走进数学王国五上第2稿.doc

1. 商品净含量【智力热身】小新最喜欢吃“上好佳”薯片了，爸爸出差回家，带了两包薯片，小新一见开心极了。不过，爸爸提了个问题：“你能告诉我，你能吃到多少薯片吗？”“这还不简单，”小新一边想，一边查看了一下产品说明（如下），马上回答：“一包100g，两包我一共吃到了200g。” 总脂肪：9g 总碳水化合物：21 g 蛋白质：2 g 净含量：100g（5g）同学们，你们说，小新说得对吗？【经典例题】例1：一只蜗牛第一天白天向上爬3米，晚上掉下来2米；第二天白天向上爬4米，晚上掉下来3米。第三天白天向上爬6米，晚上掉下来4米。请将这个过程记录在表中。第一天第二天第三天白天晚上白天晚上白天晚上分析；我们通常把向上爬记作“多少”，往下掉记作“多少”。如：第一天白天向上爬3米，就记作“3”； 晚上掉下来2米，就记作“2”。解答：表中六个数依次是：3；2；4；3；6；4。例2：“智力热身”题分析与解：小新回答的不一定对。因为“净含量：100g（5g）”表示袋中薯片最重可能是105g，最轻可能是95g。因此，小新两袋薯片最多可以吃到210g，最少可以吃到190g。点睛：生活中有很多正负数，我们一定要了解它的真实含义。商品中有很多的信息，我们要学会看商品信息，做一个明明白白的消费者。【挑战自我】1. 某种精密零件的长度在图纸上标明为：100.05（单位：毫米）。你知道这种零件的标准长度是多少毫米吗？它最大的长度是多少毫米？最小是多少毫米？ 2. 假如我们规定火箭升空的时间是零时，试看下面的图，并回答问题 吃饭 准备 进入火箭 脱离母箭 升空 自动控 进行摄影 进餐制速度（1）宇航员升空前 小时吃饭；宇航员的两餐相隔 小时。（2）火箭升空后 小时，宇航员让火箭自动控制速度。3. 下面是某超市7月份连续一个星期冷饮进货、销售情况的记录单。日期星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六进货、销售箱数358028008028281602003350（1）哪几天，只售出冷饮而没有进货？（2）这一个星期中，进货多少箱？售出的冷饮共多少箱？（3）从表中，你还知道了什么信息？4. 一只蜗牛第一天白天向上爬2米，晚上掉下来1米；第二天白天向上爬4米，晚上掉下来2米。第三天白天向上爬3米，晚上掉下来2米。请将这个过程记录在表中。第一天第二天第三天白天晚上白天晚上白天晚上假如蜗牛每天白天向上爬3米，晚上掉下来2米。那么，从10米深的井底向上爬，几天能爬到地面？5. 请你认真观察右图中的点表示的方法。（1）写出A、B两点的数值。（2）在图中标出指定的点： C（4，3）、D（0，4）、E（2，0）、F（1，1）。2. 公交车里的学问【智力热身】小明每天坐公交车上下学，看着人们上上下下，心里不禁寻思起来：老师说生活中处处有数学，这公交车里有没有什么学问呢？于是，小明开始仔细观察起来，这不，还真发现了不少数学问题呢。小朋友，你发现了生活中的一些数学问题了吗？【经典例题】例1：一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过5个停靠站，最后到达终点站。下表记录了这辆公共汽车全程载客数量的变化情况。停靠站起点站中间第1站中间第2站中间第3站中间第4站中间第5站终点站上下车人数21384204719013（1）说说中间5个站的上、下车人数各是多少？（2）中间的5个站，哪个站没有人上车？哪个站没有人下车？（3）从表中你还能知道些什么？分析与解：首先要明确表中各数的意义：正数表示上车的人数，负数表示下车的人数。例如中间第1站3表示下车3人，8表示上车8人。这样，每一站上下车的人数就很明确了。要知道哪个站没有人上车，哪个站没有人下车，只要观察哪个站的记录中出现了“0”。第3站的记录是：（0，4），“4”表示上车4人，那么“0”就表示没有人下车；相应的中间第5站（9，0）中的“9”表示下车9人，那么“0”就表示没有人上车。还知道的信息很多，如：第3站比第2站多上车2人；第4站下去7人，上来1人，相当于下去6人例2：有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有10个车站。如果有一辆车，除终点站外，每一站上车的乘客中恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车最少有多少个座位？分析：可以采用列表法来分析站点第1站第2站第3站第4站第5站第6站第7站第8站第9站第10站上车人数9876543210下车人数0123456789总人数91621242524211690解答：由上表可知，这辆公共汽车最少要有25个座位。点睛：每一站上车的乘客可用正数表示，每一站下车的乘客可用负数表示。一定要注意观察，理解每个数据的意义哟。【挑战自我】1. 例1中一共有多少人乘坐了这辆公共汽车？2. 一座电梯，从1楼到9楼，在各层进、出电梯的人数记录如下表：停靠楼层1楼3楼5楼6楼7楼8楼9楼进出电梯人数51，42，00，13，35，24（1）除1楼、9楼外，在几楼进电梯的人最多？在几楼出电梯的人最多？（2）除1楼、9楼外，在哪几楼没有人进电梯？哪几楼没有人出电梯？在哪几楼既没有人进电梯，也没有人出电梯？（3）从表中你还知道些什么信息？3. 有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有15个车站。如果有一辆车，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车最少要有多少个座位？4. 6名同学参加“奥运”知识竞赛。老师将80分作为标准，将他们的成绩简记为：3、10、5、0、7、3。你知道这6名同学的平均成绩是多少吗？5. 在19世纪中期，欧洲流传着这样一个有趣的问题：某海运公司每天都有一班船从甲港驶往乙港；每天同一时刻，也有该公司的一班船从乙港驶回甲港。轮船在途中所需的时间是7昼夜，且全部航程均假设为匀速行驶。问在从甲港开往乙港的一艘班船上，到达乙港时能迎面遇到几艘从乙港驶回甲港的班船？3. 奇妙的运算符号【智力热身】小明眼睛真亮，一进电脑室就看到屏幕上大大的“”、“”、“”、“”等符号，咦！这不是运算符号吗？小明赶忙挤过去细瞧，原来是：在所给的算式中，添上“”、“”、“”、“”和“（ ）”，使算式成立。5 5 5 5=1 5 5 5 5=25 5 5 5=3 5 5 5 5=4小明快速思考，很快正确填写完成。同学们，你们也会填吗？【经典例题】例1：把、（各用一次）分别填入下面的圆圈中，并且在长方形中填上适当的整数，使两个等式都成立，这时，长方形中应填几？ 9137=100 1425=分析：先看第一个等式，因为结果是100，比较大，所以要先选用“”，913=117，与7计算，无论如何不能等于100，而137=91，正好有9137=100，这样，第二个等式就只能填“”和“”了，先考虑“”，因为结果要求是整数，所以不能25，只能选142，因此，第二个等式为：1425=2。解：9137=100 1425=2例2：算式：462463的结果是25，现在允许你使用括号，你还能得到哪些不同的结果？分析：首先，括号的作用是改变运算顺序，因此，不能改变运算顺序的括号是不算的。其次，填括号也要按照一定的次序添加，如先添一个小括号，有：4（624）63=17 4（6246）3=37 4（6246）3=2846（24（63）=32 （4624）63=5再接下去添两个小括号，有：4（624）（63）=40 （4624）（63）=16再接下去，添一个中括号，一个小括号，有：4（624）63=8 4624（63）=56解答：还可以得到9种不同的结果。点睛：有序添加很重要哟。现在，我们一起来做小明发现的题目。解：5555=1 5555=2（555）5=3 （555）5=4【挑战自我】1. 把、分别填入下面等式的内，使等式成立。（每题每个运算符号只能使用一次）（1）1157279=51 （2）（5137）（179）=122. 在下列算式中的适当地方填上、（ ），使算式成立。3 3 3 3=1 3 3 3 3=2 3 3 3 3=33 3 3 3=4 3 3 3 3=5 3 3 3 3=63. 给算式6010421添上括号，使计算结果不同，你最多能写出几种。 4. 在下列各式的合适的地方添上（ ）、 、 。使得等式成立。（1） 123456789=505（2） 123456789=1005（3） 123456789=17175. 在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大。 1234567894. 奔向2008【智力热身】2001年7月14日一大早，小勇约了小英一起去学校参加庆祝北京获得了2008年奥运会主办权的活动。走在路上，他们两人互赠礼物。打开一看，不禁相视一笑，原来小勇给的礼物是：在15个8中的适当地方，添上、，使结果等于2008，即8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=2008小英的礼物是：在15个6中的适当地方，添上、，使结果等于2008，即 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=2008一到学校，他们迅速并正确添好了符号。如果你是他们的同学，你行吗？【经典例题】例1：小勇和小英给出的两道题。分析：这两个式子数字很大，我们一般采用“凑数法”，就是先凑出一个与结果相近的数，再加以调整，如（1）88888888=1999，这里用了8个8，还有7个8组成一个9，很容易得出888=9，还有4个8组成一个零，就更容易了。（2）666666666=1998，这里用了9个6，还有6个6，组成一个10，是666666=10。解：888888888888888=2008666666666666666=2008例2：在下面等式的适当地方填上运算符号，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9=2分析：（1）首先考虑把1到9看成两组数，1到9九个数字的和是45，也就是两组数的和是45，结果要求是1，也就是这两组数的差是1，根据和差问题，得出这两组数分别是23和22，然后，找出哪几个数字的和是22。如679=22，即6、7、9这三个数字是一组数，要用减号减去，其余数字前都是加号。（2）同样，考虑到两组数的和是45，差是2，但得不到合理的答案，我们可以考虑把和45调整变成偶数，如12=2，再加上其他7个数字的和就是44，差是2，求得两组数分别是23和21，接下来，只要找到哪几个数字的和是21，用减号减去，其他数字仍用加号即可。当然，像23=6与其他7个数字的和是46；或把1和2看成12与其他7个数字的和是54都可用和差问题求出两组数。解： 123456789=1 123456789=2点睛：对于一些较大的数，可采用“凑数法”，即先凑出一个与结果相近的数，再稍加调整。对于一些较小的数可采用“和差问题”来解答。【挑战自我】1. 在下列算式中的适当地方，填上、，使等式成立。（1）1 2 3 4 5 6 7 8 9=5（2）1 2 3 4 5 6 7 8 9=6（3）9 8 7 6 5 4 3 2 1=15（4）9 8 7 6 5 4 3 2 1=202. 在下列算式的适当地方，添上、，使下面的等式成立。（1）2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=2008（2）3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=20083. 下列每个算式里，都有一个运算符号是错的，你能改过来吗？（1） 123456789=44（2） 123456789=50（3） 123456789=1004. 在下列算式的适当地方，添上、，使下面的等式成立。（1）4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4=2008（2）9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9=20085 在下面算式中的适当地方，只添一些加号或减号，使下面等式成立，你各能想出多少种不同的填法。1 2 3 4 5 6 7 8 9=100综合练习一1. 一袋糖果的袋包装上标注“净含量：5005克”，它表示什么意思？2. 填上、或（ ），使等式都成立。3 3 3 3 3=1 3 3 3 3 3=2 3 3 3 3 3=33 3 3 3 3=4 3 3 3 3 3=53. 在下面算式中添上括号，使等式成立。 6363241=5 6363241=63 6363241=149 6363241=474. 下面是陈老师今年6月份收入和支出的记录，用正、负数填写下表。6月10日，领取工资2400元；6月20日，缴水电费120元；6月24日，缴电话费88元，买衣服用去820元；6月26日，收到稿费450元；6月30日，获得加班费100元；6月伙食费共计800元。项目工资水电费电话费服装费稿费加班费伙食费结余收支（元）5. 找规律填空：（1）12，8，（ ），0，（ ），（ ），（2）1，1，2，3，5，（ ），（ ），6. 第1小组10名同学参加读书读报知识竞赛。老师将80分作为标准，将他们的成绩简记为：8，10，5，0，7，3，12，4，6，2。第1小组这次竞赛的平均成绩是多少分？7. 在下列算式的适当地方，填入、，使等式成立。8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=20098. 在下列算式的适当地方，填入、，使等式成立。（1）1 2 3 4 5 6 7 8 9=21（1）1 2 3 4 5 6 7 8 9=749. 在下面一排数字中间的任意两个位置写上两个“”号，使三个自然数的和最大，最大是多少？和最小又是多少？1 2 3 4 5 6 7 8 9= 1 2 3 4 5 6 7 8 9=10. 有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有11个车站。如果有一辆车，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车最少要有多少个座位？5. 猪八戒分蛋糕【智力热身】话说唐僧师徒四人前往西天取经，半路上四人饥饿难熬，唐僧派孙悟空去化斋，孙悟空好不容易化得三角形蛋糕，可四人怎么分才合适呢？孙悟空有心要难一难八戒，便对八戒说：“八戒，看你谗得口水都出来了，这样吧，你给咱们四人平均分，怎么样？”八戒只想吃蛋糕，还没想好怎么样平均分这个三角形蛋糕呢！看八戒直犯愁，聪明的同学们，你们愿意试一试吗？【经典例题】例1：把任意一个三角形平均分成面积相等的四块，你有办法吗？分析：在三角形中，等底等高的三角形面积相等。只要将这个结论运用在分割中，你可以发现有好几种方法呢！解：方法一：如图一，将BC四等分，连接AD、AE、AF，ABD、ADE、AEF、AFC的面积相等。（同样的方法也可以应用在AB、AC边上。）方法二：如图2，将BC边两等分，连接AD，在将AD两等分，连接BE、CE，则ABE， BED，AEC， CDE面积相等。方法三：如图3，在BC边寻找出点D，使BD= BC，连AD，再将AD边三等分，连接CE、CF、则 ABD， AEC， EFC， CFD面积相等。 例2：如图4，AE=3AB，BD=2BC，已知ABC的面积为1，求 BDE面积是多少。分析：从图形上看 BDE可以分成两部分，即BCE和 ECD之和。因为AE=3AB，所以BE=2AB； ABC的面积为1，与它等高的BCE的面积为2，BD=2BC，所以推出BC=CD， BCE与 CDE等底等高，所以 ， BED的面积即可推出。解： 点睛：等底等高的三角形的面积相等。另外，在三角形中，若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个角形的几倍。【挑战自我】1将一个三角形的分成面积相等的三个三角形，怎么分？（画图表示）2如图5，在ABC中，如果D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，请说明SBDE和SADF的大小关系。3如图6；BD=4厘米，DC=2厘米，SABD是SADE几倍？4如图7，在长方形ABCD中，AD=2厘米，AB=6厘米，E、F为AB、CD边繁荣中点，阴影部分的面积是多少？5如图8，已知 ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=2BC，延长CA至F，使AF=3AC，求SDEF。6小狐狸吃饼【智力热身】狐狸妈妈花了半天工夫，烤出了最最美味的比萨饼。这块正方形的比萨饼做得别出心裁，形状如右图，大正方形的饼上撒满了小正方形的馅，真谗人。小狐狸想一口吃了馅，可妈妈出了一道题考住了小狐狸：已知大正方形的饼比小正方形的馅大9平方米，这个饼有多大？小狐狸瞪大了眼睛就是想不出来。同学们，你能算出这块饼有多大？【经典例题】例1：狐狸妈妈考小狐狸的题。分析：要求大正方形的饼有多大，可以先求出小正方形的面积有多大。在图中，大正方形比小正方形大的9平方米正是边上的4个空白三角形。连接AB、CD两条线段，就能清楚的看出，每个空白三角形正好与阴影部分里的三角形的面积相等。小正方形的面积实际上就是4个空白三角形的和。求出小正方形的面积，大饼就可以算出来了。解：9+9=18（平方分米）例2：两个相同的直角三角形，如右图所示，重叠在一起，求阴影部分的面积。分析：要求的阴影部分是个梯形，虽然它的高为3厘米，但它的上底与下底之和不得而知，不能直接计算出它的面积，我们换个角度来思考一下。由于 ABC与 FDE完全相同，那么它们都减去一个 CDG后，所剩下的面积应相等。也就是说梯形CGEF的面积就可以了。解：（9-3）+922=15点睛：例1中正方形四边中点连成的正方形是原正方形面积的一半。例2要善于将一个图形的的面积转化为另一个图形的面积，使隐蔽的关系明朗化，从而找到解题思路。【挑战自我】1.图4中ABCD是边长8厘米的正方形，E、F、G、H分别为各边上的中点，求阴影部分的面积。2.如图5，平行四边形的面积是70平方厘米，阴影三角形的面积是多少平方厘米？3.如图6，求图中阴影的面积。4.求图7中阴影的面积。5.如图8，已知三角形ABC的面积是32平分厘米，AC长8厘米，DE长4厘米，求阴影部分的面积。7花园面积有多大【智力热身】丽丽家新搬进的小区环境真优美。小区里有个长方形大花园。如图，花园里长满了郁郁葱葱的植物，还砌着两条供居民赏花健身的鹅卵石小道。这天，丽丽又散步到这里，忽然想知道这里的绿化面积有多少平方米，你能帮丽丽算一算吗？【经典例题】例1：上图是花园的平面图，花园内筑了两条宽为3米的路，求剩下的面积。分析：花园是一个长方形，要求剩下的面积，从中减去2条宽为3米的鹅卵石的面积既可。两条小道的面积分别是350与335。值得注意的是中间一个339平方米的部分重叠了一次，计算时应加上去。解：5035（350335）331504（平方米）其实，这道题也可以采用阴影部分上下、左右平移的办法，这样可避免重复计算的部分，使计算简便。解：（503）（353）1504（平方米）答：剩下的面积是1504平方米。点睛：图形的平移、拼补是一种很重要的方法。例2：一个正方形，一边截去4厘米。另一边也截去4厘米，剩下的面积比原来少160平方厘米，求原来正方形的面积是多少。分析：一个正方形两边都截去4厘米，剩下面积比原来少160平方厘米，说明阴影部分为160平方厘米。将160平方厘米分为A、B、C三个部分，A与B的和为16016144平方厘米。A、B的宽均为4厘米，可以把它们拼为一个长方形。所以A的长为1444218厘米，原来的正方形长为18422厘米。解：（16044）4242 484（平方厘米）答：原来正方形的面积是484平方厘米。点睛：充分运用图形的旋转、重叠、割补等方法使复杂的图形简单化。【挑战自我】1在梯形花园中筑一条路（平行四边形）如图4，求剩下的花园的面积。2一个长方形，如果长与宽都增加6厘米，那么新长方形面积就比原长方形面积多156平方厘米，求原长方形的周长是多少厘米。3如图5，一块长方形花圃，长为80米，宽为60米，中间有一条宽2米的道路，求花圃的实际面积。4把边长是10厘米的正方形卡片按图6的方法重叠起来，3张这样的卡片重叠以后所组成的图形的面积是多少平方厘米？5一个正方形一边截去4厘米，另一边截去5厘米，剩下的面积比原来少160平方厘米。求原来正方形的面积。8. 添一添，真方便【智力热身】又到了数学活动课的时间，同学都很喜欢这种让头脑做体操的数学活动课。只见吴老师走上讲台，在黑板上出了这样一道题（图1）：正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG5厘米，求DE的长度。同学们都颇感兴趣的比划起来。聪明的小读者，你知道DE的长度是多少吗？【经典例题】例1：吴老师出的题目。分析：DE是长方形GDEF的宽。从条件看。我们需从长方形GDEF的面积入手。长方形GDEF与正方形ABCD的面积有什么关系呢？我们不妨连接AG，可以看出ADG的面积不仅是正方形ABCD的一半，也是长方形GDEF的一半，所以长方形GDEF与正方形ABCD面积相等。解：4453.2（厘米）答：DE的长3.2厘米。点睛：辅助线，犹如一盏指路灯哟。例2：如右图：已知三角形ABC的面积为60平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，那么阴影部分的面积是多少？分析：由题意可以推算，平行四边形DEFC的面积是60230平方厘米，要求阴影部分的面积，不可能用三角形的面积计算公式求出。应从已得出的平行四边形入手。连接CE，在平行线AC与ED中，AED与CED是等底等高，AED的面积就可算出来了。解：602215（平方厘米）答：阴影部分的面积是15平方厘米。点睛：巧添辅助线，结合等底等高的知识解决有关平面图形。【挑战自我】1正方形ABCD中，边长为8厘米，AE10厘米，BF垂直于AE（见图3）。求BF的长度。2计算图4的面积3如图5，已知AB4AE，AC3AD，SAED2平方厘米，求ABC的面积。4如图6，长方形ABCD中，EF分别是ADCD边长的中点，AD10厘米，CD6厘米，EG2GF，求阴影部分的面积。5如图7，已知平行四边形的面积是 120平方厘米，AB分别是两边的中点，求阴影部分的面积。综合练习二1. 将一个三角形分成面积相等的5个小三角形。2. 如图1，三角形ABC的面积是16平方厘米，D是BC边的中点，E是AC边的中点，那么，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3. 如图2，在正方形ABCD中，EC=2EB，三角形AED的面积是6平方分米，三角形CDE的面积是三角形ABE的面积的几倍？这两个三角形的面积各是多少？4. 如图3，一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个长方形的面积已知，求阴影部分的面积。5. 如图4，ABCD是长方形，BCFE是平行四边形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。6. 将一个正方形的边长缩短4分米，面积就缩小160平方分米，原来正方形的面积是多少？7. 在一个长80米，宽30米 的长方形地里有两条1米宽的小道（见图5），这块地能种庄稼的面积是多少？8. 如图6，正方形EBFC的面积是15平方分米，求长方形ABCD的面积。9. 求图7的面积。10. 图8中三角形ABC的高是平行四边形BCDE的高的2倍，平行四边形面积是14平方米，三角形ABC的面积是多少？9. 谁来站角【智力热身】学校小篮球队在训练休息的时候,18好运动员做了一个站边的游戏，要求每个运动员都在站在正方形的边上，每边站3个人，并且号码和均为14。1号运动员自告奋勇地站在其中的一个角上，那么其他三个角上该由谁来站呢？你能确定吗?【经典例题】例1：将18这八个自然数分别填入下图中的八个内，使正方形每条边上三个数之和都等与14，且1要出现在正方形的一个顶点上，应该如何填?分析：这一题实际上就是刚开始的一题，为了叙述的方便，先在个圆圈内填上字母，易知a+c+e+g+(a+b+c+d+e+f+g+h)=144=56，而a+b+c+d+e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8=36，由此可知a+c+e+g=20。由于数字1出现在正方形的一个顶点上,所以不妨设a=1,则 c+e+g=19,若c=2,则e+g=17,在剩下的数中找不到两个数相加等于17，且两数的和已超过了(或等于)三数的和14。因此c2，同理可知，c不可能是3、4、5、6。若c=7，则e+g=12，推知e=4，g=8，从而确定了四个角上的数1，4，7，8。解：144-（1+8）82=20，这个20就是四个顶点上数的和，最后结果如上右图。例2：将15五个数填在右图的圈里，使每条直线上各数之和都相等。分析与解：五个数分别用字母a、b、c、d、e表示，一条直线上各数的和用m表示，显然有有a+b+c=m，a+b+d=m，两式相加a+（a+b+c+d+e）=2m，因为a+b+c+d+e=15，所以a+15=2m， m=（a+15）2，是整数，那么15+a应能被2整除，a必为奇数，a可能是1、3、5，当a=5时，m =10，而除5以外，1、2、3、4只有14=23=5，但1、2、3、4四个数中找不到两个数的和为10。因此本题只有二解。点睛：例题中要填的图称为数阵图，这样的数阵图为封闭型数阵，解这种题时，确定各边顶点所填的数为封闭型数阵的解题突破口，各边和相加再减去要填数的总和就是各顶点数的和，然后逐一筛选找出高填的数。【挑战自我】1. 将18这八个数分别填入图4中的八个圈内，使每条边上三个数的和等于12，且数字1出现在一个顶点上，应该如何填？2. 将16这六个自然数分别填入图5的圈中，使三角形每条边上的三个数之和都等于11。3. 将29这八个数分别填入图6的圈里，使条边上的三个数之和都等于18。4. 将110这十个自然数分别填入图7的10个圈里，使五边形每条边上三个数之和等于14。5. 将19这九个数填入图8的每个小三角形中，使得由四个小三角形构成的三角形的四个数字之和都等于20。10. 我来做中间人【智力热身】数学活动课上，要求学号是17号的七名学生站成三行，每行三人的学号数之和相等，该由谁来做中间人呢？经过思考，1号、4号、7号学生都举了手，要求站在中间位置，结果都能站成。小朋友，你知道其中的奥秘吗？【经典例题】例1：把17这七个自然数，分别填在右图的圆圈里，使得每条直线上的三个数的和都相等。分析和解：假设三条直线上三个数相加的和都是k，即a+b+e=a+c+f=a+d+g=k(a+b+e)+(a+c+f)+(a+d+g)=3k2a+(a+b+c+d+e+f)+3k2a+(1+2+3+4+6+7)=3k2a+28=3k(2a+1)+27=3k因为27是3的倍数，所以2a+1也应该是3的倍数，a只能是1、4或7。若a=1，k=10；若a=4，k=12；a=7，k=14。点睛：中间数之外的六个数，要能正好组成大小搭配的3组数。例2：将18填入右图的圆圈，使每个大圆的五个数的和为21。分析与解：设中间的两个小圆用字母a、b来表示，那么两个大圆上数的和应为1+2+3+4+5+6+7+a+b=212=42。a、b是18中的某两个数，这样36+a+b=42，a+b=6，只有1+5=6，2+4=6两种可能。本题的解如下图。点睛：寻找公共数是解这样数阵问题的最大启示，先用字母表示公共数（也可以称为中间数），看多加了几次，就从以知数的和上再多加的数，然后推出公共数。【挑战自我】1.将17七个自然数填入图4的圈中，使没条边上的三个数之和都相等。2. 把15填入图5的小圆圈中，使两条直线上三个数的和以及圆周上四个数的和都相等。3. 将18填入图图6中的圈内，使每个五边形的五个顶点之和为22。 4. 把19九个自然数填入图7中的圈中，使每边三个数之和都相等。你能找出几种填法？5. 如图8，将18这八个数字分别填入正方体的八个顶点上的圈内，使每一个面（共有六个面）上的四个数都相等。11. 老师的好帮手【智力热身】明天的科学实验课上，要解决有关含盐量（即浓度）的问题，今天晚学后，老师把小明和小华请来，要他们把一包300克的盐平均分成三份，但实验室里只有一架天平和5克、30克的两个砝码，老师要求他们只称三次，你能帮助他们吗？【经典例题】例1：用一架天平和5克、30克的两个砝码，将300克的盐平均分成三份，要求只称三次，怎么称？分析：将300克盐平均分成三份，每份应是100克，用砝码称的话，至少称3次才能称出100克的盐，剩下的200克必须再称一次才能把它对分，这样就不符合要求了。显然单用砝码不行，必须盐与砝码同时使用，第一次可以称得35克盐，35克盐加65克盐正好100克，而65克可以用30克砝码加35克盐称得，这样只需两次就能称得100克的盐。解：（1）将两个砝码放入左盘，右盘加盐称出35克盐。（2）将35克盐与30克砝码同时放入左盘，右盘加盐称出65克盐。（3）把35克盐和65克盐合成一包100克盐放入左盘，右盘加盐，称出第二个100克盐，此时，所剩的正好也是100克盐。例2：有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称出多少种不同重量的物体？分析：砝码的不同组合就能称出不同重量的物体，1克、2克、123（克）、4克、145（克）、246（克）、1247（克）、8克、189（克）、2810（克）、12811（克）、4812（克）、14813（克）、24814（克）、124815（克）。解：最多能称出15种不同重量的物体。点睛：对天平称物的问题，一定要仔细分析题目，明确砝码个数、砝码的放法（只放一边，还是两边都放）、称的次数等，除了用砝码称重外，还可以用利用已称的物体称重。【挑战自我】1有1克、2克、4克和8克的砝码各一个，丢掉其中的一个，结果无法称出7克和12克的重量，丢掉的砝码是多少克？2用一架天平和5克、50克的两个砝码将480克的味精平均分成三份，最少要称几次？怎样称？3用1克、3克、9克三个砝码，最多可以称出多少种不同重量的物体，可以称出哪些重量？4在天平左边放砝码，右边放物体称重，最少应准备多少个砝码，就能一次1克到127克之间任何物体的重量，这些砝码分别是多少克？5. 老庙金店的李师傅在多年的工作实践中发现只要适当选择5个整数克重的砝码，就可以利用一架天平称出1121克这121种不同整数克重的黄金。(1)你认为李师傅所选择的这5个整数克重的砝码分别重多少？(2)怎样用这些砝码早天平上称出60克、101克重的黄金？12. 查找假药【智力热身】利民药房购进10瓶同样品牌及名称的药，每瓶100片，每片100毫克。但不法商人仍钻了空子，渗入了一瓶假药，这瓶假药从包装上还是从外形上都无两样，只知道它比真药每片轻10毫克。聪明的小朋友，你有办法利用一架天平查找出这瓶假药来吗？【经典例题】例1：某工厂生产27只形状相同的零件，正品重量相同，可其中混杂了一只次品，次品的重量比正品轻，你能不能不用砝码，只用一架天平称三次把次品找出来。分析：如果只有三个零件，其中两个是正品，一个是次品，次品的重量比正品轻，那么只要用天平称一次就行了。方法是：把其中两个放在天平两头，如果一样重，那么末放上去的那只是次品，如果不一样重，轻的那头放的是次品。仿照上述方法，可解决例1中的问题。解：把27个零件分成9个一组，共3组，称一次能找出含次品的一组，再将这一组分成3个一组，也有三组，再称一次又可以找出含次品的一组。此时这组有三个零件，只要再称一次就可以找出次品。例2：有10箱零件堆在一起，每箱装50个，其中一箱全是次品，其余各箱都是正品，但外形上看不出哪一箱是次品，已知正品每个零件4千克，次品每个5千克，如何把这次品找出来呢？分析与解：为了区分不同的零件箱，将各箱分别编号1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，然后按各箱的序号数取零件，即1号箱取1个，2号箱取2个，9号箱取9个，10号箱不取，那么共取45个零件，将这45个零件和在一起称，如果重量是454180千克，说明45个零件是正品，则编号是10的那箱是次品，如果重量超过180千克，分析超过的原因是由于其中有若干个是次品，因每个次品比正品重541千克。用：超的重量1就是次品的数目，这个数目就是箱子的序号，这箱装的就是次品。点睛：“天平称物”是饶有趣味的加减运算。解决这类题的关键是进行合理的编组。像例1一般考虑把所有的物品分成三组，且分成的三组要尽量平均。现在，你有办法查找假药了吧。将各瓶编上号码1、2、3、4、5、6、7、8、9、10号，每瓶里取出和号码数相同的粒数，共55粒。如果都是真药，共重551005500（毫克），共少了多少个10毫克就是几号瓶是假药。【挑战自我】1有9颗珍珠，其中一颗是假的。但外观和真的一样，只是假珍珠比真珍珠轻一点，你能利用天平找出假珍珠吗？最少称几次？怎样称？2有15枚金币，其中一枚是假的，外观和真的一样，只是假金币比真的轻一点，你能在天平上称三次（不用砝码）找到假金币吗？3有五筐苹果，每筐都有50个苹果，且外形无两样，其中有一筐每个苹果是245克，其余四筐每个苹果都是250克。怎样用砝码和天平，找出分量轻的那筐苹果？4有21桶油，满的空的共7桶。不用称、不用倒，怎样将油和桶平均分成三份？5把10千克的茶叶平均分给10个朋友，用一架天平和1500克的砝码一个，且砝码只能用一次，该怎么分？综合练习三1将15五个数字填入下图中，使横、竖两行三个数的和相等（填出所有情况）。2将39七个数填入图2中，使三条线段上三个数的和都等于16。3将510六个数分别填入图3中的小圆圈内，使三角形每条边上三个数的和是24。4将17填入图4的小圆圈中，使两条直线上以及圆周上各个数的和都相等。5将815共八个数分别填入图5中的中，使每一横行每一竖行的相邻三个数之和都相等，每数只用一次 。6将17七个自然数分别填入图6中，使每条线段上三数的和为10。7用1支、3支、9支、27支四个砝码，最多可以称出多少种不同重量的物体？8砝码与物体不可以混放，要称出1120克所有整数克的物体，至少要用多少个砝码？它们是哪些？9有一架天平和5克、20克的两个砝码，要将165克糖平均分成三份，至少要称几次？怎样称？10一群动物在一起玩叠罗汉游戏。每只动物的重量都是整千克数，其中，最轻的重1千克，最重的重60千克。叠罗汉规定每只动物上面的总重量不能超过自己的重量。在重160千克的动物都有的情况下，它们最多能叠几层？13. 历史上的今天【智力热身】五（2）中队正在举办“八一军旗红”主题队会。主持人正介绍八一建军节的来历。1927年8月1日凌晨，在周恩来、朱德等人的指挥下，中国共产党人在南昌打响了同国民党武装斗争的第一枪。小明听着听着，走了神：今年（2007年）8月1日是建军80周年纪念日，今年8月1日是星期三，那80年前的8月1日是星期几呢？轮到小明表演节目时，小明先提出了“有奖征答”：你知道1927年8月1日是星期几吗？同学们，你们能回答吗？【经典例题】例1：2000年元旦是星期六，那么，2010年元旦是星期几？分析：一个星期有7天，也就是每7天一个周期。平年有365天，正好52个星期余1天，闰年有366天，正好52个星期余2天，因此，2000年（闰年）元旦是星期六，那么，2001年元旦就是星期一，2002年元旦就是星期二2010年元旦是星期五。解：方法一：把每年的元旦一一列举，推出2010年元旦星期五。方法二：10年一共多少天？365103=36