数模--人口增长.doc

数学模型 -第一次大作业 姓名学号:摘要首先通过西安市统计信息网找到了西安市往年总人口数的数据，采用从1985年到2007年的数据作为本文解题的主要数据。接着，准备采用指数增长模型（马尔萨斯人口模型），考虑到由于该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少，于是可能需要对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改。所以准备在采用指数增长模型得到结果后，再采用阻滞增长模型（logistic模型）进行预测，该模型是在修改模型中较著名的一个。然后，分别采用了指数增长模型（马尔萨斯人口模型）和阻滞增长模型（logistic模型）对在2008年2015年期间西安市人口数量进行预测。 最后，通过分别对两种模型进行检验，差别不是很突出，两种模型的结果与实际都较吻合。但发现用阻滞增长模型预测所得到的结果没有用指数增长模型预测得到的结果准确。所以最终取两个模型的平均值。1 问题分析本题是一道人口预测问题，要求通过自己查找数据得到西安市往年的人口数据，并通过这些数据预测2015年末的西安市人口数量。首先，数据的搜集与处理。要预测人口数量，则必须知道所要预测的区域往年的人口数量，至少需要知道5年以上的数据，而且一定要保证所搜集到的数据的准确性，所以搜索数据的途径一定要具有权威性。搜集数据时可以广泛的摘取与人口预测相关的数据，然后再根据建立模型的不同进行取舍和处理。然后，模型建立。求解人口预测的模型有很多种，例如指数增长模型（马尔萨斯人口模型）、阻滞增长模型（logistic模型）、灰色模型等，但是只需选择一到两种具有代表性的模型进行求解即可。本文分别采用指数增长模型（马尔萨斯人口模型）和阻滞增长模型（logistic模型）进行预测。最后，通过比较了两种模型所得结果以得出最终的预测结果。2 模型假设1）假设模型求解过程中所需的数据都为准确的；2）假设模型需要自己假设的自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量合理；3）假设模型需要自己假设的人口增长率合理；4）在预测时间内，不发生大的疫情，战争等引起人口重大变化的事件；5）本文中所指的人数都为总人口，即都为西安市总人口；6）生育模式在预测时间内保持不变。3 符号说明 人口增长率（常数） 时刻时的人口数（百万） 时刻 t时刻的人口数（百万） 无穷大 自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量（百万） 固有增长率 人口增长率为人口的函数4 模型建立本文中用到的两种模型分别为指数增长模型（马尔萨斯人口模型）和阻滞增长模型（logistic模型），其中指数增长模型是由英国人口学家马尔萨斯（Malthus，17661834）于1798年提出的，该模型是众多人口模型中最基本的模型之一，但是考虑到由于指数增长模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少，于是可能需要对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改。本文则又进一步采用了在修改的模型中较著名的阻滞增长模型。4.1指数增长模型（马尔萨斯人口模型）（1）假设：人口增长率是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）（2）建立模型：记时刻时人口数为，时刻的人口数为，由于量大可视为连续、可微函数。到时间段内人口的增量为 于是满足微分方程（3）模型求解：解微分方程，得 （1）4.2阻滞增长模型（logistic模型）（1）假设： （a）人口增长率为人口的函数（减函数），最简单的可假设， 0(线性函数)，叫做固有增长率。 （b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量为。（2）建立模型：当时，增长率应为0，即，于是，代入，得 将上式代入得（3）模型的求解： 解方程，得 (2)5 模型求解与检验通过对西安市统计信息网上的数据进行分析，统计并制作出如下表所示的1985年到2007年西安市总人口数（还包括女性人口数以及人口密度）一览表。19852007西安市总人口数一览表单位：人年份总人口女性人口数人口密度（人/平方公里）1985553113226839535541986563967327329765651987574458827812135751988585847928368145871989597358828944245981990608890129528796101991615477729813376171992623197830192046241993630914530529966321994639454430917006411995648207931345756451996654872431659686531997662057832018166631998668216832319786691999674497732611776762000688011133282566892001694836933603856962002702593933950607042003716578434626287182004725007835084747172005741726335971227342006753112636574137452007764252737184297565.1 使用指数增长模型（马尔萨斯人口模型）进行人口预测5.11建立模型并预测人口根据5.2所述建立模型并采用19902007年的西安市人口数据最终通过通过Matlab编程求解，得到人口增长率，预测出20082015年西安市人口得到如下表数据并制作条形图20082015年西安市人口预测一览表（指数增长模型）年份预测人口数200876491002009774670020107845500201179455002012804690020138149500201482534002015835870020082015年西安市预测人口条形图（指数增长模型）通过条形图可以看出20082015年西安市的总人口数是呈逐年增长的趋势，从预测数据也易看出西安市的人口在这8年里平均每年增长10万人左右。5.12模型检验将，代入公式（1），求出用指数增长模型预测的19902007年的人口数，并与真实数据对比求出误差，见下表19902007年预测人口与实际人口比较年份实际人口数预测人口数误差（%）199060889016088900约等于01991615477761666000.192%1992623197862452000.212%1993630914563249000.249%1994639454464055000.171%1995648207964872000.079%1996654872465700000.324%1997662057866538000.501%1998668216867386000.844%1999674497768246001.180%2000688011169116000.457%2001694836969998000.740%2002702593970890000.897%2003716578471794000.190%2004725007872710000.288%200574172637363700-0.722%200675311267457700-0.974%200776425277552800-1.174%从上表可以看出，误差较小，所以19902007年年的预测人口与实际人口吻合较好，不存在在刚开始时考虑的指数增长模型的缺陷问题。5.2使用阻滞增长模型（logistic模型）进行人口预测5.21 建立模型并预测人口根据5.3所述建立模型并采用19902007年的西安市人口数据最终通过通过Matlab编程求解，因为运用该模型求解时需给出估计值，（本文经试验给出估计值为，），得到人口增长率，自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量，预测出20082015年西安市人口得到如下表数据并制作折线图20082015年西安市人口预测一览表（指数增长模型）年份预测人口数200875803002009765910020107737300201178148002012789170020137967900201480434002015811810020082015年西安市预测人口折线图（阻滞增长模型）通过条形图可以看出20082015年西安市的总人口数是呈逐年增长的趋势，从预测数据也易看出西安市的人口在这8年里平均每年增长7万人左右。5.22 模型检验将，代入公式（2），求出用指数增长模型预测的19902007年的人口数，并与真实数据对比求出误差，见下表19902007年预测人口与实际人口比较年份实际人口数预测人口数误差（%）199060889016088900约等于01991615477761738000.309%1992623197862587000.428%1993630914563435000.544%1994639454464281000.524%1995648207965125000.469%1996654872465968000.734%1997662057866808000.909%1998668216867645001.232%1999674497768480001.527%2000688011169311000.741%2001694836970138000.941%2002702593970962001.000%2003716578471781000.171%2004725007872596000.131%200574172637340600-1.033%200675311267421000-1.462%200776425277501000-1.851%从上表可以看出，误差较小，所以19902007年年的预测人口与实际人口吻合较好，但从整体上看用阻滞增长模型预测所得到的结果没有用指数增长模型预测得到的结果准确。5.3 两种模型的对比与结论通过分别对两种模型进行检验，差别不是很突出，两种模型的结果与实际都较吻合。但发现用阻滞增长模型预测所得到的结果没有用指数增长模型预测得到的结果准确。所以最终取两个模型的平均值。如下表20082015年西安市人口预测一览表（平均）年份预测人口数（指数）预测人口数（阻滞）预测人口数（平均）2008764910075803007614700200977467007659100770290020107845500773730077914002011794550078148007880150201280469007891700796930020138149500796790080587002014825340080434008148400201583587008118100823840020082015年西安市人口预测条形图（平均）6 模型评价指数增长模型（马尔萨斯人口模型），考虑到由于该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少，于是可能需要对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改。但在本文中因为所用数据较集中且预测人口的年份并不是很大，所以没有发现上述问题。在采用指数增长模型得到结果后，又采用阻滞增长模型（logistic模型）进行预测，该模型是在修改模型中较著名的一个。但是，通过误差分析，实际上用阻滞增长模型预测所得到的结果没有用指数增长模型预测得到的结果准确。中国现行的人口生育政策是属于限制人口增殖的政策，控制人口数量，提高人口素质是中国人口政策的两个基本方面是中国的基本国策。这一中国的基本国策具体化为“少生优生”“晚婚晚育”“优生优育”。稳定低生育水平统筹解决人口和计划生育问题使人口发展与社会经济发展相适应，其基本内容是提倡晚婚晚育，少生优生，提倡一对夫妇只生育一个孩子。国家干部和职工城镇居民除特殊情况经过批准外一对夫妇只生育一个孩子，农村某些群众有特殊困难（包括独女户）