个别证券的一些风险存在一个不能仅仅通过分散化来化解的最低风险水平 即使投资者能买齐所有种类的证券 购买市场组合 仍有部分风险无法消除 从图中可见 通过增加证券个数来降低风险所获的好处 将随着证券数量的增多而越来越小 边际收益递减 同时在现实生活中 多元化存在相应的成本 如佣金 权衡多元化的得失 国外研究最优多元化需要由大约30种证券构成一个投资组合 多元化与系统风险 系统风险 systematicrisk 作用于全体证券 不能通过多元化予以消除 覆巢之下 安有完卵 也称市场风险 marketrisk 或不可分散风险 nondiversifiablerisk 某一证券的总风险 系统性风险 非系统性风险对于投资者来说 某一证券的总风险 方差 并不重要 当增加一种证券于组合中 投资者关心的是该证券的系统风险 协方差 即该种证券对整个投资组合风险的贡献 第十三章将加以具体说明 系统性风险的衡量 如果将证券市场处于均衡状态时所有证券按其市值比重组成一个 市场组合 这个市场组合的非系统性风险将等于 0 1 i证券的系统性风险与市场组合的系统性风险完全相同 1 大于 1 小于 证券组合的B系数Bp 等于组合中各证券的Bi系数的加权平均数 权重是各证券的市值占整个组合总价值的比重Xi 多元化效应的应用 假设你有 10万 并有一个投资项目 由掷一枚均匀硬币来决定你是取得连本带利4倍的回报 正面 或是分文不归 反面 有如下两种可供选择的投资策略 将 10万尽数投入 一掷定输赢每次投入 1万 掷10次硬币两种策略的预期收益率相同 都是100 你选哪一个 你选的是这个答案吗 作为风险厌恶者 当然选b 因为两种投资策略的预期收益率都一样 且同样有一半的可能失败 但方案a是孤注一掷 方案b则不然 手气再怎么差 你总不会连着出10次反面吧 相反 出现正面的次数极可能在5次上下 每一次都可给你带来4倍的回报 其实10次中只需有正面3次及以上就可赚回原始投资 10万 这正是分散投资的一个例子 在不改变预期收益率的前提下减少了投资风险 但不能全部消除风险 若可以分100次 1000次进行又将如何 如果用方差来比较不同方案的风险 你会算吗 更多多元化的例子 轮盘赌所有的 1000全压红分成1000份 每次压 1 第四节风险偏好与无差异曲线 一 风险偏好 1 风险偏好类型A 风险厌恶Risk AverseB 风险中性Risk NeutralC 风险爱好Risk Love 2 理性投资者的假设 a 不满足性b 风险厌恶 二 无差异曲线 给投资者带来同样满足程度的预期收益率和风险的所有组合 1 斜率为正2 曲线向下凸3 同一投资者有无限条无差异曲线 越靠近左上方的曲线代表的满意程度越高4 曲线不能相交 不同程度风险厌恶者的无差异曲线 三 投资者的投资效用函数 其中 A表示投资者的风险厌恶程度 其典型值在2 4之间 那么你是那种类型的投资者呢 请看课本301页 试着作一下问卷 得出答案吧 一般投资者 风险 第五节有效集和最优投资组合 我们介绍了风险资产的预期收益率与风险的衡量 根据不同证券组合的收益与风险 可以使用无差异曲线进行评价 对风险厌恶者 选择位于最左上方的无差异曲线上的组合进行投资 然而 还留有一些问题未回答 当有无穷个组合可供选择时 马氏方法如何使用 投资者要对所有这些组合进行评价吗 1 相关系数为 1的投资组合 首先回顾两种证券的投资组合 相关系数为 1的投资组合 相关系数介于 1之间的投资组合 一 机会集OpportunitySet 以上三个例子的曲线都代表一个投资者考虑投资于由A股票和B股票所构成的各种可能组合 即面临着投资的 机会集 或 可行集 feasibleset A B AB取不同值时A股票与B股票投资组合的机会集 曲线或直线 若组合中的证券的相关系数 1 则其各种可能的组合就将是一条曲线 若 AB 1 则两种证券的各种可能组合将是一条直线 直线AB曲线总是位于直线的左边 相同的预期收益率 曲线具有更小的标准差 也就是说 组合的多元化效应只存在于曲线 而当 AB 1时 不存在组合多元化效应曲线和直线不能同时存在 一个投资者只能在同一条曲线上的不同的点之间进行选择 而不能在直线和曲线上的点之间作选择 不同相关系数下的机会集 当相关系数变化时 组合的收益 风险曲线随之不同 相关系数 程度 越低 曲线越弯 取得同等预期收益所担的风险越小 当 AB 1 弯曲度达到最大 折断了 一对证券间只存在一个相关系数 所以现实中一对证券也只存在一个机会集 亦即只有一条曲 直 线 其它线只是供参照对比的假设情形 最小方差组合 最小方差 MinimumVariance MV 组合 该组合具有最小的风险 MV A B 最小方差组合中各资产的权数 令XA X XB 1 x 则 当XA x B2 AB A2 B2 AB 时 P2有最小值 例 当 0 5时 A与B股票最小方差组合的权数及最小方差计算 若 1 XA 和 P 又是多少 反弓曲线 从股票A到最小方差 MV 组合间有段 反弓曲线 组合的预期收益率上升 标准差却下降 这一令人惊奇的发现是由于组合的多元化效应 AB 0 反弓曲线肯定出现 AB 0 则反弓曲线可能出现也可能不出现反弓曲线只出现一段 随着高风险资产投资比例的提高 组合的标准差终将上升 增加高风险证券B所占比例 组合的风险不升反降 二 有效集EfficientSet 没有投资者愿意持有一个组合 其预期收益率小于最小方差 MV 组合的预期收益率 MV组合未必是最理想组合 因此 虽然整段曲线被称为 可行集 但投资者只考虑从MV到股票B这段曲线 从而该段曲线被称为 有效集 或 有效边界 efficientfrontier 多种证券组合的机会集 多种证券组合的机会集 有效集 三种资产组合的收益 风险的1 000对可能组合之模拟 xA 72xB 21xC 07 xA 26xB 69xC 05 xA 36xB 13xC 51 多种证券投资组合的机会集 有效边界 MV A B 1 向右上方倾斜的曲线2 向上凸的曲线3 不可能有凹陷的地方 有效集的形状特点 多种证券组合的机会集 当投资者持有超过两种以上的证券时 现实常如此 这两种以上的证券按各种权重所构成的可供选择的组合同样是无穷的不同于两种证券组合的机会集 多种证券组合的机会集不是线而是面 如图中的阴影部分 多种证券组合的收益和风险的所有可能组合都将落入该区域内 多种证券组合的机会集 续 任何人都不可能选择收益超过该阴影区的组合任何人也不可能选择收益低于该阴影区的组合 资本市场防止了自我伤害的投资者去投资一项肯定会造成损失的组合任何人都不可能选择风险超过该阴影区的组合任何人都不可能选择风险低于该阴影区的组合 若投资组合为市场上的所有证券 则最低风险就是不能由多元化消除的市场风险 多种证券组合的有效集 尽管整个阴影区都是可行集 但投资者只会考虑区域上方从MV到B的这段边线 即图中加粗的曲线段 这就是我们所谓的 多种证券组合的有效集 又称 马科维茨有效边界 马科维茨的 风险资产组合理论 为我们回答了 如何进行投资组合 的问题 要沿 有效边界 构建投资组合但在现实工作中 随着证券种数的增加 绘制多种资产组合的有效集愈加困难 若组合中有100种证券 就需要估计每种证券的预期收益和标准差 并计算其两两之间的相关系数近5000对 C1002 4 950 工程量极其浩大 所以 尽管该理论在上世纪50年代已经提出 但因为计算机使用时间昂贵而限制了其应用 直到近年计算机功能的增强才得以改善如今 只要掌握构成组合的资产的收益率 标准差和相关系数等特征数字 我们就可以借助相应软件包的相对容易地计算出某个资产组合的有效集 在一个有效集内选哪个组合 在有效边界上选哪一点 则完全取决于投资者个人的风险偏好 要对风险与收益进行权衡 这已非电脑软件所能越俎代庖的 三 最优投资组合的选择 即便得出有效集 仍要由你做选择 由投资组合的有效边界和个人风险 报酬效用无差异曲线切点共同决定 最优投资组合 三 最优投资组合的选择 第六节无风险借贷对有效集的影响 投资于无风险资产 Risk FreeAsset RisklessAsset 或进行无风险贷款通过无风险借款进行风险资产投资 即保证金交易 考虑这两种实际情况 扩展马氏投资方法 一 无风险贷款对有效集的影响 无风险资产具有确定的收益率 即该资产必定有固定的收益率 且没有任何违约可能的证券 其次是无市场风险 利率风险 再投资利率风险 无论是到期日超过还是少于投资者投资期的证券都不能视为无风险资产 1 无风险贷款或无风险资产的定义 只有一种类型的国债可以作为无风险资产 即到期日与投资期长度相匹配的国债 现实中 方便起见 人们常将1年期的国库券或货币市场基金当作无风险资产 2 一种风险资产与一种无风险资产构成的组合 王女士考虑投资M公司的股票 并且 王女士可以按无风险利率进行借入或贷出 有关参数如下 若王女士的投资额为 1 000 其中 350投资M公司股票 650投资无风险资产 问 该投资组合的预期收益率和标准差是多少 E RP 11 4 0 65 10 0 35 14 一种风险资产与一种无风险资产所构成组合的预期收益率 组合的收益等于风险资产与无风险资产收益的加权平均 计算上实际是将其视同两种风险资产 其一是风险为0的 风险资产 组合的收益 换言之 前述公式仍适用 无风险利率 即E RF 无风险资产的权数 风险资产的预期收益率 解 一种风险资产与一种无风险资产所构成组合的方差 套用两种风险资产组合的方差公式 其中 RF RF M 0 上式仅有第二项为正值 其余为零 即 表 一种风险资产与一种无风险资产不同借贷组合下的风险与收益 图 一种风险资产与一种无风险资产所构成组合的风险 收益关系 投资于一种无风险资产和一种风险资产的一般化情形 所以 X1 X2 1 且X1 X2 0 0 0 12 3 将 12 3 代入 12 1 得到 被称为单位风险报酬 又称夏普比率 无风险资产与风险资产的组合 斜率 一种风险资产与一种无风险资产所构成组合的机会集 由一种风险资产与一种无风险资产构成的组合的收益和风险的关系是如图所示的一条直线 亦即投资者的 机会集 或 可行集 投资者可以通过调整资金分配比例 达到线上任意一点 如王女士选择的组合 35 风险资产 65 无风险资产 与两种风险资产组合的机会集不同的是 这里的机会集不是弯曲的 而是直的 3 无风险资产与风险资产组合的组合 我们已经讨论的组合是 一种无风险资产Onerisklessasset 一种风险资产Oneriskyasset 现实中 投资者更可能进行的组合是 一种无风险资产Onerisklessasset 风险资产组合Portfolioofriskyassets 图 无风险资产和风险资产组合所构成组合的收益与风险 Q代表若干风险资产的一种组合 无风险资产与风险资产组合所构成组合的机会集 将组合与一个无风险资产 RF 投资相结合 形成一条从RF到组合的直线 该直线就代表投资者在无风险资产与风险资产组合间进行资本配置的机会集之一 投资者可以调整资金的分配比例 从而达到线上任意一点 这些点有些是仅凭风险资产组合所无法覆盖的点 如点1所代表的组合 从RF到M的直线上的各点就是部分投资于无风险资产 部分投资于M所构成的各种投资组合该直线除去点M外 均优于仅由风险资产构成的有效集左边 曲线A M为代表的有效集 因为在给定的风险水平 标准差 下 前者的期望收益更高实际上 从RF向风险资产的机会集 包括有效集 上的任意一点引直线 与M点的连线斜率最大 承担每单位风险所能得到的报酬最高 无风险资产与风险资产组合所构成组合的有效集 从RF到风险资产组合有效集的切线 切点为M 风险资产有效集右边M Z曲线 例题 p308 rf 4 无风险贷款 资产 对投资组合选择的影响 投资者不同的风险厌恶程度 O 甲 甲 甲 二 无风险借款对有效集的影响 1 无风险借款并投资于一种风险资产的投资组合 注意 这里把无风险借款看作是负的投资 则投资组合中风险资产X1和无风险借款X2的比例之和仍等于1 即 X1 X2 1 X1 1 X2 0 例如 自有资金1500 借入500 例 借款投资于风险资产所构成组合的收益与风险 若王女士能以无风险利率借入 200 加上自己的 1 000 总共投资 1 200于M公司股票 则 借款投资于风险资产构成的组合的预期收益率为 借款投资于风险资产所构成组合的标准差 图 一种风险资产与一种无风险资产所构成组合的风险 收益关系 王女士的组合 M公司 借款投资与借款利率 借款可以看成是负的投资 或可将借款利率视作负的收益率通过借款投资 B女士可获得比全部投资于风险资产更高的预期收益率 延展了可选择的机会集 但也要冒更大的风险此外 若借款利率大于无风险利率 则借款投资的机会集将如图中虚线 只能借入无风险资产投资于风险资产 反过来则不成立 为什么 假定为贷款而支付的利率与投资于无风险资产的收益率相同为rf 12 1 到 12 4 也可以应用到无风险借款的情形 表现为过AB线段向右上方的延长线上 X1